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    凸多面體不確定混合時滯系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定

    2012-03-07 03:00:54郭曉寶焦賢發(fā)周堂春
    關鍵詞:多面體充分條件均方

    郭曉寶, 焦賢發(fā), 周堂春

    (1.合肥工業(yè)大學 數(shù) 學學院,安徽 合 肥 230009;2.陸軍軍官學院 數(shù) 學教研室,安徽 合 肥 230031)

    0 引 言

    眾所周知,在工程、生物系統(tǒng)以及信號處理(如多徑傳播和數(shù)據(jù)通信)領域中經(jīng)常發(fā)生時滯的現(xiàn)象,這類現(xiàn)象可能導致實際系統(tǒng)的不穩(wěn)定和震蕩。同時,根據(jù)時滯發(fā)生的方式,可以劃分為時變時滯和分布時滯。近年來,研究Markov跳變參數(shù)下時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定是控制領域的熱點課題之一[1-4]。在 Markov跳變參數(shù)系統(tǒng)中,文獻[5]研究了帶有離散時滯的線性不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定及可鎮(zhèn)定的充分條件;文獻[6]研究了分布時滯系統(tǒng)的魯棒可鎮(zhèn)定充分條件;文獻[7-8]研究了時滯依賴于模態(tài)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件;在線性實常參數(shù)凸多面體不確定系統(tǒng)中,文獻[9]討論了離散時滯和時變延遲的魯棒穩(wěn)定性。已有的研究涉及了帶有Markov跳變參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題或?qū)嵆>仃囃苟嗝骟w不確定系統(tǒng)下的魯棒穩(wěn)定性問題。

    本文綜合考慮了Markov跳變參數(shù)下,帶有時變與分布時滯的混合時滯類凸多面體不確定系統(tǒng),通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii候選函數(shù),利用線性矩陣不等式方法,給出系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

    1 問題描述與假設

    假設1{rt,t≥0}為定義在一個帶有自然流的完備全概率空間(Ω,F(xiàn),{Ft}t≥0,P)上,取值于有限維狀態(tài)空間S={1,2,…,N},且右連續(xù)

    Markov過程,其模態(tài)轉(zhuǎn)移概率為:

    考慮在全概率空間(Ω,F(xiàn),{Ft}t≥0,P)上一類具有混合時滯的Markov跳變參數(shù)下的凸多面體不確定系統(tǒng)為:

    其中,x(t)∈RN為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;初始條件φ(t)∈RN為在區(qū)間[-h(huán),0]上的連續(xù)向量函數(shù);ω(t)為在(Ω,F(xiàn),{Ft}t≥0,P)上獨立于狀態(tài)x(t)的維納過程,滿足

    E2α(rt)為含參數(shù)不確定性且依賴于模態(tài)rt的適當維數(shù)矩陣,假設其可以表示為若干個頂點矩陣的凸組合,即

    其中,Ai(rt)、Bi(rt)、Ci(rt)、E0i(rt)、E1i(rt)、E2i(rt)為頂點矩陣,i=1,…,N。

    d(t)、h(t)分別為系統(tǒng)時滯,且滿足條件:

    定義1 系統(tǒng)(1)為均方指數(shù)穩(wěn)定,如果存在正的常量a>0和b>0,使得對于系統(tǒng)(1)的每個解x(t;φ)滿足:

    引理1 對常值矩陣J>0,任意標量β>0,向量函數(shù)ν:[0,β]→Rn有[10]:

    引理2 (Schur)對給定的對稱矩陣[11]

    其中,S11∈Rr×r,以下3個條件是等價的:

    (1)S<0。

    (2)S11<0,S22-ST12S-111S12<0。

    (3)S22<0,S11-S12S-122ST12<0。

    2 主要結(jié)論

    對于系統(tǒng)(1),任取rt=i∈S,則系統(tǒng)(1)的等價形式為:

    其中

    定理1 如果?i∈S,存在矩陣Pl(i)>0,Ql>0,Rl>0(l=1,2,…,N),使得以下線性不等式成立,即

    其中

    則系統(tǒng)(4)為均方指數(shù)穩(wěn)定。

    證明 對 系 統(tǒng) (4),考 慮 Lyapunov-Krasovskii候選函數(shù):

    其中

    其中,Pα(i)、Qα、Rα為含凸多面體不確定性的適當維數(shù)矩陣,形式如下:

    由引理1,則有:

    由(3)式、(9)~(14)式,可得:

    其中

    由(5)式和(6)式,得:

    其中

    由引理2、(16)式,可得Φ<0。

    設α0=λmin(-Φ)>0,由(15)式,可得:

    由(7)式知,存在標量α1>0,α2>0及λm=(Pα(i))},使得:

    選取合適的β>0,使得:

    由(17)式、(19)式,對eβtV(x(t),i,t)求導,并取其數(shù)學期望得:

    對(20)式兩邊從0到T積分得:

    由(21)式、(22)式,得:

    其中,φ=(α1+α2h+α2heβh)/λm。

    由定義1,系統(tǒng)(4)為均方指數(shù)穩(wěn)定。

    3 數(shù)值例子

    考慮Markov參數(shù)下帶有混合時滯的凸多面體不確定系統(tǒng)(1)二維的數(shù)值例子。

    例1 取Markov跳變的狀態(tài)空間S={1,2},各系數(shù)矩陣及參數(shù)為:

    選取滿足(7)式、(8)式的矩陣為:

    運用Matlab中的LMI工具箱可得:

    通過驗證滿足定理2的條件,故系統(tǒng)(1)為均方指數(shù)穩(wěn)定。

    例2 當系統(tǒng)(1)中Cα(rt)、E0α(rt)、E1α(rt)、E2α(rt)項為零矩陣時,文中系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為文獻[12]中系統(tǒng)(1)的情形,對文獻[12]中數(shù)值例子利用本文所給方法,運用Matlab中的LMI工具箱可得:

    結(jié)果滿足文獻[12]中定理1條件,表明文獻[12]中系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定。

    4 結(jié)束語

    本文針對Markov跳變參數(shù)下同時具有時變與分布時滯的凸多面體不確定系統(tǒng),通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii候選函數(shù),利用線性矩陣不等式方法,得到該類帶有混合時滯的凸多面體不確定系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。數(shù)值例子表明此方法的可行性與有效性。

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