變摩擦TMD特性和簡諧激勵控制效果的研究

秦 麗，閆維明，郭聲波

(1.襄樊學(xué)院 建筑工程學(xué)院，湖北 襄樊 441021;2.北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100022)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)安裝時不需修改結(jié)構(gòu)，可直接安裝在結(jié)構(gòu)頂層，因其靈活方便，眾多學(xué)者研究了TMD的控制效果和設(shè)計方法［1－2］。常見TMD系統(tǒng)采用粘滯阻尼，是固體在液體中運動產(chǎn)生的一種阻尼，構(gòu)造比較復(fù)雜，而且粘滯阻尼系數(shù)在實際制作中有時很難滿足要求。摩擦力可以由重物滑動、結(jié)構(gòu)結(jié)點轉(zhuǎn)動等產(chǎn)生，比較容易實現(xiàn)，而且造價低廉，用于TMD能有效降低其造價。鑒于摩擦TMD的優(yōu)點和潛在的應(yīng)用前景，不少學(xué)者對摩擦TMD的特點和規(guī)律進行了研究。文獻［3］采用隨機線性化方法研究了采用摩擦阻尼器的TMD，結(jié)果證明這種非線性TMD只要正確設(shè)計，其控制效果可以和線性阻尼TMD相媲美。田志昌等［4－5］在被動調(diào)諧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)中采用摩擦耗散能量，以替代粘滯阻尼，討論了這種新系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)問題，并利用數(shù)值仿真說明了新方法的減振效果穩(wěn)定。閆維明等申請了懸吊式摩擦TMD的專利［6］，并將其應(yīng)用于實際工程［7］。但摩擦元件是非線性元件，數(shù)值模擬較為復(fù)雜，與粘滯阻尼器相比，增加了TMD分析的難度;另外，摩擦阻尼器的滯回模型大都類似矩形，存在一個臨界值(起滑力)，當(dāng)荷載超過該值以后，裝置開始滑動，滑動時其剛度變?yōu)?，摩擦力大小不變。由于常摩擦阻尼器滯回模型的特點，常摩擦TMD在外部激勵小時不啟動，在外部激勵大時又不能提供足夠的阻尼，為了最大限度發(fā)揮其控制效果，選擇一個合適的起滑力至關(guān)重要，這必然增加摩擦TMD設(shè)計的復(fù)雜性。

針對常摩擦TMD的缺點，本文提出一種變正壓力式變摩擦裝置，通過改變摩擦面正壓力實現(xiàn)摩擦力隨TMD位移增大而增大。分析了變摩擦單自由度系統(tǒng)的動力特性，變摩擦TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，進行了變摩擦TMD在簡諧荷載作用下對結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果的理論分析和實驗研究。

1 變正壓力式變摩擦TMD工作原理

Whiteman和 Ferri［8］研究了具有位移依賴型摩擦阻尼器的懸臂梁在簡諧激勵下的運動特性，詳細分析了系統(tǒng)滑動－靜止的運動特征。本文借鑒文獻［8］通過改變摩擦面正壓力來實現(xiàn)改變摩擦力的思想，提出變正壓力式變摩擦TMD，其原理如圖1所示，特點是采用變摩擦裝置代替?zhèn)鹘y(tǒng)TMD中的油阻尼器。變摩擦阻尼器由斜面、摩擦塊、摩擦面、彈簧和滾動軸承組成。摩擦阻尼由摩擦塊和摩擦面之間的摩擦力提供。摩擦塊和TMD質(zhì)量在TMD運動方向不能產(chǎn)生相對運動，保證摩擦塊在摩擦面上的運動與TMD運動一致性。在垂直于TMD運動方向，摩擦塊和TMD質(zhì)量可以自由地相對運動，保證正壓力全部傳到摩擦面上，不會傳到TMD質(zhì)量上。變摩擦裝置彈簧只能在彈簧長度方向伸縮，不能在垂直于彈簧長度方向變形，彈簧一端與摩擦塊相連，另一端連接一個滾動軸承，滾動軸承和斜面接觸。當(dāng)TMD左右運動時，帶著摩擦塊、彈簧和軸承一起運動，由于軸承和斜面接觸，彈簧壓縮量隨著TMD位移的變化而變化，正壓力也發(fā)生變化，摩擦力自然就會隨位移增大而線性增大。

圖2給出了斜面的受力分析，彈簧對斜面的壓力N=N0+ktztanγ，N0是彈簧的預(yù)壓力，kt為彈簧剛度，z是TMD的位移，γ是斜面的傾角。豎向彈簧力也就是摩擦塊的正壓力。在豎向彈簧壓力的作用下，斜面產(chǎn)生垂直與斜面的反力，此反力會有水平方向的分力，F(xiàn)h=Ntanγ，這個水平分力可以作為TMD的恢復(fù)力，可見這種變摩擦裝置不僅提供摩擦力，還會改變系統(tǒng)的頻率。

