輪胎自激振動(dòng)分岔參數(shù)影響分析

楊憲武，左曙光，雷 鐳，吳旭東，李 勇

（同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804）

隨著高速公路的普及，汽車行駛在高速公路上的時(shí)間越來越長，隨之而來的自激多邊形磨損現(xiàn)象經(jīng)常在汽車輪胎上發(fā)生。這種磨損可導(dǎo)致輪胎提前報(bào)廢，造成爆胎等嚴(yán)重威脅汽車行駛安全的事故，嚴(yán)重影響到產(chǎn)品和企業(yè)的形象。這種不均勻磨損的潛在原因很多，可能是車輛的動(dòng)態(tài)性能、定位參數(shù)、懸架和道路情況等方面的原因，也可能是輪胎的結(jié)構(gòu)參數(shù)、形狀參數(shù)、胎面形式和胎壓等原因造成的。

國內(nèi)外，對(duì)于輪胎偏磨損機(jī)理的研究，集中了大量的精力來研究輪胎與路面之間相互作用的微觀和宏觀機(jī)理，并以此來試圖解釋輪胎磨損的各種形式［1－4］，但目前尚無成熟的理論方法。日本Atsuo Sueoka［5］研究小組將兩接觸旋轉(zhuǎn)輪滾動(dòng)之間可以產(chǎn)生自激振動(dòng)的原理在汽車輪胎周向多邊形磨損機(jī)理研究中，較成功地解釋了多邊形磨損的現(xiàn)象，但模型中沒有考慮前束角的影響，且只研究了垂向一個(gè)自由度，故不能合理地應(yīng)用到汽車輪胎磨損研究中。本文正是基于這樣的背景，結(jié)合同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院輪胎多邊形磨損科研小組前期研究成果［6－7］，從輪胎與路面之間的相互作用機(jī)理入手，在側(cè)向方面探討了輪胎的自激振動(dòng)，研究自激振動(dòng)發(fā)生分岔的車速范圍和自激勵(lì)系統(tǒng)振動(dòng)特性及車速的關(guān)系，以及前束角、胎面質(zhì)量塊和載荷變化等因素對(duì)自激勵(lì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

1 胎面－路面摩擦模型

1.1 摩擦系數(shù)曲線的選取

在胎面－路面模型中，摩擦特性的描述一直是輪胎力學(xué)建模的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它直接關(guān)系到模型的精度。摩擦系數(shù)分為動(dòng)摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)，兩者之間摩擦狀態(tài)的切換是輪胎摩擦特性中比較難以建模的問題，而摩擦狀態(tài)的切換又是汽車使用中經(jīng)常會(huì)遇到的工況。過分簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型不能正確描述摩擦力的變化規(guī)律，采用復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型又不能得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程的解析結(jié)果，因此，建立合理的數(shù)學(xué)模型是研究摩擦力激勵(lì)自激的一項(xiàng)關(guān)鍵任務(wù)。

以往輪胎模型中摩擦系數(shù)多假設(shè)為常數(shù)，或僅給出摩擦系數(shù)隨速度變化而簡(jiǎn)單下降的經(jīng)驗(yàn)公式［8］。而通過對(duì)輪胎橡膠塊摩擦試驗(yàn)可以看到橡膠的摩擦系數(shù)隨滑移速度增加是先上升后下降，下降趨勢(shì)是先急劇后緩和［9］。

庫倫摩擦是最早被發(fā)現(xiàn)的一種摩擦現(xiàn)象，隨著對(duì)摩擦現(xiàn)象的不斷認(rèn)識(shí)，結(jié)合面間的粘滑摩擦被逐漸重視起來。滾動(dòng)輪胎接地面上的摩擦力主要包括兩個(gè)分力：粘附摩擦力和滯后摩擦力。前者為兩對(duì)摩表面摩擦力，而后者則是周期性變形引起并產(chǎn)生于輪胎本身的基體摩擦阻力［10］。圖1給出了兩者間相對(duì)速度大小與粘滑狀態(tài)之間的關(guān)系圖［11］。

