考慮邊界條件的頻率法測索力實(shí)用公式＊

唐盛華，方 志，楊 索

（湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082）

索結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于斜拉橋、懸索橋以及中下承式拱橋等大跨結(jié)構(gòu)中，索力直接控制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布和幾何線型，無論是在結(jié)構(gòu)施工過程還是正常使用階段，都需要能夠及時準(zhǔn)確地對索力進(jìn)行測試.目前，索力的測試方法主要有液壓表法、壓力傳感器法、測索伸長量法、磁通量法及頻率法.現(xiàn)階段以頻率法最為經(jīng)濟(jì)、實(shí)用，因而應(yīng)用最為普遍.

由拉索頻率計(jì)算索力的方法主要可以分為有限元方法和公式計(jì)算方法，其中有限元方法［1－3］可以較好地模擬斜拉索的線型、邊界條件、中間支撐等，并且可以同時使用多階頻率對拉索進(jìn)行多參數(shù)識別，能夠較好地識別包括索力在內(nèi)的拉索參數(shù)，但是，此類方法一般需要編程或借助現(xiàn)有軟件通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，不便于工程應(yīng)用.

公式計(jì)算方法要求建立索力與自振頻率的顯式關(guān)系，主要有2種方法，第1種方法由拉索的振動微分方程入手，建立頻率特征方程，再根據(jù)邊界條件對該方程進(jìn)行求解，當(dāng)拉索邊界條件取兩端固結(jié)時，得到的頻率方程為超越方程，難以得到索力與頻率的顯式關(guān)系，為此，較多學(xué)者對其進(jìn)行了研究.Robert等［4］提出了固結(jié)邊界時拉索頻率與弦理論頻率的關(guān)系式.Zui等［5］以考慮彎曲剛度的拉索方程的高精度近似解為基礎(chǔ)得到一組計(jì)算索力的實(shí)用計(jì)算公式.方志等［6］基于兩端固結(jié)梁在軸向拉力作用下橫向振動方程，擬合出軸向拉力與梁的抗彎剛度、長度、線密度及振動頻率之間的數(shù)值關(guān)系.Ceballos等［7］基于振動微分方程，推導(dǎo)了可以考慮拉索抗彎剛度和端部轉(zhuǎn)動約束剛度的索力迭代計(jì)算公式.張清華等［8］基于拉索自振頻率的解析表達(dá)式，引入奇異攝動解法建立了由關(guān)鍵參數(shù)表示的拉索自由振動解析表達(dá)式.另一種方法必須先獲得拉索的振型函數(shù)，再利用能量原理建立索力與頻率的關(guān)系式.宋一凡等［9］引入壓桿屈曲函數(shù)構(gòu)造兩端固結(jié)剛性拉索的1階和2階振型函數(shù)，再由RITZ法求得相應(yīng)的1階和2階固有振動頻率.任偉新等［10］采用能量法和曲線擬合方法，建立了分別考慮索垂度和抗彎剛度影響由基頻計(jì)算索力的實(shí)用公式.甘泉等［11］將固支歐拉梁的振型函數(shù)作為兩端固結(jié)拉索的振型函數(shù)，運(yùn)用能量原理，推導(dǎo)了該類拉索的索力實(shí)用計(jì)算公式.這些表達(dá)式，多數(shù)以分段形式給出，在分段處不具連續(xù)性，有些在求解索力時需要進(jìn)行迭代，有些僅適用于基頻情況，使用起來不是十分方便.

本文通過兩端固結(jié)梁和兩端鉸接梁的頻率特征方程，在找出二者的頻率關(guān)系后，建立了一個形式簡單、物理意義明確而又具有良好計(jì)算精度和適用范圍的索力計(jì)算公式.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了邊界條件對索力計(jì)算的影響，建立了能夠考慮拉索端部轉(zhuǎn)動約束剛度的索力計(jì)算公式，本文公式簡單適用，且具有良好的精度.

1 固結(jié)邊界的索力計(jì)算公式

軸向拉力T作用下兩端簡支、兩端固結(jié)梁橫向振動的頻率特征方程分別為［6］：

且

式中：m，L，EI和T分別為拉索的線密度、弦長、抗彎剛度及所受的軸向拉力；ωns，ωnc分別為兩端簡支和兩端固結(jié)時拉索的振動圓頻率；n為模態(tài)階數(shù).