2 變摩擦單自由度系統(tǒng)動力特性

2.1 變摩擦單自由度系統(tǒng)動力特性理論推導(dǎo)

為了分析變摩擦TMD的阻尼和剛度特性，先分析變摩擦單自由度系統(tǒng)的動力特性。變正壓力式變摩擦單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的運動方程為:

其中，m，k是單自由度系統(tǒng)質(zhì)量和剛度;N0為彈簧初始壓力，kt為彈簧剛度;γ為斜面的角度;μ是摩擦面的摩擦系數(shù);分別為系統(tǒng)的加速度，速度和位移;F是簡諧激勵。

將式(1)中的非線性項展開成傅里葉級數(shù)，并取第一項，得到以下的近似:

將式(2)、式(3)代入式(1)中，并分別平衡正弦和余弦項，得:

其中:

利用式(4)，并考慮 F2=(fc)2+(fs)2，得:

解式(5)這個一元二次方程，得:

由式(6)可求出變摩擦單自由度系統(tǒng)在幅值不變、頻率變化的簡諧荷載作用下響應(yīng)幅值隨激勵頻率的變化曲線，從而得到系統(tǒng)的頻響特性。變摩擦單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵之間的相位差可以通過下式求出:

為了得到變摩擦系統(tǒng)的等效阻尼比和等效頻率，給出線性阻尼系統(tǒng)諧波平衡公式:

通過比較式(8)和式(4)，可以得到等效頻率和等效阻尼比:

2.2 系統(tǒng)參數(shù)對等效阻尼比和等效剛度的影響

通過算例來分析變摩擦單自由度系統(tǒng)等效阻尼比和等效頻率的變化規(guī)律。

算例1單自由度系統(tǒng)，m=21.5 ton，k=3 013 kN/m，斜面角度:5、10、15、25、35。摩擦面正壓力施壓彈簧剛度 kt:12 500 kN/m、17 500 kN/m、25 000 kN/m。初始預(yù)壓力:25 kN、50 kN、100 kN、150 kN、200 kN。摩擦面摩擦系數(shù)0.1。

圖3給出了N0=100 kN，γ=15°時彈簧剛度對系統(tǒng)等效阻尼和等效剛度的影響，可以看出二者都隨彈簧剛度的增大而增大。從圖中還可以看到等效阻尼比在TMD運動幅值很小時隨系統(tǒng)運動幅值增大而減小，原因在于，運動幅值很小時摩擦力主要由大小不變的預(yù)壓力產(chǎn)生，所以變摩擦系統(tǒng)也體現(xiàn)了常摩擦系統(tǒng)特點，即阻尼比隨運動幅值增大而減小。系統(tǒng)達到一定運動幅值后，斜面引起的彈簧壓縮所產(chǎn)生的正壓力遠遠超過預(yù)壓力，此時變摩擦系統(tǒng)體現(xiàn)出了線性阻尼系統(tǒng)的特點，即阻尼比不隨運動幅值的改變而改變。

圖4給出了斜面傾角對系統(tǒng)等效阻尼比和等效頻率的影響?？梢钥吹?，二者都隨傾角增大而增大。具體地，傾角從5°增大到10°時，等效頻率和等效阻尼比分別增大了8%和82%;10°到15°時，增大了11.7%和36%;15°到 25°時，增大了 30.7% 和 30%;25°到 35°時，增大了33.2%和12%?？偟膩碚f，傾角越大，增大傾角對阻尼比的增大效果越不明顯，而對增大頻率的效果越明顯。從圖4中還可以看到，等效頻率和等效阻尼隨斜面傾角的變化曲線幾乎與預(yù)壓力無關(guān)。事實上，代表不同預(yù)壓力的四條曲線幾乎是重合的。這些情況在系統(tǒng)設(shè)計中應(yīng)加以考慮。

圖5給出了kt=22 500 kN/m，傾角為15°時不同預(yù)壓力(N0在50～200 kN變化)下，等效阻尼比和等效剛度隨系統(tǒng)運動幅值變化而變化的趨勢。從圖中可以看到，預(yù)壓力只在TMD運動幅值很小的時候?qū)Φ刃ё枘岜群偷刃偠扔幸欢ǖ挠绊憽＿€可以看出彈簧預(yù)壓力對等效阻尼比的影響稍大于它對等效頻率的影響。

圖5 彈簧預(yù)壓力對系統(tǒng)等效頻率和阻尼比的影響Fig.5 Influence of pre-pressure on equivalent frequency and damping ratio

2.3 變摩擦單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

通過算例研究變摩擦單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，并和它的等效線性阻尼系統(tǒng)作比較。