后來Stribeck模型，指數(shù)模型，Karnopp模型，鬃毛模型均對(duì)動(dòng)靜摩擦系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了深入的分析，Canudas de wit［12］提出了一種更加完善的 Lugre 模型，該模型是鬃毛模型的擴(kuò)展，同時(shí)采納了鬃毛模型的思想，即在微觀下接觸表面可以看成是大量的具有隨機(jī)行為的彈性鬃毛。但鬃毛模型描述的是摩擦的隨機(jī)行為，而LuGre摩擦模型則是基于鬃毛的平均變形來建模，綜合考慮了兩者接觸面間的粘附摩擦，遲滯特性以及激勵(lì)頻率對(duì)遲滯環(huán)的影響，其模型表達(dá)式如式（1）所示：

式中：σ0為刷毛剛度系數(shù)；σ1為刷毛阻尼系數(shù)；σ2為相對(duì)粘滯阻尼系數(shù)；z為刷毛的平均彈性變形量；vr為兩接觸物體間的相對(duì)速度；vs為Stribeck速度；δ為Stribeck指數(shù)（一般取0.6～2）；Fs為最大靜摩擦力；Fc為滑動(dòng)摩擦力；F為總摩擦力。

圖1 相對(duì)速度與粘滑狀態(tài)關(guān)系圖Fig.1 Relationship between relative velocity and stick-slip state

如圖2所示，當(dāng)相對(duì)速度的變化頻率較低時(shí)，Lugre模型表現(xiàn)出與穩(wěn)態(tài)摩擦模型相一致的靜態(tài)摩擦特性，隨著輸入頻率的不斷提高，Lugre模型的動(dòng)態(tài)遲滯特性愈發(fā)明顯，說明Lugre摩擦模型可以根據(jù)接觸面間相對(duì)速度vr的不同變化做自我調(diào)整，表現(xiàn)出不同的摩擦特性，而輪胎接地印跡塊在汽車前進(jìn)過程中表現(xiàn)出明顯的彈性遲滯特性，因此，Lugre摩擦模型可以很好地模擬汽車輪胎與地面間摩擦行為的瞬態(tài)特性。

圖2 不同輸入頻率下的Lugre摩擦特性曲線Fig.2 Friction curve of Lugre model with different input frequency

1.2 模型構(gòu)建

除了空氣作用力外，汽車運(yùn)動(dòng)所需的所有外力都是由車輪和路面之間的相互作用產(chǎn)生的，因而輪胎力學(xué)特性與汽車動(dòng)力學(xué)特性密切相關(guān)。為了準(zhǔn)確地描述輪胎的動(dòng)力學(xué)特性，將車輪分成兩部分來建模：輪輞和輪胎等效接地印跡塊。輪輞看成剛體，與輪胎接地印跡塊之間通過彈簧和阻尼器進(jìn)行連接，其中彈簧和阻尼器代表胎體本身的彈性特性。

輪胎力是它與路面間的切向約束力，就物理性質(zhì)而言，屬于摩擦力的范疇，但其變化規(guī)律與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，并不簡(jiǎn)單取決于摩擦定律。后者只能確定輪胎力的最大值和相關(guān)速度的關(guān)系。為了查清路面給輪胎約束力的影響因素，按照解除約束代之以約束力的通用的力學(xué)分析方法，將車輪從車輛上分離出來。

將胎面離散化為若干集中質(zhì)量塊，假設(shè)各質(zhì)量塊沿輪胎寬度方向振動(dòng)，且在相鄰質(zhì)量塊間存在著彈簧和阻尼的作用。取其中任一質(zhì)量塊作為研究對(duì)象，其與整個(gè)輪胎的連接方式如圖3所示。汽車前進(jìn)方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶铩?/p>

圖3 胎面質(zhì)量塊與輪胎連接示意圖Fig.3 The connection between tread and tire

在模型中，振動(dòng)能量的輸入來源于胎面與地面之間持續(xù)不斷的摩擦力作用，即兩者之間的相對(duì)速度變化是激勵(lì)源。為便于分析，將輪胎與地面間的平動(dòng)速度Vb簡(jiǎn)化為皮帶輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。