假定ωns與ωnc滿足如下關(guān)系：

對于一根具體的拉索，當(dāng)m，L，EI和T都已知時，聯(lián)立式（1）～式（3）可求得頻率比值zn.

部分有代表性吊桿和拉索的參數(shù)分別如表1和表2所示（E＝2×105MPa）.反映拉索相對抗彎剛度的無量綱參數(shù)ξ如式（4）所示［10］，ξ值越小，拉索的相對剛度越大.

表1 吊桿參數(shù)Tab.1 Parameters of suspenders

表1中的A2，A4，A6吊桿的理論頻率比值zn如圖1所示，由圖可知，吊桿ξ值越小，其頻率比值zn越大，且頻率比值隨階次的增加而減小.表2中的B1，B2，B4拉索的理論頻率比值zn如圖2所示，由圖可知，對同一根拉索而言，其各階頻率比值基本相同，B1，B2，B4拉索的zn值依次減小.

記無量綱參數(shù)yn見式（5），對不同ξ值的拉索由式（3）可計(jì)算得到各階頻率比值zn，前6階頻率yn與zn的關(guān)系如圖3所示.通過多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，比較了1～4次多項(xiàng)式的各種可能組合，考慮到計(jì)算精度和便于應(yīng)用，選取1，3次項(xiàng)組合進(jìn)行擬合，前6階頻率比值zn的擬合公式見式（6），圖3中的實(shí)線為擬合公式的計(jì)算結(jié)果，和理論計(jì)算值吻合很好.

表2 拉索參數(shù)Tab.2 Parameters of cables

圖1 吊桿頻率比值znFig.1 Suspender frequency ratio zn

圖2 拉索頻率比值znFig.2 Cable frequency ratio zn

圖3 拉索yn－zn關(guān)系曲線Fig.3 The relationship curves of yn－zn

進(jìn)一步擬合得到頻率比值zn的統(tǒng)一計(jì)算公式見式（7），于是可得索力計(jì)算公式（8）.可見，該索力計(jì)算公式形式較簡單、物理意義明確.

2 固結(jié)邊界的索力計(jì)算結(jié)果比較

為驗(yàn)證本文索力計(jì)算公式的精度與適用范圍，選取了部分有代表性吊桿和拉索進(jìn)行分析，其參數(shù)分別如表1和表2所示.

基頻吊桿索力計(jì)算誤差的比較如圖4所示.由圖可知，公式（8）計(jì)算的索力整體表現(xiàn)最好，各吊桿的索力誤差均小于1%，文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［10］的索力誤差基本相同，不超過2.5%，文獻(xiàn)［6］的公式整體表現(xiàn)稍差，最大索力誤差也不超過2.5%.

圖4 基頻吊桿索力計(jì)算誤差Fig.4 First－order frequency cable tension calculation error of suspenders

公式（8），文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［11］計(jì)算的吊桿前5階頻率的索力誤差分別如圖5～圖7所示.由圖可知，公式（8）計(jì)算的各吊桿的索力誤差均不超過2.5%；文獻(xiàn)［6］計(jì)算的A1，A2吊桿的索力誤差較大；文獻(xiàn)［11］不同階頻率計(jì)算得到的索力離散性較大，索力誤差最大，因而，公式（8）的適用范圍更廣.

圖5 公式（8）索力計(jì)算誤差Fig.5 Cable tension calculation error of equation（8）

圖6 文獻(xiàn)［6］索力計(jì)算誤差Fig.6 Cable tension calculation error of reference［6］

圖7 文獻(xiàn)［11］索力計(jì)算誤差Fig.7 Cable tension calculation error of reference［11］

文獻(xiàn)［4］給出固結(jié)邊界時拉索頻率與弦理論頻率的關(guān)系式見式（9），可推出索力計(jì)算公式如式（11）所示，該公式適用于ξ≥50的拉索，世界上超過95%的斜拉索滿足這一條件［12］，因而，對于斜拉索而言，該公式有較好的適用性.

