基于平穩(wěn)α－混合左刪失數(shù)據(jù)眾數(shù)核估計(jì)的漸近正態(tài)性

李成好， 汪 超， 凌能祥

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù) 學(xué)學(xué)院，安徽 合 肥 230009）

設(shè)（Y，T）是R×R上的一對(duì)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為F、G，兩者均未知；并設(shè)Y關(guān)于Lebesgue測(cè)度的未知密度函數(shù)f。當(dāng)且僅當(dāng)Y≥T時(shí)，Y和T都能被觀測(cè)到，否則，兩者都觀測(cè)不到。當(dāng)有n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)（Yi，Ti），i＝1，2，…，n時(shí)，可能實(shí)際采集的數(shù)據(jù)是N個(gè)（其中N≥n，N未知），即（Y1，T1），（Y2，T2），…，（YN，TN），其中，（Yi，Ti），i＝1，2，…，n與隨機(jī)變量（Y，T）同分布。此時(shí)稱(chēng)樣本（Yi，Ti），i＝1，2，…，n為隨機(jī)左刪失數(shù)據(jù)，并稱(chēng)隨機(jī)變量Y為觀測(cè)變量，T為隨機(jī)刪失變量，由此建立的模型為隨機(jī)左刪失模型。

左刪失數(shù)據(jù)模型廣泛出現(xiàn)在天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、流行病學(xué)及生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，很多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題開(kāi)展了大量的研究工作。

近年來(lái)，基于刪失數(shù)據(jù)的眾數(shù)核估計(jì)的研究取得了一系列成果。文獻(xiàn)［1］在iid場(chǎng)合下建立了右刪失數(shù)據(jù)眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的漸近正態(tài)性；文獻(xiàn)［2］得到了iid場(chǎng)合下右刪失數(shù)據(jù)的條件密度函數(shù)和條件眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)一致收斂性；文獻(xiàn)［3］研究了相依結(jié)構(gòu)下右刪失數(shù)據(jù) Kaplan－Meier估計(jì)的漸近性；文獻(xiàn)［4］解決了右刪失數(shù)據(jù)分布函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)［5］給出了iid場(chǎng)合下左刪失數(shù)據(jù)眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的漸近性；文獻(xiàn)［6］建立了iid場(chǎng)合下左刪失數(shù)據(jù)的條件密度函數(shù)和條件眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)一致收斂性，并獲得了條件眾數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)性；文獻(xiàn)［7］得到了α－混合結(jié)構(gòu)下左刪失數(shù)據(jù)的密度函數(shù)和眾數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)一致收斂性；文獻(xiàn)［8］建立了α－混合結(jié)構(gòu)下右刪失數(shù)據(jù)眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)一致收斂性；文獻(xiàn)［9］建立了α－混合結(jié)構(gòu)下左刪失數(shù)據(jù)的條件眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的漸近正態(tài)性。

本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，研究基于α－混合左刪失數(shù)據(jù)時(shí)眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的漸近正態(tài)性。

設(shè)｛Zi，i≥1｝為一隨機(jī)變量序列，為由｛Zj，i≤j≤k｝生成的σ代數(shù)?；旌舷禂?shù)α（n）＝，k∈N｝。如當(dāng)n→∞時(shí)α（n）→0，則稱(chēng)該序列為α－混合序列，又稱(chēng)強(qiáng)混合序列。它是目前文獻(xiàn)所見(jiàn)混合條件中最弱的。許多隨機(jī)過(guò)程都滿(mǎn)足α－混合條件，如ARMA過(guò)程就是強(qiáng)幾何混合過(guò)程，即?0＜ρ＜1，使得α（k）＝O（ρk）；在遍歷性條件下閾值模型、EXPAR模型、簡(jiǎn)單的ARCH模型及雙線(xiàn)性馬爾科夫模型都是強(qiáng)混合的。本文假設(shè)觀測(cè)樣本（Yi，Ti），i＝1，2，…，n是一平穩(wěn)α－混合序列，在一定的條件下，建立了其眾數(shù)非參數(shù)核估計(jì)的漸近正態(tài)性。