其中：

v為汽車行駛速度，θ為車輪前束角。

簡(jiǎn)化后的模型如圖4所示，m為離散的胎面質(zhì)量塊，Ks和Cs分別為彈簧剛度及阻尼系數(shù)。

圖4 胎面質(zhì)量塊摩擦模型Fig.4 Friction model of tread

設(shè)胎面質(zhì)量塊m在皮帶上相對(duì)于初始位置的位移為x，則質(zhì)量塊與皮帶之間的相對(duì)速度為：

根據(jù)牛頓－歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以列出胎面質(zhì)量塊m側(cè)向滑移的動(dòng)力學(xué)方程如下：

其中M為汽車輪載荷在胎面質(zhì)量塊m上的分布?jí)毫Γ現(xiàn)（Vr）為隨相對(duì)速度變化的摩擦力曲線，將Lugre摩擦模型代入可得：

2 自激振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理

自激振動(dòng)系統(tǒng)中存在著非線性阻尼的作用，這種非線性阻尼有著特殊和非常重要的性質(zhì)：對(duì)于較小的速度有使振幅增加的趨勢(shì)，是負(fù)阻尼作用；對(duì)于較大的速度，又有使振幅減少的傾向，是正阻尼作用，系統(tǒng)以自己的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為調(diào)節(jié)器，使輸入的能量具有交變性。當(dāng)輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)可以維持等幅振動(dòng)，稱為自激振動(dòng)，它的相軌跡為相平面內(nèi)孤立的封閉曲線穩(wěn)定，微分方程幾何理論稱之為極限環(huán)［13］。

極限環(huán)分為穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)，考慮到真實(shí)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)要承受外界擾動(dòng)，不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)不能保持。因此，自激振動(dòng)的相軌跡必須是穩(wěn)定的極限環(huán)。

將式（4）右側(cè)摩擦力進(jìn)行一階泰勒展開得：

將式（6）代入式（4），略去與振動(dòng)無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)并整理，得到在物體與皮帶輪之間的相對(duì)速度v=vx時(shí)的瞬時(shí)振動(dòng)微分方程：

此時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)的當(dāng)量阻尼為：

當(dāng)Ce＞0，即Cs＞F'（Vx）時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)處于“正阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)的能量被損耗，振動(dòng)有衰減趨勢(shì)；當(dāng)Ce=0，即Cs=F'（Vx）時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)處于“無阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)的總能量不變，維持等幅振動(dòng)；當(dāng)Ce＜0，即Cs＜F'（Vx）時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)處于“負(fù)阻尼”狀態(tài)，系統(tǒng)從外界吸收能量，振動(dòng)有增強(qiáng)的趨勢(shì)。

圖5所示為摩擦力從靜摩擦到動(dòng)摩擦的變化走勢(shì)圖，其中fs，fc分別為最大靜摩擦力和剛剛發(fā)生完全滑動(dòng)時(shí)的滑動(dòng)摩擦力，V1，V2分別為對(duì)應(yīng)于fs，fc的相對(duì)速度。當(dāng)v∈［0，v1］時(shí)，兩個(gè)接觸面處于粘滯狀態(tài)，摩擦力屬于靜摩擦，其大小與相對(duì)滑動(dòng)速度基本呈線性關(guān)系且斜率很大。在v=v1處，f達(dá)到最大值fs，即為最大靜摩擦力；當(dāng)v∈［v1，v2］時(shí)，接觸面的部分質(zhì)量開始出現(xiàn)滑動(dòng)，于是兩個(gè)接觸面處于部分粘滯狀態(tài)，摩擦力逐漸從靜摩擦過渡到滑動(dòng)摩擦。由于滑動(dòng)摩擦力小于最大靜摩擦力，因此這一部分的曲線斜率為負(fù)值。當(dāng)相對(duì)速度在v1兩側(cè)來回變化時(shí)，就有可能使得Ce在正負(fù)之間逐次交替，從而讓振動(dòng)系統(tǒng)在消耗能量和吸收能量之間找到一個(gè)平衡狀態(tài)，達(dá)到穩(wěn)定的自激振動(dòng)。