算例2單自由度系統(tǒng)，m=21.5 ton，k=1 500 kN/m，kt=17 500 kN/m，N0=0，摩擦系數(shù) μ=0.1，斜面傾角15°。按式(9)和式(10)計算等效頻率 ωe=11.726，等效阻尼比 ξe=0.05，相應(yīng)的經(jīng)典阻尼系統(tǒng)參數(shù)為:me=21.5 ton，ke=ω2e× me=2 956.23 kN，ξe=0.05。

圖6(a)比較了變摩擦單自由度系統(tǒng)和它的等效線性系統(tǒng)在幅值不變(F=21.5 kN)，頻率改變的簡諧激勵作用下，位移響應(yīng)幅值隨激勵頻率的變化曲線?？梢钥吹?，變摩擦系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值在共振頻率附近比它的等效線性系統(tǒng)的略大，但二者總體趨勢接近。圖6(b)給出了變摩擦單自由度系統(tǒng)和等效系統(tǒng)相位角余弦隨激勵頻率的變化曲線，可以看到，二者只是稍有差別。

因此在設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的參數(shù)時，可以先按經(jīng)典阻尼的理論進行計算，然后再在適當(dāng)折減阻尼比的條件下設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

圖6 變摩擦系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性比較Fig.6 Frequency response characteristic of variable friction system and its equivalent linear system

3 結(jié)構(gòu)－變摩擦TMD系統(tǒng)特性

為了簡化非線性項的分析，將TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y作為未知數(shù)，得到主結(jié)構(gòu)和變摩擦TMD在簡諧激勵下的運動方程:

其中，M、C和K分別是主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度，m和k分別是TMD的質(zhì)量和剛度，μ是摩擦面的摩擦系數(shù)，z1是主結(jié)構(gòu)相對于地面的位移，y是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移是摩擦面的正壓力tanγ是斜面對正壓力Nv的反力的水平分力;N0是彈簧的預(yù)壓力;γ是斜面傾角，kt是摩擦面上壓緊彈簧的剛度系數(shù)。

引入?yún)?shù):r=m/M，ω21=K/M，ω22=k/m，f=ω2/ω1，p(t)=P(t)/M，Nv0=N0/m，Nh0=N0tan(γ/m)，Nhf=kttan2(γ/m)，Nvf=kttan(γ/m)

式(11)變?yōu)?

令:

其中φ1是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y和主結(jié)構(gòu)相對位移z之間的相位差;φ2是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y和激勵P之間的相位差。

將式(12)中非線性項展開成傅里葉級數(shù)，并取第一項，得下列近似關(guān)系:

將式(13)和式(14)代入式(12)，通過 cos(ωt)和sin(ωt)兩項系數(shù)的恒等關(guān)系得:

從式(15c)和式(15d)分別將ZcZs用Y表達，并代入式(15a)和式(15b)，消去ZcZs得:

其中，

由式(16)，并利用關(guān)系(pc)2+(ps)2=P2，解得TMD的運動幅值Y:

從式(17)可以得到兩個Y值，但Y是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移幅值，只能是大于零的，所以只有正的Y值是有意義的。需要注意的是，式(17)中只有根號下的部分大于等于零，才可以得到正的實數(shù)Y。在摩擦力大到一定程度以后，根號下的部分可能出現(xiàn)負值，在這種情況下，就不能用諧波平衡法求系統(tǒng)的響應(yīng)了，原因就在于諧波平衡法假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)是簡諧的，而當(dāng)摩擦力相對于主結(jié)構(gòu)的運動比較大時，TMD的運動就會出現(xiàn)靜止－運動現(xiàn)象，不再能用簡諧運動來描述，所以無法再利用諧波平衡法求解了。

求出Y后，根據(jù)式(15)可求出剩下的未知數(shù)，從而得到我們關(guān)心的一定激勵頻率和幅值的簡諧激勵作用下主結(jié)構(gòu)位移幅值。

算例3

主結(jié)構(gòu):M=430，K=60 300 kN/m，ξ1=0.02;

TMD:m=21.5，k=1 500 kN/m，kt=17 500 kN/m，N0=0摩擦系數(shù) μ=0.1，斜面傾角 γ=15°。根據(jù)式(9)和式(10)計算得出等效頻率ωe=11.726，等效阻尼比 ξe=0.05

相應(yīng)的經(jīng)典阻尼TMD參數(shù)為:meff=21.5，keff=

圖7給出了無TMD、經(jīng)典阻尼TMD和變摩擦TMD時主結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)曲線的比較，從圖中可以看到，具有變摩擦TMD和經(jīng)典阻尼TMD，主結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)曲線有一定的差別，但二者都能有效減小主結(jié)構(gòu)的頻響曲線峰值。

