含有雙曲函數(shù)非線性項的超混沌系統(tǒng)及其同步＊

余 飛，王春華，胡 燕，尹晉文

（湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410082）

由于超混沌系統(tǒng)具有兩個或兩個以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離呈現(xiàn)更為復(fù)雜的動力學(xué)特性，使得超混沌系統(tǒng)在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潛在的應(yīng)用［1］.目前，超混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生與同步技術(shù)越來越受到研究者的關(guān)注而成為混沌研究的熱點.自從R¨ossler［2］在1979年發(fā)現(xiàn)第1個超混沌系統(tǒng)以來，大量的超混沌系統(tǒng)相繼提出，如王光義等［3］通過在3階Lorenz系統(tǒng)中引入一個外加的狀態(tài)變量構(gòu)造了一個超混沌系統(tǒng).劉揚正［4］在三維Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一維狀態(tài)構(gòu)建了一個四維超混沌Lü系統(tǒng).周平等［5］構(gòu)造了只包含一個非線性項的四維超混沌系統(tǒng).可以看出在所研究的眾多新超混沌系統(tǒng)中，由于非線性項的不同導(dǎo)致了系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的超混沌特性，多數(shù)研究的非線性項均為系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量的乘積，對于含有雙曲函數(shù)非線性項的系統(tǒng)是否會有同樣的超混沌現(xiàn)象，其動力學(xué)行為特性目前尚未有研究.為此，本文在對這類自治系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，提出了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)非線性特征主要依賴于一個非線性二次雙曲余弦項和一個非線性二次交叉項.

Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理學(xué)、信息科學(xué)以及保密通信等領(lǐng)域存在重要的應(yīng)用價值，幾十年以來人們對其進行了廣泛深入的研究，并且提出了用以實現(xiàn)混沌同步的多種方法，如主動和被動控制法［7－8］、線性和非線性反饋控制同步法［9－10］、基于觀測器控制法［11］、滑模控制法［12］、自適應(yīng)完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和廣義函數(shù)投影同步方法［16］等.最近，文獻［5］提出了一種不刪除驅(qū)動系統(tǒng)非線性信息的混沌同步方法，并利用嚴格數(shù)學(xué)理論證明了該混沌同步方法可行性，但是該方法只適用于2個同結(jié)構(gòu)的超混沌同步，對異結(jié)構(gòu)混沌同步會失效.本文通過對該方法的改進，實現(xiàn)了2個異結(jié)構(gòu)的混沌同步，在同步過程中同樣保留了驅(qū)動系統(tǒng)的非線性特性，而且通過調(diào)整控制參數(shù)，可控制同步收斂速度，使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)能夠快速精確達到同步.

1 新的超混沌系統(tǒng)及其基本動力學(xué)

超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述為：

式中：a，b，c，k∈R＋；x，y，z，w為狀態(tài)變量.與一般超混沌系統(tǒng)不同的是，系統(tǒng)（1）含有一個非線性二次雙曲余弦項.當a＝8，b＝16，c＝10，k＝6，初始條件為［0.2，1，0.8，2］T時，系統(tǒng)軌跡的三維相圖如圖1所示.該四維超混沌系統(tǒng)的4個Lyapunov指數(shù)分別為l1＝0.325 5，l2＝0.121 6，l3＝0，l4＝－17.447 1，由此可以看出存在2個正的Lyapunov指數(shù)，表明該系統(tǒng)確實是超混沌系統(tǒng).由圖1可以看出，其吸引子結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有已發(fā)表的論文中所提出的四維超混沌吸引子結(jié)構(gòu)完全不同，故本文提出的混沌或超混沌吸引子具有復(fù)雜的動力學(xué)行為.

由方程組（1）可得：

圖1 超混沌吸引子相圖Fig.1 Phase portraits of hyperchaotic attractors

這意味著，當t→∞時，包含系統(tǒng)軌線的每個體積元均以指數(shù)率－17收縮至零.因此，所有系統(tǒng)的軌跡最終漸近地運動到一個特定的零體積的極限集中，即固定在一個吸引子上.很明顯，該混沌系統(tǒng)具有z軸對稱性，即滿足（x，y，z，w）→（－x，－y，z，－w）的不變性.

系統(tǒng)（1）的平衡點可以解下面代數(shù)方程求得：

很容易得出該系統(tǒng)有且僅有一個平衡點E（0，0，1／c，0），在該平衡點處對系統(tǒng)（1）進行線性化，對應(yīng)的雅克比矩陣為：

特征方程為：

解得：

根據(jù)Routh－Hurwitz判據(jù)，有

當滿足上述條件時，系統(tǒng)（1）在平衡點E處是全局穩(wěn)定的.圖2為系統(tǒng)（1）的頻譜，由圖可知存在連續(xù)的寬頻帶特性.圖3為在不同平面上所得到的Poin－care映射，可以看出Poincare映射圖在一個固定區(qū)域內(nèi)存在很多離散的、具有分層結(jié)構(gòu)的點.