拉索前12階頻率計(jì)算的索力誤差如圖8～圖11所示.由圖可知，當(dāng)拉索較長時，由于垂度的影響，公式（8），文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［6］由基頻計(jì)算的索力均偏大（圖9，圖11），除1階頻率外，其他各階頻率由公式（8）計(jì)算的索力差別很小，誤差均小于0.4%.當(dāng)ξ≥115時，公式（8）和文獻(xiàn)［4］的索力計(jì)算結(jié)果很接近，文獻(xiàn)［6］由各階頻率計(jì)算得到的索力誤差比公式（8）稍大，而文獻(xiàn)［11］的索力計(jì)算方法需采用較高階頻率才能保證索力計(jì)算的精度，與其他幾種方法相比，其索力計(jì)算精度較差.

圖8 B1，B2拉索索力計(jì)算誤差Fig.8 B1and B2cable tension calculation error

圖9 B3，B4拉索索力計(jì)算誤差Fig.9 B3and B4cable tension calculation error

圖10 B5，B6拉索索力計(jì)算誤差Fig.10 B5and B6cable tension calculation error

圖11 文獻(xiàn)［11］索力計(jì)算誤差Fig.11 Cable tension calculation error of reference［11］

圖12 拉索關(guān)系曲線Fig.12 The relationship curves of

上述分析中拉索的抗彎剛度EI已知，而實(shí)際工程中，EI不易事先準(zhǔn)確地計(jì)算得到，為此，不少學(xué)者對抗彎剛度EI的識別方法進(jìn)行了研究［13－14］.

由于本文索力計(jì)算方法采用不同階數(shù)頻率計(jì)算的索力結(jié)果基本一致（長索基頻計(jì)算結(jié)果除外），因而，當(dāng)獲得多階頻率值時，可直接對EI和索力進(jìn)行識別，即先假定EI，然后由式（8）計(jì)算各階頻率的索力，若索力基本一致，則該EI值即為實(shí)際EI值.采用1～4階頻率對A1，A3，A5吊桿進(jìn)行了識別，此外，還采用2～11階實(shí)測頻率對文獻(xiàn)［13］中3根實(shí)橋拉索進(jìn)行了參數(shù)識別.文獻(xiàn)［13］中拉索基本參數(shù)見表3，識別結(jié)果見表4，表中索力識別值為平均值.由表可知，EI和索力的識別結(jié)果都比較好，表明本文方法具有良好的適用性.

公式（8）基于拉索兩端的邊界條件為固結(jié)的情況，實(shí)際上拉索的邊界介于簡支與固結(jié)之間，如圖13所示，當(dāng)兩端的轉(zhuǎn)動約束剛度k足夠大時，可視為固結(jié)邊界，當(dāng)k＝0時，為簡支邊界.

表3 文獻(xiàn)［13］拉索參數(shù)Tab.3 Ref.［13］parameters of cables

表4 抗彎剛度EI和索力識別結(jié)果Tab.4 Results of identified EI and cable tension

圖13 拉索端部支撐Fig.13 Cable end support

記吊桿的真實(shí)索力為Tr，由簡支邊界計(jì)算的索力為T1，固結(jié)邊界計(jì)算的索力為T2，簡支、固結(jié)2種邊界條件計(jì)算的索力誤差分別記為e1，e2，em為二者的絕對值較小者，反映在不同約束剛度k下，吊桿邊界按簡支或固結(jié)處理時，可以獲得的最小索力誤差，分別定義為：

各轉(zhuǎn)動約束剛度k下吊桿的頻率由有限元模型計(jì)算得到.吊桿k與em的關(guān)系如圖14所示（基頻結(jié)果），在k＝1×104～3×106N·m／rad時，按簡支或固結(jié)邊界計(jì)算的索力均有較大的誤差，吊桿的ξ值越小，誤差越大，因而對于短吊桿，邊界對索力測試的影響較大.