圖7 主結(jié)構(gòu)頻響曲線的比較Fig.7 Frequency response curve of structure with variable friction TMD，viscous damped TMD and without TMD

4 變摩擦TMD特性的實驗研究

4.1 模型設(shè)計

本試驗著力于原理和性能方面，故采用較為簡單的單自由度主結(jié)構(gòu)，如圖8，主結(jié)構(gòu)剛度由0.045 m×0.004 m×0.5 m高的鋼片提供，主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量由0.6 m×0.7 m×0.01 m鋼板，配重塊和固定TMD的構(gòu)件質(zhì)量組成。本試驗主結(jié)構(gòu)質(zhì)量為75 kg，頻率為2.1 Hz。從自由衰減曲線，利用常規(guī)的阻尼比計算方法可以得到主結(jié)構(gòu)的阻尼為0.073。

圖8 主結(jié)構(gòu)模型和TMD實物圖Fig.8 Picture of structure and friction TMD

變正壓力式變摩擦TMD構(gòu)造如圖8，TMD質(zhì)量通過直線軸承安裝于滑軌之上，采用滑軌是為了有效減小系統(tǒng)的固有摩擦阻尼;TMD剛度由剛度為100 N/m的拉簧提供，通過增加拉簧的數(shù)量來調(diào)節(jié)TMD的剛度。采用拉簧也是為了進一步減小系統(tǒng)本身的摩擦阻尼，增大阻尼的可調(diào)節(jié)范圍。TMD質(zhì)量上垂直于滑軌方向TMD運動方向安裝另一組導(dǎo)軌，用來安裝提供正壓力的彈簧，當(dāng)TMD質(zhì)量沿滑軌運動時，由于斜面的作用，提供摩擦面正壓力的彈簧壓縮量隨TMD的位移增加而增加，從而使摩擦力隨TMD的位移增加而增加。

4.2 簡諧激勵下變摩擦TMD的特性和控制效果

圖9給出了變摩擦TMD的摩擦力－位移滯回曲線，可以看出摩擦力隨位移增大有增大的現(xiàn)象，基本符合變摩擦TMD理論分析結(jié)果。由于本文所進行的只是變摩擦TMD的初步原理試驗，模型制作不夠精細，試驗所得摩擦力－位移滯回曲線并不是嚴格隨TMD位移增大而線性增大，從圖9可以看到，滯回曲線在第一象限有輕微的波動。為了獲得更為理想的變摩擦效果，需要改進試驗?zāi)Ｐ停@些工作會在后續(xù)的研究中逐步開展。圖10給出了有TMD和無TMD結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)，加上TMD后，結(jié)構(gòu)的加速度由0.55 g變成為0.18 g，體現(xiàn)了變摩擦TMD對簡諧激勵作用下結(jié)構(gòu)控制的有效性。

5 結(jié)論

提出一種變正壓力式變摩擦裝置，并詳細闡述了這種新型變摩擦裝置的工作原理。采用一階諧波平衡法推導(dǎo)了變摩擦系統(tǒng)的等效阻尼比和等效頻率，分析了變摩擦系統(tǒng)各參數(shù)對其等效阻尼比和等效頻率的影響，通過與經(jīng)典阻尼單自由度系統(tǒng)的比較探討了單自由度變摩擦系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。從理論和試驗兩個方面研究了簡諧激勵下變摩擦TMD對單自由度主結(jié)構(gòu)振動控制的特點。主要得出以下的結(jié)論:

(1)變正壓力式變摩擦TMD，有預(yù)壓力的情況下，運動幅值很小時，等效頻率和等效阻尼比隨TMD運動幅值增大而減小，當(dāng)TMD達到一定的運動幅值后，等效頻率和等效阻尼比不再隨運動幅值的變化而變化。斜面傾角增大，等效阻尼比和等效剛度都增大。傾角越大，增大傾角對阻尼比增大效果越不明顯，而對增大頻率的效果則比較明顯。彈簧預(yù)壓力只在運動幅值很小時對等效阻尼比和等效頻率有一定影響。

(2)變摩擦單自由度系統(tǒng)和相應(yīng)的等效經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性差別不大，只是峰值有一點差別。設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的參數(shù)時，可以先采用粘滯阻尼的理論進行，再適當(dāng)考慮阻尼比的折減，設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

(3)變摩擦TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和等效經(jīng)典阻尼TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)加速度傳遞函數(shù)差別不大，這說明變摩擦TMD系統(tǒng)具有和經(jīng)典阻尼TMD類似的特性。

(4)變摩擦TMD簡諧激勵控制效果理論和實驗分析表明，變摩擦TMD與經(jīng)典TMD類似，都能有效減小在簡諧激勵下主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

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