非有效決策單元的效率研究①

沈 浮， 夏必臘， 王 鵬， 田玉敏

(中國人民解放軍陸軍軍官學院數(shù)學教研室，安徽合肥230031)

0 引言

自從評價決策單元相對有效性的CCR模型提出以來，有關理論不斷深入，應用范圍日益廣泛．CCR模型假定規(guī)模報酬不變，其生產(chǎn)可能集為所有觀察到的決策單元的非負線性組合[1]．BCC模型假定規(guī)模報酬可變，其生產(chǎn)可能集是所有觀察到的決策單元的凸組合．為了對多個有效決策單元排序，Andersen ＆ Petersen提出了超效率模型[2]．本文研究了決策單元的規(guī)模效率和非有效決策單元的效率，并取得一些結(jié)論．

1 預備知識

設有n個決策單元DMUj(j=1，…，n)，其輸入和輸出分別為m維向量xj=(x1j，x2j，…，xmj)T和s維向量 yj=(y1j，y2j，…，ysj)T，其中xj≥0，xj≠0 且yj≥0，yj≠0．傳統(tǒng)的 CCR 模型[3]如下:

CCR模型對應的生產(chǎn)可能集為

傳統(tǒng)的BCC模型[3]如下:

BCC模型對應的生產(chǎn)可能集為

2 決策單元的規(guī)模效率

我們稱決策單元的CCR效率為技術效率，決策單元的BCC效率為純技術效率．

定義1[4]: 決策單元(xo，yo)的規(guī)模效率為，其中和分別為的CCR效率和BCC效率．

定理1: 設決策單元(xo，yo)的CCR效率和BCC效率分別為和，若SEo=1，則

證明: 顯然θo=1，λo=1，s－=O，s+=O是模型(1)的可行解也是模型(2)的可行解，所以有．又模型(2)只比模型(1)多了一個約束條件，故模型(2)的可行解也是模型(1)的可行解，因而有，即SEo≤1．當SEo=1時，只能有=1．

3 非有效決策單元的效率分析

Charnes et al[1]將決策單元分為兩類:有效前沿面上的決策單元和非有效前沿面上的決策單元．進一步，有效前沿面上的決策單元又可以分為:極有效(extreme efficient)、有效但非極有效(efficient but not extreme efficient)、弱有效(weakly efficient or frontier point but with nonzero slacks)．

超效率CCR模型[2]為:

超效率CCR模型對應的生產(chǎn)可能集為

超效率CCR模型[2]為:

超效率BCC模型對應的生產(chǎn)可能集為

定理2: 若決策單元(xo，yo)非CCR有效，則

證明: 若決策單元(xo，yo)非CCR有效，定義其參考集中的決策單元是CCR有效的[4]．這說明((xo，yo)，故對于非CCR有效的決策單元，模型(1)和模型(3)等價，從而

定理3: 若決策單元(xo，yo)非BCC有效，則

證明: 若決策單元(xo，yo)非BBC有效，定義其參考集中的決策單元是 BCC 有效的[4]．這說明(xo，yo)，故對于非BCC有效的決策單元，模型(2)和模型(4)等價．從而

4 實例分析

對文獻[5]中提供的10個決策單元(見表1)進行研究，分別計算它們的

表1 10個決策單元及其效率

5 結(jié) 論

本文首先研究了規(guī)模效率得出決策單元(xo，yo)的SEo=1充分條件為=1．對非CCR有效決策單元，模型(1)和模型(3)等價，對非BCC有效決策單元，模型(2)和模型(4)等價．

[1] Charnes，A．，Cooper，W．W．，Thrall，R．M．A Stucture for Classifying and Characterizing Efficiencies and Inefficiencies in DEA[J]．Journal of Productivity Analysis，1991，2，197 －237．

[2] P．Andersen，N．C．Petersen，A Rocedure for Ranking Efficient Units in Data Envelopment Analysis[J]．Management Science．1993，39，1261－1264．

[3] W．D．Cook，L．M．Seiford．Data Envelopment Analysis(DEA)－Thirty Years on[J]．European Journal of Operational Research，2009，192:1－17．

[4] William W Cooper，Lawrence M Seiford，Kaoru Tone．Data Envelopment Analysis a Comprehensive Text with Models，Applications，References and DEA －Solver Software Second Edition[M]．Springer Science+Business Media，LLC．2007．

[5] 馬立杰．DEA理論及應用研究[D]．濟南:山東大學，2007．

[6] 魏權齡．數(shù)據(jù)包絡分析[M]．北京:科學出版社，2004．