一類準(zhǔn)周期參激非線性扭振系統(tǒng)的周期簇發(fā)

時培明，李紀(jì)召，劉 彬，韓東穎

(1.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 測試計量技術(shù)及儀器河北省重點實驗室，秦皇島 066004;3.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院，秦皇島 066004)

旋轉(zhuǎn)機械是工業(yè)部門中應(yīng)用最為廣泛的一類機械設(shè)備，在電力、能源、交通、冶金以及國防等領(lǐng)域發(fā)揮著無可替代的作用。而傳動系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部分，其運行狀態(tài)影響整個生產(chǎn)過程。隨著生產(chǎn)速度和生產(chǎn)規(guī)模的逐步提高，傳動系統(tǒng)中的扭振問題也日益突出。傳動系統(tǒng)中存在復(fù)雜的非線性因素［1］，諸如間隙、非線性阻尼、非線性剛度等［2-4］，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生非線性扭振，影響其正常工作甚至導(dǎo)致設(shè)備損壞，造成重大的經(jīng)濟損失。文獻(xiàn)［5］建立含非線性阻尼的非線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)動力學(xué)方程，分析其在強迫激勵下的近似解。文獻(xiàn)［6］對旋轉(zhuǎn)機械傳動系統(tǒng)的扭振進(jìn)行了動力學(xué)建模與仿真。

簇發(fā)現(xiàn)象在神經(jīng)元模型中已被廣泛地認(rèn)識［7］。Rinzel［8］首次對神經(jīng)元的簇放電模式作出了系統(tǒng)的分析，認(rèn)識到慢變參數(shù)對快變量的調(diào)節(jié)作用引起快變動力學(xué)的靜息態(tài)和激發(fā)態(tài)的相互轉(zhuǎn)遷。Izhikevich［9］對神經(jīng)應(yīng)激性、激發(fā)、簇發(fā)進(jìn)行了分析?？炻到y(tǒng)中連接快慢兩過程的行為通常稱為簇發(fā)。Lakrad等［10］研究了自激準(zhǔn)周期Mathieu振子的準(zhǔn)周期解和簇發(fā)現(xiàn)象。Han等［11］對三環(huán)面、準(zhǔn)周期簇發(fā)，對稱亞臨界hopf/倍周期簇發(fā)，亞臨界hopf/倍周期簇發(fā)，及它們之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析。季穎、畢勤勝［12］研究了非光滑電路簇發(fā)行為的分岔機制及多種簇發(fā)現(xiàn)象。

在實際旋轉(zhuǎn)機械的傳動系統(tǒng)中，由于間隙、傾角、裂紋等非線性剛度因素的存在，往往以不同頻率的周期參數(shù)激勵的形式同時作用于扭振系統(tǒng)，表現(xiàn)為準(zhǔn)周期特性。如裂紋的存在會使轉(zhuǎn)軸剛度發(fā)生周期性的變化，從而使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生含有高頻和低頻成份的振動，出現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)行為［13］。本文考慮準(zhǔn)周期參數(shù)激勵，建立一類含有準(zhǔn)周期參激剛度和非線性阻尼的扭振系統(tǒng)的動力學(xué)方程。研究了當(dāng)兩種周期激勵的頻率差距較大時系統(tǒng)的周期簇發(fā)現(xiàn)象，給出了周期簇發(fā)的參數(shù)區(qū)域，分析了簇發(fā)產(chǎn)生的機制，并對改變快變參激和慢變參激的幅值時所引起的快慢系統(tǒng)的靜息態(tài)與激發(fā)態(tài)的變化進(jìn)行了仿真分析。

1 準(zhǔn)周期參激非線性扭振系統(tǒng)動力學(xué)方程

旋轉(zhuǎn)機械是工程中廣泛存在的動力傳動系統(tǒng)，圖1為旋轉(zhuǎn)機械中傳動系統(tǒng)的兩質(zhì)量扭振系統(tǒng)動力學(xué)模型。設(shè)J1、J2為扭振系統(tǒng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量，θi(i=1，2)分別為兩個集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)角，F(xiàn)1、F2分別是兩個集中質(zhì)量的外加力矩。

圖1 二質(zhì)量扭振系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of torsional vibration system with 2-DOF

