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    Shapiro 不等式的指數(shù)推廣①

    2012-07-09 05:50:46隆建軍
    關(guān)鍵詞:分式結(jié)論定理

    隆建軍

    (攀枝花市大河中學(xué),四川攀枝花617061)

    0 引言

    設(shè)0 <ai< 1,i=1,2,…,n,則

    上述不等式稱為Shapiro不等式[1],Shapiro不等式是一個(gè)著名的代數(shù)不等式,它在分式不等式研究中有著重要的應(yīng)用,本文中我們利用Holder不等式,Young不等式和冪平均不等式建立Shapiro不等式的指數(shù)推廣形式.

    文獻(xiàn)[2]:設(shè)λ,μ,xi≥0.m,t,k≥1,λ-μxi>0,i=1,2,…,n,則

    文獻(xiàn)[3]:設(shè)0 <ai<c,i=1,2,…=s,則

    文獻(xiàn)[4]:設(shè)0 <ai<AA,i=1,2,…,n,m,p∈=s,則

    文獻(xiàn)[5]:設(shè)0 <ai< 1,i=1,2,…,n,且a=,則

    本文給出Shapiro不等式的指數(shù)推廣,改進(jìn)了相應(yīng)參數(shù)的范圍,該結(jié)論比現(xiàn)有文獻(xiàn)更加具有實(shí)用價(jià)值,它們?cè)诜质讲坏仁窖芯恐杏兄匾膽?yīng)用價(jià)值.

    1 引 理

    引理1 設(shè)xi>0,i=1,2,…,n,則:當(dāng)0<p≤1時(shí),有

    不等式(2)中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)成立.

    當(dāng)p>1,n>1時(shí),有

    證明: 當(dāng)p=1時(shí)(2)式顯然成立,下證當(dāng)0<p<1時(shí)(2)式成立,作輔助函數(shù)f(x)=xp,x∈(0,+∞),0 <p< 1;對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù),得f″(x)=p(p-1)xp-2,因?yàn)? <p< 1,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)f″(x)<0,所以函數(shù)f(x)=xp(0<p<1)是(0,+∞)上的嚴(yán)格凸函數(shù);運(yùn)用Jensen不等式,得

    由Jensen不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)不等式(2)中等號(hào)成立.

    當(dāng)p>1時(shí),有p-1>0,由題設(shè)條件xi>0,i=1,2,…,n,可得

    故(3)得證.

    引理2[6](Young不等式) 設(shè)a>0,b>0,p>0,q>0且,則

    引理3[7](Holder不等式) 設(shè)ai>0,bi>0,i=1,2,…,n,p>0,q>0,,則

    2 主要結(jié)論及其證明

    定理1 設(shè)xi>0,λ∈R,μ∈R,t∈R,λ->0(i=1,2,…,n),則

    (Ⅰ)當(dāng)rs>0,r-s≥1(或r≤0,s>0)時(shí),有

    對(duì)于rs>0,r-s=1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),(6)式中的等號(hào)成立.對(duì)于rs>0,r-s>1(或r≤0,s>0),當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn且λ-μxt1=λ-μxt2=…=λ-μxtn時(shí),(6)式中的等號(hào)成立.

    (Ⅱ)當(dāng)rs>0,r-s<1,n>1時(shí),有

    證明:

    下面對(duì)s,r的各種取值情況進(jìn)行討論:

    (a)若r>0,s>0,r-s≥1,則≤1,由引理1中的(2)和引理2,得

    故有

    (b)若r<0,s<0,r-s≥1,則-r>0,-s>0,-s-(-r)≥1,利用(a)中(8)式,得

    (c)若r=0,s>0,則由平均值不等式,得

    所以(6)式成立.

    (d)若r<0,s>0,則-r>0,s>0,則利用(a)中已證結(jié)論(8)式,得

    運(yùn)用引理3,得

    由(a)(b)(c)(d)可知,(6)式成立.其中等號(hào)成立的條件可由上述證明過(guò)程得到.

    (e)若r>0,s>0,r-s<1,n>11,由引理1中的(3)和引理2,得

    (f)若r<0,s<0,r-s<1,n>1,則-r>0,-s>0,-s-(-r)<1,利用(9)式,得

    由(e)和(f)可知(7)式成立.定理證畢.

    3 定理的應(yīng)用

    在定理1的(6)式中,令s=1,得

    推論1 設(shè)xi>0,λ∈ ,μ∈ ,t∈ ,λ->0(i=1,2,…,n),則當(dāng)r≥2 時(shí),有

    在定理1的(6)式中,令s=1,t=1,得

    推論2 設(shè)xi>0,λ∈ ,μ∈ ,λ-μxi>0(i=1,2,…,n),則當(dāng)r≥ 2 時(shí),令m=有

    本文定理及其推論在不等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用,是建立新的分式不等式和推廣已有不等式的有力工具.

    [1] 匡繼昌.常用不等式(第三版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004.180 -182.

    [2] 文開(kāi)庭.一組征解問(wèn)題的統(tǒng)一推廣及其應(yīng)用[J].?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),1997,(1):21 -22.

    [3] 張光華.用“取等匹配”技巧證明非嚴(yán)格不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1999,(11):13 -15.

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    [6] 劉玉璉,傅沛仁.?dāng)?shù)學(xué)分析講義:上冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,1992.249 -250.

    [7] 王向東,蘇化明,王方漢.不等式·理論·方法[M].鄭州:河南教育出版社,1994.434 -35.

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