綜上所述，對(duì)于干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)，其摩擦特征曲線中的“負(fù)斜率”部分是形成自激振動(dòng)的根本原因。若此“負(fù)斜率”部分足以抵消振動(dòng)系統(tǒng)自身的“正阻尼”，則該振動(dòng)系統(tǒng)便會(huì)表現(xiàn)出整體“負(fù)阻尼”狀態(tài)，進(jìn)而產(chǎn)生自激振動(dòng)；而若摩擦特征曲線的“負(fù)斜率”特征不明顯，或者振動(dòng)系統(tǒng)自身的“正阻尼”比較大，則該振動(dòng)系統(tǒng)無法出現(xiàn)整體“負(fù)阻尼”狀態(tài)，振動(dòng)將被衰減，因此無法形成自激振動(dòng)

圖5 摩擦力特征曲線Fig.5 Characteristic curve friction force

3 分岔點(diǎn)的計(jì)算

動(dòng)力系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象是指隨著某些參數(shù)的變化，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為發(fā)生質(zhì)的改變，特別是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)發(fā)生穩(wěn)定性改變或出現(xiàn)方程解的軌道分歧。因此找出狀態(tài)發(fā)生改變的參數(shù)點(diǎn)對(duì)于動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制有著極其重要的作用。

3.1 模型的線性化

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究比較困難，沒有普遍的分析解法，要依靠數(shù)值解法。但Lyapunov的一次近似定理證明［14］，在小擾動(dòng)下，由線性化模型得到的關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論，除了臨界點(diǎn)附近的情況以外，可以適用于真實(shí)的非線性系統(tǒng)。

胎面質(zhì)量的非線性動(dòng)力學(xué)方程（1）可用狀態(tài)方程表示為：

式中v為車輛行駛速度，是一個(gè)動(dòng)參數(shù)，x為狀態(tài)變量。令x0為方程（2）的平衡點(diǎn)，則非線性動(dòng)力系統(tǒng)式可以改寫成線性部分與非線性部分分開的形式：

式中g(shù)（x，y）在平衡點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)是x的高階無窮小量，A（v）是函數(shù)f（x，y）在平衡點(diǎn)x0處的 Jacobian矩陣，其表達(dá)式為：

3.2 極限環(huán)的存在性及穩(wěn)定性分析

用Hopf定理證明極限環(huán)的存在性時(shí)，分岔點(diǎn)的尋找，一般是通過計(jì)算Jacobian矩陣A（v）的所有特征值來判斷是否有特征根穿越虛軸［15］。這種方法需要對(duì)每一車速計(jì)算所有特征根并判定根的實(shí)部是否為零，計(jì)算量很大。尤其當(dāng)狀態(tài)方程的構(gòu)成較為復(fù)雜時(shí)，很難寫出特征根的解析表達(dá)式。而利用Hurwitz行列式，可以將分岔點(diǎn)的求解轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程的求解，從而克服了以前方法在計(jì)算Hopf分岔點(diǎn)時(shí)，對(duì)于參數(shù)的每一次變化通過求特征根并判定特征根的實(shí)部是否為零的龐大工作量［16］。

對(duì)方程（5）進(jìn)行線性化后的Jacobian行列式為：

其中：

式（12）的特征多項(xiàng)式為：

通過式（13）的系數(shù)可以寫出Hurwitz行列式，進(jìn)而計(jì)算出當(dāng)Vb=0.144 649和Vb=0.172 816時(shí)，即當(dāng)車速為v1=99.5 km/h和v2=118.8 km/h時(shí)，方程（13）有一對(duì)純虛根，根據(jù)參考文獻(xiàn)［17］知，非線性系統(tǒng)方程式（5）在車速為v1=99.5 km/h處發(fā)生了Hopf分岔，車速在超過99.5 km/h時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不再是穩(wěn)定的，出現(xiàn)了極限環(huán)振動(dòng)現(xiàn)象，當(dāng)車速達(dá)到v2=118.8 km/h時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生了Hopf分岔，極限環(huán)振動(dòng)逐漸消失，是一種典型的硬自激振動(dòng)。

