一階復(fù)結(jié)構(gòu)形變中產(chǎn)生Hodge數(shù)跳躍的障礙公式的解析證明*

林潔珠，葉軒明

(1. 廣州大學數(shù)學與信息科學學院∥數(shù)學與交叉學科廣東普通高校重點實驗室，廣東 廣州510006；2. 中山大學數(shù)學與計算科學學院, 廣東 廣州 510275)

作者利用 Grauert的正象層理論(Direct Image Theorems 見文[7])得到無窮小復(fù)結(jié)構(gòu)形變中Hodge數(shù)發(fā)生跳躍現(xiàn)象的一個很有用的“模型”。通過對此模型的研究, 解釋為什么我們需要研究前文所說的障礙元素。作者得到障礙元素和Hodge數(shù)發(fā)生跳躍現(xiàn)象的關(guān)系如下。

定理1[1]設(shè)π∶χ→B是以緊復(fù)流形X為中心纖維的復(fù)結(jié)構(gòu)形變族?，F(xiàn)在我們考慮以tB為變量的函數(shù)dimHq(Xt,此函數(shù)將在t=0發(fā)生跳躍(減少)當且僅當存在Hq-1(Xt,或者Hq(X,中的等價類[α]和一個自然數(shù)n≥1使得該元素的階障礙

on,n-1(α)≠0

同時, 作者還得到計算障礙on,n-1的一個公式。

on,n-1(α)=dXn-1/Bn-1°κn└(αn-1)+

κn└°dXn-1/Bn-1(αn-1)

其中κn是n階Kodaira-Spencer類(關(guān)于n階Kodaira-Spencer類的定義, 可參考文[8]),dXn-1/Bn-1是n-1階無窮小形變的相對萬有微分算子。

在本文中, 我們將給出以上定理n=1在的時候的一個Dolbeaut上同調(diào)計算的證明。在n=1時, 以上的定理表述為：

其中ρ∶T0B→H1(X,TX)是Kodaira-Spencer 映射。

在下文中, 我們將給出上面定理的證明。

(1)

這個短正合列誘導了下面的長正合列

其中,X1為X的1階段無窮小鄰域，現(xiàn)考慮這個長正合列連接映射

和

所以, 有

2 相對微分形式層的Dolbeaut的分解和用Dolbeaut上同調(diào)求

和

(2)

而不是短正合列(1)。短正合列(2)誘導了下面的長正合列

以及連接映射

∶Hq(X,→Hq+1(X∞,j-1(0?

另一方面, 因為有短正合列

(3)

誘導的以下映射

不難驗證

現(xiàn)考慮如下映射

φ′([ωt](V0)∶=φ(LV(Ωt))|X

其中,Lv為χ上的Lie導數(shù),V為χ的光滑切向量場, 且滿足π*(V)(0)=V0。

關(guān)于以上映射, 我們有以下引理。

引理1 上述映射φ′是的定義是合理的, 且有

∧∧dωt,i-

int(·)(·)表示切向量場和形式作內(nèi)積, 而

所以得到

為了證明φ′的定義是合理的, 我們需要證明：

首先證明(II), 給定V0, 現(xiàn)考慮向量場V, 滿足V為χ的切向量場, 且π*(V)(0)=V0。因為φ′([ωt])(V0)是取Lie導數(shù),φ作用后再限制在X上, 所以只依賴于V|X。且從上面計算可以看到, 實際上φ′([ωt])(V0)只依賴于V0, 而不依賴于V|X在X切向上的分量。

根據(jù)定義

因為對于任意的(p,q)形式Ωp,q,有

所以

(?Ωt)))|X都是X上的恰當形式。所以有

?X(int(ρ(V0))(α))

綜上所述, 我們得到了定理3的證明。

參考文獻：

[1] YE X M. The jumping phenomenon of Hodge numbers[J]. Pacific Journal of Mathematics, 2008, 235(2): 379-398.

[2] KODAIRA K. Complex manifolds and deformation of complex structures[M]. Translated from the Japanese by Kazuo Akao. New York: Springer, 1986.

[3] VOISIN C. Hodge theory and complex algebraic geometry I[M]. Cambridge University Press, 2002.

[4] IITAKA S. Plurigenera and classification of algebraic varieties [J]. Sugaku,1972, 24: 14-27 .

[5] NAKAMURA I. Complex parallelisable manifolds and their small deformations[J]. J Differential Geom, 1975, 10: 85-112.

[6] YE X M. The jumping phenomenon of the dimensions of cohomology groups of tangent sheaf [J]. Acta Mathematica Scientia, 2010, 30(5): 1746-1758.

[7] BELL S, NARASIMHAN R. Proper holomorphic mappings of complex spaces[M]. Encyclopedia of Mathematical Sciences, Several Complex Variables VI, Springer Verlag, 1991.

[8] VOISIN C.Symétrie miroir[M]. Paris: Société Mathématique de France, 1996.