二進(jìn)小波的構(gòu)造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木,阿布都許庫(kù)熱·阿布都克力木,張海英

(1.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054;2.新疆博樂市第七中學(xué),新疆 博樂 833400; 3.新疆工業(yè)高等專科學(xué)校電氣與信息工程系,新疆 烏魯木齊 830091)

二進(jìn)小波的構(gòu)造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木1,阿布都許庫(kù)熱·阿布都克力木2,張海英3

(1.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054;2.新疆博樂市第七中學(xué),新疆 博樂 833400; 3.新疆工業(yè)高等?？茖W(xué)校電氣與信息工程系,新疆 烏魯木齊 830091)

提出兩種二進(jìn)小波的構(gòu)造方法.首先,將Mallat構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波推廣得到一種構(gòu)造B-樣條二進(jìn)小波的新方法;其次，基于二進(jìn)提升方案提出構(gòu)造二進(jìn)小波的另一種新方法—–構(gòu)造定理，并通過調(diào)整定理中提升參數(shù)的形式、以新的B-樣條二進(jìn)小波作為初始二進(jìn)小波,具體構(gòu)造了具有有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)、高階消失矩、線性相位的提升二進(jìn)小波,這些提升二進(jìn)小波不能由Sweldens提升方案得到.

二進(jìn)提升方案;消失矩;二進(jìn)小波濾波器

1 引言

小波分析作為一種新的有效地圖像處理工具已備受關(guān)注,與此同時(shí),許多小波的構(gòu)造方法也被提出.本文提出兩種二進(jìn)小波的構(gòu)造方法：第一種,通過引入?yún)?shù),將M allat構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波[1]推廣得到一種構(gòu)造B-樣條二進(jìn)小波的新方法;第二種,Sweldens提升方案僅局限于雙正交小波的構(gòu)造[23],對(duì)于構(gòu)造二進(jìn)小波,這種提升方案無能為力.二進(jìn)提升方案克服了Sweldens提升方案的局限性,此方案從二進(jìn)小波出發(fā)構(gòu)造新的二進(jìn)小波[45]或雙正交小波[6],本文基于二進(jìn)提升方案提出了構(gòu)造二進(jìn)小波的一種新方法—–構(gòu)造定理,用于構(gòu)造具有高階消失矩的提升二進(jìn)小波,并且具體構(gòu)造了有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)、高階消失矩、線性相位的提升二進(jìn)小波,而這些提升二進(jìn)小波卻不能由Sweldens提升方案得到.

2 二進(jìn)小波的構(gòu)造

定義2.1若

成立,則稱ψ(t)為p階消失矩小波.

圖1 尺度函數(shù)φ(t)與小波ψr(t)的圖像(r=1,r=2)

2.2 提升二進(jìn)小波的構(gòu)造

2.2.1 構(gòu)造定理

下面提出二進(jìn)提升方案,此方案以二進(jìn)小波濾波器作為初始濾波器,用于構(gòu)造二進(jìn)小波濾波器或雙正交小波濾波器.

下面的推論說明Sweldens提升方案是二進(jìn)提升方案的特例,雙正交小波空間是二進(jìn)小波空間的子空間.

推論2.1若濾波器是雙正交小波濾波器,在(2.3)式中取s2m+1=0,則(2.3)式為Sweldens提升方案.

基于二進(jìn)提升方案,提出如下兩個(gè)構(gòu)造定理,運(yùn)用這兩個(gè)定理,通過調(diào)整提升參數(shù)的形式,能夠構(gòu)造具有高階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器.

2.2.2 高階消失矩的提升二進(jìn)小波的構(gòu)造

選取某二進(jìn)小波濾波器作為初始二進(jìn)小波濾波器,利用定理2.1、定理2.2,構(gòu)造具有更高階消失矩的提升二進(jìn)小波濾波器.本節(jié)以2.2.1構(gòu)造的新的B-樣條二進(jìn)小波濾波器(以r=1,m=2的濾波器為例)作為初始二進(jìn)小波濾波器.

r=1,m=2的濾波器中g(shù)具有1階消失矩.應(yīng)用定理2.1,考慮到緊支撐和線性相位的要求,選取適當(dāng)?shù)奶嵘齾?shù),構(gòu)造有2階或更高階消失矩的濾波器gl.此時(shí),b s(ω)滿足條件:

圖2 兩個(gè)尺度函數(shù)和小波()的圖像

圖3 兩個(gè)尺度函數(shù)和小波(φ,ψllss,~φllss,~ψllss)的圖像

圖4 兩個(gè)尺度函數(shù)和小波(φlr,ψllsr,~φllsr,~ψllsr)的圖像

此提升過程也適用于r=1,m=1,3,…與r=2,m=1,2,…的B-樣條二進(jìn)小波濾波器.所以從二進(jìn)小波濾波器出發(fā)應(yīng)用定理2.1、定理2.2,選取適當(dāng)?shù)奶嵘齾?shù)可以構(gòu)造滿足實(shí)際需要的各種特性的二進(jìn)小波濾波器.

3 結(jié)論

本文先后提出兩種構(gòu)造二進(jìn)小波的方法:第一種,通過引入?yún)?shù),將Mallat構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波推廣得到新的B-樣條二進(jìn)小波;第二種,在二進(jìn)提升方案的基礎(chǔ)上,基于消失矩條件提出了兩個(gè)構(gòu)造定理,用于構(gòu)造具有高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器,并且從r=1,m=2的二進(jìn)小波濾波器出發(fā)具體構(gòu)造了具有有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)、高階消失矩、線性相位的二進(jìn)小波濾波器.鑒于二進(jìn)小波變換的平移不變性的特點(diǎn)和本文構(gòu)造的二進(jìn)小波濾波器所具有的優(yōu)點(diǎn),將其應(yīng)用于圖像增強(qiáng)、邊緣檢測(cè)和特征提取等方面或許會(huì)取得更好的圖像處理效果.

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Study on new construction methods of dyadic wavelet filters

Turghunjan Abdukirim1,Abduxukur Abdukirim2,Zhang Haiying3

(1. School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi 830054, China;2. Xinjiang Bortala No.7 High School, Bortala 833400, China;3. Electrical and Information Engineering Department, Xinjiang Ploytechnical College, Urumqi 830091, China)

In this paper, we study on two new construction methods of dyadic wavelet filters. One method isthat new B-spline dyadic wavelet filters are obtained by generated B-spline dyadic wavelet filters proposed by Mallat. Other is that two theorems for constructing lifting dyadic wavelet filters with higher number of vanishing moments are proposed based on the dyadic lifting schemes. Meantime we design lifting dyadic wavelet filters with finite impulse response, higher number of vanishing moments and linear phase according to new B-spline dyadic wavelet filters .These lifting filters can not be obtained by Sweldens lifting scheme.

dyadic wavelets, dyadic lifting scheme, vanishing moments

O235

A

1008-5513(2012)02-0149-06

2011-08-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10661010);新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金(200721104).

吐爾洪江·阿布都克力木(1962-),博士,教授,研究方向:小波分析、數(shù)字圖像與模式識(shí)別.

2010 MSC:94A 15