略談數(shù)學(xué)教學(xué)中課本題的改變

吳蓉

正值創(chuàng)新教學(xué)的不斷深入，教材中的例、習(xí)題正受命題者的青睞。為更顯“主體”和“主導(dǎo)”地位，宜突出一個變字，創(chuàng)造一個“新”字?，F(xiàn)就轉(zhuǎn)換因果關(guān)系、轉(zhuǎn)換條件設(shè)問、轉(zhuǎn)換圖形結(jié)構(gòu)來改變，以提高復(fù)習(xí)的高效性。

課本題；改變；高效性

課本是學(xué)生獲得知識的倉庫，也是命題者情有獨鐘的原創(chuàng)。以課本中的例題和習(xí)題為基礎(chǔ)進(jìn)行巧變而命中考的數(shù)學(xué)題，是一種源于教材，高于教材嶄新的亮點。例如2009年重慶市的一題中考題，就是我們浙江省的九年級上冊P115頁的第6題而改變，無獨有偶，而溫州市的中考題也是對此題的拓展與延伸。既然是一種傾向，一種方向，且合情合理。我們何不快馬加鞭，在新課或復(fù)習(xí)中，對課本的例題和習(xí)題進(jìn)行拓展，延伸以巧變。

基于多年對中考命題的探究，中考命題是在考查基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，不僅注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，探究能力，創(chuàng)新思維，可巧的是許多題目是對例題、習(xí)題的優(yōu)化改造。為了便于表達(dá)，筆者以實例改變因果關(guān)系，改變條件設(shè)問，改變圖形結(jié)構(gòu)，且以一變一賞析以共同探討。如何？

具體以浙教版八年級下課本目標(biāo)與評定的第7題為例來談?wù)勅绾芜M(jìn)行課本題的巧變。

試題來源：

（浙教版八年級（下）課本目標(biāo)與評定的第7題）如圖1，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DEA=68啊?

(1)求證：AD=AE；

(2)求平行四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。

[賞析]原題的主要設(shè)計意圖是能運用平行四邊形的基本性質(zhì)，由“角平分線+平行線+等腰三角形”這一基本模式解決問題，是一道基本的幾何題，目的是為了考查學(xué)生基本的計算和幾何推理能力。

改變方向：

轉(zhuǎn)換因果關(guān)系，由淺入深實現(xiàn)改變，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高學(xué)生的遷移應(yīng)用的能力，從而實現(xiàn)復(fù)習(xí)的高效率。

保留原題中的“在平行四邊形ABCD中”這個大框架不變，互換原題中的條件和結(jié)論。

[改變一]變式1：已知：如圖2，在□ABCD中，AD=AE，∠DEA=68啊?

(1)求證：DE平分∠ADC；

(2)求平行四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。（圖2）

變式2：已知：如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC的平分線交AB于點E，AD=AE，∠DEA=68啊?

(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；

(2)求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。

[賞析]變式1是把角平分線和等腰三角形的知識互換，變式2是平行線和等腰三角形的知識互換。這樣的變化讓學(xué)生對命題和逆命題有進(jìn)一步的理解，同時在研究問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生有意去做與常規(guī)思維相反的探索，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)興趣。

轉(zhuǎn)換已知條件，設(shè)問角度來實現(xiàn)改變，促成對知識的全面理解與掌握，培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性，實現(xiàn)復(fù)習(xí)的高效果。

[改變二]：保留原題中的“在平行四邊形ABCD中”這個大框架不變，增加適當(dāng)?shù)臈l件。

1.賦予相應(yīng)線段的長度，讓學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)問題的計算。

變式3：如圖3，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，且AE=5，BE=3。求□ABCD的周長。

變式4：如圖4，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB

點E，交CB的延長線于F。

（1）請找出圖中所有等腰三角形，并選擇一個進(jìn)行證明；

（2）連結(jié)EC，若AD=3，DC=4，求∶的值。

[賞析]變式3和變式4雖然增加了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，但解決問題的切入口還是原題中的證明結(jié)論AD=AE。通過這樣的分析學(xué)生很快明白，要進(jìn)行相應(yīng)的計算，它們與原題的處理方式是一樣的，這樣即節(jié)省了時間，又提高了學(xué)生的解題能力。