圖2 log的頻譜Fig.2 Spectrum map of log

圖3 Poincare映射Fig.3 Poincare maps in planes where

2 超混沌系統(tǒng)（1）同步研究

將驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)用下面形式表示：

式中：A，B分別為驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)中的線性項系數(shù)矩陣，且A≠B為異結(jié)構(gòu)同步；F1（X1），F(xiàn)2（X2）分別為驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項；U（X1，X2）為控制項，其表達式為：

式中：DF1（X1），DF2（X1）分別對應(yīng)于F1（X1），F(xiàn)2（X1）的Jacobi矩陣；C為待定矩陣；e為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)誤差向量（假設(shè)驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的最高階為n階）.

由式（4）～式（7）可得誤差動力學(xué)系統(tǒng)方程為：

將所有響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量X2用驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)變量X1和誤差變量e表示，則式（8）的后2項將只剩下含有誤差變量ei（i＝1，…，n）的項.此時，ei＝0（i＝1，…，n）是誤差系統(tǒng)（8）的平衡點，誤差系統(tǒng)（8）在平衡點ei＝0（i＝1，…，n）處的Jacobi矩陣為A＋C.如果矩陣A＋C的所有特征值具有負實部，則驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以達到同步.此外，改變矩陣C，可以調(diào)節(jié)同步收斂時間，從而獲得最佳同步效果.

這里我們選取超混沌系統(tǒng)（1）為驅(qū)動系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型重新描述為：

響應(yīng)系統(tǒng)選取作者最近提出的一個具有完全四翼形式的四維混沌系統(tǒng)［17］，其數(shù)學(xué)模型描述為：

式中：m，f，g，h，p∈R，當m＝8，f＝12，g＝60，h＝4和p＝5時，系統(tǒng)吸引子具有完全四翼形式.

把驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)寫成向量形式，則驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項分別為：

可得：

計算F1（X1），F(xiàn)2（X1）的Jacobi矩陣DF1（X1），DF2（X1），分別為：

這里取待定矩陣

式中：k1，k2，k3，k4分別為控制系數(shù)，用來控制同步收斂的速度，需要選擇合適的k1，k2，k3，k4使A＋C的所有特征值具有負實部.

由式（6）可得如式（16）的控制器，將式（16）代入式（8）可得如式（17）的誤差動力學(xué)方程.顯然ei＝0是誤差動力學(xué)系統(tǒng)（17）的平衡點，誤差系統(tǒng)在平衡點ei＝0處的Jacobi矩陣為A＋C.

此外，誤差系統(tǒng)（17）中含有驅(qū)動系統(tǒng)的雙曲余弦非線性項，從圖4可以看出，其差值隨時間變化趨向于零，故這一項并不影響誤差系統(tǒng)在平衡點的Jacobi矩陣，只要滿足k1＜a，k2＜－1，k3＜c和k4＜0.由于矩陣A＋C的所有特征值具有負實部，所以平衡點ei＝0是誤差系統(tǒng)（17）的漸近穩(wěn)定平衡點，故有成立，從而響應(yīng)系統(tǒng)（10）和驅(qū)動系統(tǒng)

（9）可以達到全局漸進同步.

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)的非線性項差值隨時間變化的曲線Fig.4 Curve of the difference of nonlinear term in the drive system with respect to time

為了驗證該方法的有效性，采用4階龍格－庫塔法進行數(shù)值仿真，驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)初始值為X1（0）＝［0.2，1，0.8，2 ］T，系統(tǒng)參數(shù)為a＝8，b＝16，c＝10，k＝6；響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)初始值為X2（0）＝［2，1，1，2 ］T，系統(tǒng)參數(shù)為m＝8，f＝12，g＝60，h＝4，p＝5，此時2個系統(tǒng)分別處于超混沌和混沌狀態(tài).當控制系數(shù)k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1時，圖5為其同步誤差曲線，同步時間約為5s；當其控制系數(shù)k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1時，圖6為其同步誤差曲線，同步時間約為4s.由此可知，這種同步方法不但實現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步，而且在同步過程中保留了驅(qū)動系統(tǒng)的非線性特性.同時，通過調(diào)節(jié)控制系數(shù)，可提高同步收斂速度，使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)能夠快速精確達到同步.

圖5 當k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1時的同步誤差曲線Fig.5 Curves of synchronization errors when k1＝7，k2＝－2，k3＝9，k4＝－1

圖6 當k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1時的同步誤差曲線Fig.6 Curves of synchronization errors when k1＝－1，k2＝－2，k3＝－1，k4＝－1

3 結(jié) 論

提出了一個含有雙曲函數(shù)非線性項的四維超混沌系統(tǒng)，通過對該系統(tǒng)的一些基本動力學(xué)特性進行數(shù)值模擬和理論分析發(fā)現(xiàn)，此超混沌系統(tǒng)在參數(shù)變化時具有混沌和超混沌等復(fù)雜動力學(xué)行為，為應(yīng)用于保密通信等領(lǐng)域提供了選擇.同時本文在文獻［5］的基礎(chǔ)上，給出了一個不刪除驅(qū)動系統(tǒng)非線性項的異結(jié)構(gòu)混沌同步方法，并給予了嚴格數(shù)學(xué)證明.數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析的一致性表明了該改進的同步方法的有效性和可行性.

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