K為系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度，θ·i(i=1，2)分別為兩個集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)速，扭振系統(tǒng)的動能為:

阻尼力表示為:

考慮準(zhǔn)周期參激剛度，即:

其中，v為與扭振系統(tǒng)固有頻率相關(guān)的共振頻率，Ω為遠(yuǎn)小于固有頻率的慢變頻率，ρ'、h'為剛度的變動幅值，K0為等效剛度。扭振系統(tǒng)的勢能U為:

把式(2)和式(3)代入動力學(xué)普遍方程

廣義力(廣義力矩)為:

其中，qr(r=1，2)為廣義坐標(biāo)，n為自由度數(shù)目。將式(2)和式(3)代入式(7)后得到系統(tǒng)的廣義力(廣義力矩)為:

將式(1)、式(2)、式(3)、式(5)、式(8)和式(9)代入如下Lagrange動力學(xué)方程:

可得:

其中，

其中，ω表示系統(tǒng)的固有頻率。式(14)就是一類含準(zhǔn)周期參激剛度和非線性摩阻的非線性扭振系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

2 準(zhǔn)周期參激扭振系統(tǒng)的分岔響應(yīng)方程

引入?yún)?shù)ε，對準(zhǔn)周期參激扭振系統(tǒng)進(jìn)行攝動分析。將方程(14)中的參數(shù)改寫為。則方程(14)可以表示為:

采用多尺度法［14-15］，設(shè)方程(15)的攝動解形式為:

將式(16)代入式(15)，可得到各階近似的線性偏微分方程組:

其中，A(T1，τ)和(T1，τ)為共軛函數(shù)且均為關(guān)于T1的函數(shù)。將式(19)代入式(18)中可以得到:

其中，式(20)中cc項表示等式右端各項的共軛復(fù)數(shù)部分。消除久期項，令:

其中，

3 準(zhǔn)周期參激扭振系統(tǒng)的周期簇發(fā)現(xiàn)象

具有快慢效應(yīng)的非線性動力系統(tǒng)會產(chǎn)生各種復(fù)雜的簇發(fā)現(xiàn)象。在靜息態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的簇發(fā)現(xiàn)象會呈現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)特性。當(dāng)準(zhǔn)周期參數(shù)激勵中其中一個參數(shù)激勵的頻率遠(yuǎn)小于另一個參數(shù)激勵的頻率時。會發(fā)生簇發(fā)現(xiàn)象［16］。本文中Ω?v，系統(tǒng)參數(shù)取值為ω=1、α=0.2、β=0.1、σ=-0.2、Ω=0.01。

3.1 快變參激對簇發(fā)現(xiàn)象的影響

取慢變參激的幅值h=0.02，由于慢變參激項的作用，在分岔響應(yīng)方程的特性曲線如圖2中的區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ之間產(chǎn)生了一個區(qū)域。在這個區(qū)域內(nèi)取值時，就會發(fā)生靜息態(tài)與激發(fā)態(tài)的相互轉(zhuǎn)遷，即發(fā)生周期簇發(fā)現(xiàn)象。將圖2中的部分區(qū)域進(jìn)行局部放大如圖3所示，當(dāng)快變參數(shù)激勵的幅值ρ=0.42時，得到系統(tǒng)的周期簇發(fā)解如圖4，圖中靜息態(tài)區(qū)域較寬，激發(fā)態(tài)區(qū)域較窄并出現(xiàn)一個激發(fā)態(tài);減小快變參數(shù)激勵幅值到ρ=0.4時，系統(tǒng)的周期簇發(fā)解如圖6，靜息態(tài)區(qū)域變窄，激發(fā)態(tài)區(qū)域增大并出現(xiàn)三個激發(fā)態(tài);當(dāng)快變參數(shù)激勵的幅值進(jìn)一步減小到ρ=0.38時，周期簇發(fā)解如圖8，可以看出，靜息態(tài)區(qū)域繼續(xù)減小，激發(fā)態(tài)增加到五個激發(fā)態(tài)。圖5、圖7、圖9分別為前面的周期簇發(fā)解所對應(yīng)的相空間，從相圖中可以明顯的看出，靜息態(tài)位于相圖的中間的密集部分，靜息態(tài)的內(nèi)側(cè)和外側(cè)為激發(fā)態(tài)，隨著快變參數(shù)激勵的幅值ρ的減小，靜息態(tài)的寬度逐漸變窄，激發(fā)態(tài)開始活躍。