2.增加平行四邊形另一個內(nèi)角的角平分線，讓學(xué)生進(jìn)行幾何推理和探究。

變式5：已知：如圖5，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠ABC的平分線交CD于點F。

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）若=，求AD：AB的值。

變式6：已知：如圖6，在平行四邊形ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于G，∠ABC的平分線交CD于點F。求證：四邊形DGBF是等腰梯形。

變式7：已知：如圖7，在平行四邊形ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DAB的平分線交CD于點F。

(1)求證：DE⊥AF；

（2）連結(jié)EF，請說明四邊形AEFD是菱形。

變式8：已知：如圖8，在平行四邊形ABCD中，AB>AD，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DCB的平分線交AB于點F。

(1)求證：AF=BE；

(2)若AD=3，AB=4，求EF的長；

(3)探究：當(dāng)點E、F重合時，平行四邊形的相鄰兩邊AD于AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

變式9：已知：如圖9，在平行四邊形ABCD中，AB>AD，DG、CG、AP、BP分別為∠ADC、∠BCD、∠DAB、∠ABC的平分線，且DG與A交于點M，CG交BP于點N。

①判斷四邊形MGNP的形狀；

②若平行四邊形ABCD的面積=S，求四邊形MGNP的面積。

[賞析]以上幾個變式中的兩條角平分線是一組對角或一組鄰

下轉(zhuǎn)第035頁

上接第086頁

角的平分線，學(xué)生能很容易利用平行線和角平分線的知識，得出這兩條角平分線的位置關(guān)系，這樣不管平行四邊形ABCD的邊長發(fā)生怎樣的變化，都能利用這個不變關(guān)系探究和解決問題。通過這樣的變化，學(xué)生對平行四邊形，角平分線和等腰三角形的相關(guān)知識能融會貫通，形成完整的知識框架和不錯的幾何推理能力。

通過結(jié)合直角坐標(biāo)系來轉(zhuǎn)換圖形結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)改變，訓(xùn)練啟迪學(xué)生思維的發(fā)散性及綜合運用知識的能力，實現(xiàn)復(fù)習(xí)的高效應(yīng)。

[改變?nèi)齗：變式10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，□OABC的一頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在X軸上，BC//OA，且A點坐標(biāo)為（8，0），C點坐標(biāo)為（3，4），∠OCB的角平分線交X軸于E點。

（1）求CE所在直線的解析式；

（2）P是直線CE上一動點，若|PA-PO|=m，

①問是否存在一點P，使得m=0，若存在，求出P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

②請思考m有最大值嗎？若有，請求出m的最大值，并請寫出此時P點的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由。

（3）若OF為∠AOC的角平分線，交BC于點F，交CE于點M。P點以1個單位每秒的速度從C點出發(fā)沿著線段CE向E點運動，Q點以2個單位每秒的速度從O點出發(fā)沿著線段OF向F點運動。記運動時間為t，PQ長為y，則請求出y關(guān)于t的函數(shù)解析式（當(dāng)其中一個點到達(dá)終點就停止運動）。

[賞析]能與直角坐標(biāo)系的結(jié)合來實現(xiàn)圖形變換是研究幾何圖形性質(zhì)的重要思想方法，讓學(xué)生了解并初步掌握它不僅是必要的而且是可能的，通過對課本習(xí)題的改變，學(xué)生對數(shù)學(xué)壓軸題的編制和解答有了初步的了解，減少了對中考壓軸題的恐懼心理，以后遇到這類問題時就會有一定的方法和思想。

教學(xué)中通過對例、習(xí)題的一題多問，一題多變，層層推進(jìn)，以達(dá)“變則靈，靈則通?！睂W(xué)生的考分上去了，實效和素質(zhì)就顯現(xiàn)了，且使學(xué)生題題頓生新鮮感。可謂“題不在難，有法則靈，量不在多，巧變則行?！敝灰覀儾恍概?，探究巧變，就能變、變、變，變出水平變出鮮。

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[2]葛鐵雷.問題變式有效運用于初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2010.06

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