在左刪失模型中，得到隨機(jī)n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)（這里n是已知的，即使是隨機(jī)的），但實(shí)際觀測(cè)的樣本數(shù)N是未知的。令P表示關(guān)于N個(gè)完全樣本的概率測(cè)度，P＊表示關(guān)于n個(gè)刪失樣本的概率測(cè)度；同樣，令E和E＊分別表示關(guān)于P和P＊的期望，并且用星號(hào)（＊）表示關(guān)于n個(gè)刪失樣本的分布函數(shù)。令η：＝P（Y≥T），稱(chēng)η為刪失剩余率。

在左刪失樣本下，文獻(xiàn)［10－12］給出了（Y，T）的聯(lián)合分布函數(shù)為：

其中，t∧u＝min（t，u），而它們的邊際分布為：

其估計(jì)分別為：

其中，IA表示集合A的示性函數(shù)。

令f＊為觀測(cè)變量Y的密度函數(shù)的核估計(jì)，定義為：

其中，K為定義在R上的概率密度函數(shù)（被稱(chēng)作核函數(shù)）；hn：＝h表示窗寬，滿(mǎn)足：n→∞時(shí)h→0。

類(lèi)似于文獻(xiàn)［7］及其所引參考文獻(xiàn)，現(xiàn)對(duì)任意分布函數(shù)L，定義其支撐端點(diǎn)：

當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足條件：aG≤aF，bG≤bF且時(shí)，F(xiàn)和G才能被完全估計(jì)。則有：

記

它的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)為：

由文獻(xiàn)［7］，在獨(dú)立場(chǎng)合下，F(xiàn)、G的非參數(shù)極大似然估計(jì)為：

由于N未知無(wú)法計(jì)算，但由（2）式，得文獻(xiàn)［7］說(shuō)明了與y的選擇無(wú)關(guān)，即對(duì)任意的y只要Rn（y）≠0，＾ηn就能得到，并給出了

1 符號(hào)和估計(jì)

在左刪失模型下，由文獻(xiàn)［7］，（1）式不再適合估計(jì)密度函數(shù)f（·），基于（Yi，Ti），需要構(gòu)造其新估計(jì)（y）。基于文獻(xiàn)［7］，有估計(jì)量：

然而，由于G（·）和η未知，故（3）式和（4）式?jīng)]有實(shí)用價(jià)值。類(lèi)似于文獻(xiàn)［7］的思想，得

其中，對(duì)?i，Gn（Yi）≠0，于是，眾數(shù)核估計(jì)為＝

另一方面，分別對(duì)（y）和（y）求一階、二階導(dǎo)數(shù)

其中，j＝1，2。對(duì)·）作Taylor展開(kāi)得：

2 假設(shè)和結(jié)論

假設(shè)aG≤aF，bG≤bF，H＝［a，b］是一個(gè)緊集，使得H?Ω＝｛y：y∈［aF，bF］｝，假設(shè)條件如下：

A1 核函數(shù)K（·）在H上有界，三階可微，關(guān)于指數(shù)β＞0Lipchitz連續(xù)，滿(mǎn)足｜u｜→∞時(shí)｜u｜K（u）→0；

A2 ∫DK（t）dt＝1，∫DtK（t）dt＝0。

B1f（·）在H上四階連續(xù)可微，且

B2 對(duì)于眾數(shù)θ，f（2）（θ）≠0；

B3 （Yi，Yj）的聯(lián)合密度函數(shù)存在，且存在與（i，j）無(wú)關(guān)的C使 得：

B4 對(duì)于?j≤1，令fj（·，·）表示（Y1，Y1＋j）的聯(lián)合密度函數(shù)，對(duì)?y∈H，（y1，y2）∈U（y）×U（y）滿(mǎn)足fj（y1，y2）≤C，其中U（y）為y的鄰域。