圖14 吊桿k－em關(guān)系Fig.14 k－emrelationship of suspenders

觀察式（7）可知，zn＝1加上一個yn的函數(shù)，當(dāng)yn＝0時，zn＝1，于是引入一反映邊界條件的參數(shù)ck，對yn進(jìn)行拆減，拆減后記為ynk，如式（16）所示，索力計(jì)算時使用ynk代替式（7）中的yn即可.當(dāng)ck＝0時，對應(yīng)簡支梁模型，當(dāng)ck＝1時，對應(yīng)固支梁模型，從而可以實(shí)現(xiàn)從簡支狀態(tài)到固結(jié)狀態(tài)的連續(xù)過渡.對于吊桿不同的端部轉(zhuǎn)動約束剛度k，可找到適當(dāng)?shù)腸k，使索力的計(jì)算比較準(zhǔn)確.

由圖14可知，A6和A7吊桿的索力計(jì)算誤差受邊界條件的影響不大，對A1～A5吊桿，使用其前4階頻率同時識別索力T、抗彎剛度EI和邊界條件影響系數(shù)ck，結(jié)果分別如圖15～圖17所示.由圖可知，當(dāng)k＝1×105N·m／rad時，A1吊桿的索力識別誤差為9.2%，盡管還比較大，相對于em＝41.5%，索力誤差明顯減小.此外，當(dāng)k＞1×106N·m／rad時，由于A4，A5吊桿識別的ck值比1偏小較多，導(dǎo)致其索力計(jì)算誤差稍大，為6.1%，其他情況索力誤差均小于5%.吊桿EI的識別誤差小于7%，因而采用引入系數(shù)ck的方法可以較好地考慮邊界條件對索力計(jì)算的影響.

圖15 吊桿索力計(jì)算誤差Fig.15 Cable tension calculation error of suspenders

圖16 吊桿EI計(jì)算誤差Fig.16 EIerror of suspenders

圖17 吊桿ck計(jì)算值Fig.17 ckvalue of suspenders

轉(zhuǎn)動約束剛度k從0增加到無窮大，相對于簡支狀態(tài)吊桿頻率增加，將頻率增加最大百分比化為1后記為歸一化頻率變化.構(gòu)造ck的計(jì)算公式見式（17），式中β為待定函數(shù)，當(dāng)β分別取常數(shù)1×105，5×105N·m／rad時，A1吊桿ck的計(jì)算值與基頻的歸一化頻率變化比較如圖18所示.由圖可知，3條曲線基本平行，因而ck可采用式（17）的形式進(jìn)行計(jì)算.

圖18 ck值和歸一化頻率變化比較Fig.18 ckvalue compared with normalized frequency variation

β的量綱和k一致，通過分析確定ck按式（18）進(jìn)行計(jì)算，式中a為待定常數(shù)，反映拉索參數(shù)對邊界約束的影響，相同k值下ck隨EI和T的增加而減小，即相同轉(zhuǎn)動約束剛度下，拉索的剛度越大、索力越大，邊界約束相對越弱.

取T按弦理論公式進(jìn)行計(jì)算，對各吊桿不同k值的索力進(jìn)行計(jì)算，確定式（18）中的a＝0.84，于是ck可按式（20）計(jì)算，各吊桿基頻率不同k值計(jì)算的索力誤差分別如圖19所示.由圖可見，索力誤差均小于1%.

圖19 吊桿索力計(jì)算誤差Fig.19 Cable tension calculation error of suspenders

因而，實(shí)際使用時，第1次可按參數(shù)識別方法計(jì)算ck，再由式（20）計(jì)算出k值，或者按有限元方法精確地識別出k和EI值，之后索力計(jì)算按式（20）計(jì)算ck對yn進(jìn)行拆減.

3 結(jié) 語

1）通過兩端固結(jié)梁和兩端鉸接梁的頻率特征方程，在找出二者的頻率關(guān)系后，建立了一個形式簡單、物理意義明確的索力計(jì)算公式.分析結(jié)果表明，該公式具有良好的計(jì)算精度和適用范圍，能準(zhǔn)確地計(jì)算ξ≥6.9的吊桿和拉索的索力，并可以用于參數(shù)識別，方便應(yīng)用于實(shí)際工程中的索力測試計(jì)算.

2）分析了吊桿邊界條件對索力計(jì)算結(jié)果的影響，提出了考慮端部轉(zhuǎn)動約束剛度的索力計(jì)算方法，可以較精確地對吊桿索力進(jìn)行計(jì)算.

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