一種基于反步法的移動機器人運動控制算法

段文杰，武穎，劉大亮

（1.山西農業(yè)大學 工學院，山西 太谷030801；2.太原理工大學 機械工程學院，山西 太原030013；3.首都航天機械公司，北京100076）

球形機器人［1］、獨輪機器人［2］以及雙輪機器人［3］的運動控制問題一直是該研究領域的重要內容［4］。多數情況下，在平面內，這3類機器人的運動可以簡化為一均質圓盤的垂直滾動。本文首先利用拉格朗日方法［5］建立均質圓盤垂直滾動的一階鏈式非完整系統模型；其次利用反步法［6～8］設計系統的穩(wěn)定運動控制算法，并證明了算法是漸進穩(wěn)定的。狀態(tài)鎮(zhèn)定和路徑跟蹤仿真實驗結果表明該算法是有效的、可行的。

1 系統建模

如圖1所示，圓盤的位形由坐標平面上的位置x和y，進動角θ和圓盤的自轉角ψ確定，記為q＝（x，y，ψ，θ）。圓盤的半徑為r。對圓盤施加的力矩分別為繞鉛垂軸的轉向力矩τ1和自轉動力矩τ2。圓盤作無滑動的純滾動，該速度約束可以表示為

圖1 系統坐標系與運動模型Fig.1 Coordinate system and motion mode

記m為圓盤的質量，J1，J2分別為關于鉛垂軸和水平滾動軸的轉動慣量，則系統的拉格朗日函數［9，10］為

其中，常值慣性矩陣 M ＝diag（m，m，J1，J2）。經計算得到系統的動力學方程為

其中ui＝τi／Ji，i＝1，2。如果系統的輸入控制表示為˙ψ＝ω1和˙θ＝ω2，通過對半徑r的單位正則化處理后，運動學形式的模型可以表示為

在θ∈（－π／2，π／2）上，應用坐標和輸入控制變換

可以得到一個一階鏈式非完整系統

2 運動控制算法

定理：存在時不變且有界的狀態(tài)反饋

在

上，當t＞0時，系統（5）的狀態(tài)x指數收斂至零。其中k1，k2和k3為正數，且k3＞k1。

證明：應用線性狀態(tài)反饋

使x1指數穩(wěn)定，其中k1為正常數。系統（5）變?yōu)?/p>

考慮x3子系統，將x2看成是Ω上的輸入控制，設計反饋控制

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以穩(wěn)定原點x3＝0，其中x1不為零。取Lyapunov函數V1為

上式對時間的導數得

因此，˙x3＝－k3x3的原點是漸近穩(wěn)定的。應用微分同胚變量代換

對（11）求導得

則x2和x3子系統變換為

取Lyaponov函數V2為

取

從而得

則x3和ξ是有界的，且當t→0時趨近于零。因此，x2收斂于ψ1。

為了保證x2的有界性和關于零的收斂性，當t→0時必須保證x1和x3的有界性和關于零的收斂性。因為

可知當t→∞時，V1以解e－2k3t收斂到零，x3以解e－k3t收斂到零。又因為x1以解e－k1t收斂到零，可知當k3＞k1時，且x1（0）≠0時，x3／x1是有界的，以解e－（k3－k1）t收斂到零。

當初始條件始于Ω，狀態(tài)反饋（6）不僅保證了系統狀態(tài)的有界性，而且原點是指數收斂。如果系統始于Ω的外部時，可以在任意小的時間內應用開環(huán)控制驅動系統從x1＝0點進入Ω內，再切換至狀態(tài)反饋（6）。

3 仿真實驗

圖2和圖3為在控制率（6）的作用下，系統（5）狀態(tài)的收斂特性。系統初始狀態(tài)為x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合 Ω內?？刂坡实目刂茀禐閗1＝5，k2＝5和k3＝10。如圖所示，系統在控制率（6）的控制作用下，狀態(tài)能夠漸近收斂到零，因此控制算法是有效的。

圖2 狀態(tài)響應曲線Fig.2 Response curve of state

圖3 運動軌跡響應曲線Fig.3 Response curve of motion trace

圖4 圓周曲線跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of circular curve

狀態(tài)反饋控制率（6）可以應用于垂直圓盤的軌跡跟蹤控制，即使狀態(tài)（x1，x3）收斂到期望的狀態(tài)（x1d，x3d）。一個期望的圓周曲線滿足方程

其中期望軌跡的線速度和角速度分別為ur＝0.5m·s－1，rr＝0.5rad·s－1。系統初始狀態(tài)為x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合Ω內。期望軌跡的初始狀態(tài)為 （x1d，ψd，x3d）＝（1，π／4，1）。控制率的控制參數為k1＝5，k2＝5和k3＝10。系統軌跡跟蹤特性如圖4所示，控制算法（6）能夠實現對期望軌跡的跟蹤。

4 結論

本文將球形機器人、獨輪機器人和雙輪機器人的一種運動方式簡化為均質圓盤在平面內的垂直滾動，首先建立了系統的鏈式非完整模型，其次利用反步法設計運行控制算法，并證明了反饋控制系統的原點是漸進穩(wěn)定的。仿真結果表明控制算法是可行、有效的。

［1］劉大亮，孫漢旭，賈慶軒.一種球形移動機器人的非線性滑模運動控制［J］.機器人，2008，30（6）：498－502.

［2］Shao Zhiyu，Liu Daliang.Balancing Control of a Unicycle Riding［C］.In：CCC10，29th Chinese Control Conference，Beijing，China，2010：3250－3254.

［3］劉大亮，孫漢旭.一種可載人行走的雙輪機器人［J］.機器人，2009，31（5）：416－420.

［4］許國保，尹怡欣，周美娟.智能移動機器人技術現狀及展望［J］.機器人技術及應用，2007，3月31日：29－34.

［5］Murray R M，Li Zexiang，Sastry S S.機器人操作的數學導論［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1998：56－78.

［6］Riccardo Marino，Patrizio Tomei，著，姚郁，賀風華，譯.非線性系統設計——微分幾何、自適應及魯棒控制［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：121－143.

［7］焦曉紅，關新平.非線性系統分析與設計［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2008：132－136.

［8］方勇純，盧桂章.非線性系統理論［M］.北京：清華大學出版社，2009：101－124.

［9］葉敏，肖龍翔.分析力學［M］.天津：天津大學出版社，2001：65－67.

［10］王振發(fā).分析力學［M］.北京：科學出版社，2011：78－82.