C1 ｛Yi，i≥1｝是平穩(wěn)的α－混合隨機(jī)變量序列，混合系數(shù)為α（n）；

C2 ｛Ti，i≥1｝是一列iid刪失變量，具有連續(xù)分布函數(shù)G，且與｛Yi，i≥1｝獨(dú)立；

C3 α（n）滿(mǎn)足：存在正整數(shù)q：＝qn，使得q＝o（ （nh） ，且lim（nh－1α（q）＝0；

n→∞

窗寬h滿(mǎn)足：

D1n→∞時(shí)

D3（lnn）（lnlnn）＝O（nh5）且

假設(shè)A是密度函數(shù)核估計(jì)中常用的條件；假設(shè)B3是解決協(xié)方差問(wèn)題常用條件；假設(shè)C是α－混合刪失數(shù)據(jù)問(wèn)題常用假設(shè)，其中假設(shè)C3、C5是證明α－混合假設(shè)下漸近正態(tài)性的常用假設(shè)，見(jiàn)文獻(xiàn)［13］；假設(shè)D1是建立引理1的重要條件，D2保證引理2對(duì)Fuk－Nagaev不等式的處理，D3建立引理4中的收斂速度。

定理1 如果條件A1～A2、B1～B4、C1～C5、D1～D2成立，則

其中，j＝1，2。

此處j＝0時(shí)結(jié)論也成立，見(jiàn)文獻(xiàn) ［ 7］。

定理2 在定理1的條件下，如果D3滿(mǎn)足，則有：

3 模擬研究

為了更清楚地展現(xiàn)在有限樣本下對(duì)θ的估計(jì)效果，將對(duì)上面的主要結(jié)論進(jìn)行模擬研究。在第1部分給出估計(jì)的均方誤差（GMSE），分析其漸近性；第2部分通過(guò)頻率直方圖和概率圖研究估計(jì)漸近正態(tài)表現(xiàn)。為了得到一個(gè)α－混合序列，利用AR（1）模型生成數(shù)據(jù)，具體過(guò)程如下：生成εi～N（0，0.92），Y1＝ε1，Yi＝0.1Yi－1＋εi，i＝2，3，…，n。Ti～N（μ，1），i＝1，2，…，n，其中，μ的選取由不同的η決定。核函數(shù)K（·）選用Gaussian核。

3.1 漸近性

對(duì)模型分別取樣本量n＝200，500。數(shù)據(jù)的刪失剩余率η≈50%，90%，窗寬h＝n－1／2，n－1／3，n－1／4，各模擬m＝200次，計(jì)算估計(jì)＾θn的均方誤差GMSE＝－θi）2，結(jié)果見(jiàn)表1所列。

表1 估計(jì) 的GMSE

表1 估計(jì) 的GMSE

η／% n h＝n－1／2 h＝n－1／3 h＝n－1／4 200 0.059 3 0.154 1 0.252 2 500 0.015 6 0.097 8 0.198 3 90200 0.010 6 0.081 2 0.180 0 50 500 0.007 0 0.058 5 0.076 0

由表1可以看出：①當(dāng)刪失剩余率和樣本量不變時(shí)，窗寬h越大估計(jì)誤差越大；②當(dāng)刪失率剩余和窗寬不變時(shí)，樣本量n越大估計(jì)越好；③當(dāng)樣本量和窗寬不變時(shí)，刪失剩余率越大估計(jì)表現(xiàn)越好。

3.2 漸近正態(tài)性

取η≈90%，h＝n－1／3，分別令n＝200，500，各模擬m＝500次，生成直方圖和概率點(diǎn)圖。對(duì)比圖1a、圖1b，圖2a、圖2b可以得出結(jié)論：