3.2 慢變參激對簇發(fā)現(xiàn)象的影響

取快變參激的幅值ρ=0.5，當(dāng)h=2時，準(zhǔn)周期參激系統(tǒng)的周期簇發(fā)解如圖10所示，此時準(zhǔn)周期參激系統(tǒng)的動力學(xué)特性表現(xiàn)為由相對的大幅值和微小幅值兩種振蕩的組合，大幅值振蕩和小幅值振蕩分別看做準(zhǔn)周期參激系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)和靜息態(tài)［17-18］。圖11為圖10周期簇發(fā)解的局部放大，圖中，隨著時間的推移，會產(chǎn)生雙側(cè)不對稱的大幅值振蕩與小幅值振蕩的相互交替現(xiàn)象。周期簇發(fā)解所對應(yīng)的相圖如圖12，圖中系統(tǒng)的運行軌跡為L6→L1→L2→L3→L4→L5→L6，其中的L1→L2及L4→L5段的詳細(xì)運行規(guī)律如圖13，圖中系統(tǒng)的軌跡為從L1的大幅值振蕩開始，跳變進(jìn)入中心區(qū)域的極限環(huán)域變?yōu)樾》嫡袷?，然后沿著軌跡L2重新躍變?yōu)榇蠓嫡袷?。L4→L5段的運行規(guī)律與L1→L2段的運行規(guī)律類似。

增大慢變參數(shù)激勵的幅值，當(dāng)h=3時，準(zhǔn)周期參激系統(tǒng)的周期簇發(fā)解如圖14所示。圖15為圖14中周期簇發(fā)解的局部放大。時序圖中，隨著時間的推移，會產(chǎn)生單側(cè)不對稱的大幅值振蕩與小幅值振蕩的相互交替現(xiàn)象。周期簇發(fā)解所對應(yīng)的相圖如圖16，圖中系統(tǒng)的運行軌跡為L9→L7→L8→L9，其中的L7→L8段的詳細(xì)運行規(guī)律如圖17，圖中系統(tǒng)的軌跡為從L7的大幅值振蕩開始，跳變進(jìn)入中心區(qū)域的極限環(huán)域變?yōu)樾》嫡袷?，然后沿著軌跡L8從極限環(huán)中躍變出來重新變?yōu)榇蠓嫡袷帯?/p>

圖14 周期簇發(fā)解h=3Fig.14 Periodic bursting solution for h=3

圖15 圖14簇發(fā)解的局部放大Fig.15 Local magnification of periodic bursting solution in Fig.14

圖16 h=3時方程(14)的相圖Fig.16 Phase space of Eq.(14)for h=3

圖17 圖16相圖的局部放大Fig.17 Local magnification of phase space in Fig.16

4 結(jié)論

考慮了旋轉(zhuǎn)機械傳動系統(tǒng)中兩種不同周期參數(shù)激勵共存的情形，建立了一類含準(zhǔn)周期參激剛度、非線性摩擦阻尼的非線性扭振系統(tǒng)動力學(xué)方程。求解了系統(tǒng)在1/2亞諧波主參數(shù)共振下的分岔響應(yīng)方程，研究了當(dāng)兩種周期參激的頻率相差較大時非線性扭振系統(tǒng)的周期簇發(fā)現(xiàn)象，并給出了產(chǎn)生周期簇發(fā)的參數(shù)取值區(qū)域，在區(qū)域改變參數(shù)取值，就會發(fā)生靜息態(tài)與激發(fā)態(tài)的相互轉(zhuǎn)遷及周期的改變。當(dāng)減小快變參數(shù)激勵的幅值時，靜息態(tài)的時間減少，激發(fā)態(tài)區(qū)域擴大，簇發(fā)所占用的時間延長。當(dāng)改變慢變參數(shù)激勵的幅值時，系統(tǒng)的簇發(fā)模式及運動軌跡都會發(fā)生改變。研究結(jié)果為揭示該類旋轉(zhuǎn)機械傳動系統(tǒng)中的周期簇發(fā)動力行為提供參考。

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