（1）估計(jì)的誤差分布接近正態(tài)。

（2）刪失樣本量n越大，正態(tài)性越好。

圖1 直方圖

圖2 正態(tài)概率圖

4 主要結(jié)果的證明

定理1的證明

該證明由下面的分解式

和引理1～引理3得到。

引理1 假設(shè)條件 A1，A2，B2，C1～C3，D1成立，則

其中，j＝1，2。

證明

則引理得證。

引理2 假設(shè)條件A1，B1～B3，C1，C4，D1～D2成立，則

其中，j＝1，2。

證明 設(shè)緊集H被ln（ln有限）個(gè)半長(zhǎng)度為的區(qū)間覆蓋，其中β為L(zhǎng)ipchitz指數(shù)。令Uk：＝U（yk，wn），1≤j≤ln為以點(diǎn)yk為中心wn為半長(zhǎng)的區(qū)間。因?yàn)镠有 限，故?M＞0，使得wnln≤M，對(duì)?y∈H，?Uk包含它，使得｜y－yk｜≤wn。令

則

因此

接下來(lái)證明：

由 A 1知K（j）（j＝1，2）滿(mǎn)足Lipschitz條件，則

因此φ1項(xiàng)得證。

下面再研究φ2項(xiàng)。

令ξi＝nh1＋jΔi（yk），則｜ξi｜∞。由相依序列的 F uk－Nagaev不等式［14］，對(duì)?ε＞0，r＞0，可得：

其中，

由 A 1，B1，B2及變量代換，得

由A1，B3，C1及變量代換，得

由相依序列的協(xié)方差不等式［15］，顯然有：

為了研究L2項(xiàng)，取x表 示 比x大的最小整數(shù)，有

由（9）式得：

由C4和（10）式知：

根據(jù)D2不等式右邊知，?φ＞0，使得：

由C4和（11）～（13）式得：

由（8）式、（14）式得：

取r＝（lnn）1＋c（c＞0），由ln（1＋x）的 T aylor展開(kāi)式，（16）式變?yōu)椋?/p>

因此，

由D2不等式左邊得：

因此對(duì)于D2中任意的ζ，φ21是有界的。同理，適當(dāng)選取ε0＝O）得 φ22也有界。因此）＜∞。由Borel－Cantelli引理可得：

其中，j＝1，2，則引理得證。

引理3 假設(shè)條件A2，B1～B2成立，則

其中，j＝1，2。

證明 該漸近形式與相依結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。由分部積分、變量代換、A3和Taylor展開(kāi)可得：

4.2 定理2的證明

由（6）式得：

在定理1中令j＝2有：

因此在引理1中令j＝1有：

再結(jié)合下面的引理4和引理5，定理2即證。

引理4 假設(shè)條件 A 1，A3，B1～B2，D3成立，則（nh3

證明

對(duì)f（1）（θ－h(huán)v）做Taylor展開(kāi)：

其中，θ＊在θ和θ－h(huán)v之間。由f（1）（θ）＝0，B1，B2和D3得：

引理5 假設(shè)條件 A 1～A2，B4，C2～C4，D1～D2成立，則

證明 這里用Bernstein大塊小塊方法，參見(jiàn)文獻(xiàn)［16－17］。設(shè)長(zhǎng)度為p＝pn的大塊和長(zhǎng)度為q＝qn的小塊將集合｛1，2，…，n｝分割成2ωn＋1個(gè)子集，其中ω＝ωn＝［n／（p＋q）］。C3顯示了存在正 整 數(shù) 列δ → ∞，使 得δq＝o（（nh）1），nnP2。令 大 塊 長(zhǎng) 度p＝pn＝，則］

令

其中，km＝（m－1）（p＋q）＋1，lm＝（m－1）（p＋q）＋p＋1，m＝1，…，ω。則

接下來(lái)證明以下結(jié)果：

首先證明（18）式，由（3）式可得：

結(jié)合（17）式有J1＝O（ωq／n）＝o（1）。

因?yàn)?/p>

要證｜J2｜＝o（1），｜J3｜＝o（1），只要證：

下一步，設(shè)cn為一整數(shù)列且cn→∞，cnh→0，令

則

由B4對(duì)i＜j有：

因此：

由文獻(xiàn)［17］有：

則

由 （ 24） ～ （26） 式 知 （23） 式 成 立， 故｜J2｜＝o（1），｜J3｜＝o（1）。

對(duì)于（19）式，由（22）式、（23）式可得：

對(duì)于（20）式，由文獻(xiàn)［18］和（15）式得：

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