由上面分析可知：速度v1、v2為系統(tǒng)的分叉點(diǎn)，對(duì)應(yīng)此速度的輪胎運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)突然發(fā)生變化。當(dāng)速度超過v1、v2后，可能會(huì)出現(xiàn)超臨界分岔，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的周期振動(dòng)，即存在穩(wěn)定的極限環(huán)；也有可能會(huì)出現(xiàn)指數(shù)發(fā)散的亞臨界分岔，即存在不穩(wěn)定的極限環(huán)?？赏ㄟ^判斷最大Lyapunov指數(shù)的正負(fù)來判定極限環(huán)的穩(wěn)定性。

Lyapunov指數(shù)定量地描述了相空間中相鄰軌道呈指數(shù)發(fā)散的性質(zhì)。若L指數(shù)＜0，表示相體積收縮運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，且對(duì)初始值不敏感；若L指數(shù)=0，則對(duì)應(yīng)臨界狀態(tài)，即穩(wěn)定的邊界；若L指數(shù)＞0，表示相軌道分散，長時(shí)間行為對(duì)初始值非常敏感，運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。

通過計(jì)算得知，在車速v1=99.5 km/h處系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)對(duì)應(yīng)的 Lyapunov指數(shù)為 －757.703 1，在車速v2=118.8 km/h處系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapnov指數(shù)為－568.950 4，這說明在臨界速度v1、v2處發(fā)生的Hopf分岔均為超臨界分岔，所產(chǎn)生的極限環(huán)都是穩(wěn)定的，即輪胎胎面將沿側(cè)向做穩(wěn)定的自激振動(dòng)。

4 仿真結(jié)果與分析

為研究汽車動(dòng)態(tài)特性及定位參數(shù)等對(duì)輪胎自激振動(dòng)的影響，以國內(nèi)某一典型車輛作為研究對(duì)象，在matlab軟件中建立simulink模型，圖6給出了胎面塊位移隨速度變化的分岔圖。從圖中得知，當(dāng)速度在99.5 km/h之下時(shí)，胎面塊沒有出現(xiàn)自激振動(dòng)，處于穩(wěn)定狀態(tài)，而當(dāng)速度在［99.5，118.8］km/h 之間變化時(shí)，胎面出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振動(dòng)，且振幅先增大后減小，當(dāng)速度大于v2=118.8 km/h時(shí)，胎面再次出現(xiàn)漸近穩(wěn)定狀態(tài)，自激振動(dòng)現(xiàn)象消失。

圖6 正常工況下的胎面自激振動(dòng)分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of self-excited vibration of the tread under normal working condition

為研究系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)隨著參數(shù)變化的規(guī)律，以便于更好地控制和避免輪胎多邊形磨損現(xiàn)象，在圖7中分別畫出了改變車輪負(fù)載、接地塊質(zhì)量和前束角后的自激振動(dòng)分岔圖。其中，在同等載荷下接地塊質(zhì)量主要和輪胎的種類和花紋類型有關(guān)（如寬胎和窄胎）。從圖中可以看出當(dāng)載荷增加，接地塊質(zhì)量變小（輪胎越窄），前束角變大時(shí)，自激振動(dòng)分岔范圍均變大。

圖7 不同工況下的胎面自激振動(dòng)分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of self－ excited vibration of the tread under differentl working condition

圖8 不同載荷下的胎面自激振動(dòng)相圖Fig.8 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different loads

圖9 不同接地印跡下的胎面自激振動(dòng)相圖Fig.9 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different ground bolt

圖10 不同前束角下的胎面自激振動(dòng)相圖Fig.11 Phase diagram of self-excited vibration of the tread under different toes

胎面的振幅大小和振動(dòng)速度快慢反應(yīng)了其振蕩能量的大小，對(duì)輪胎磨損有著直接的影響關(guān)系，自激振動(dòng)能量越強(qiáng)，多邊形磨損越厲害。為更加清晰地闡述胎面振幅和振動(dòng)速度變化與參數(shù)之間的關(guān)系，在圖8～圖10中給出了各參數(shù)下的相圖。從圖中得知，在同一車速下，載荷越大、接地塊質(zhì)量變?。ㄝ喬ピ秸?，前束角越大，胎面質(zhì)量塊的自激振動(dòng)能量越大，對(duì)輪胎磨損的貢獻(xiàn)量越大。這和輪胎在高速超載、前束角定位不當(dāng)時(shí)更易出現(xiàn)多邊形磨損現(xiàn)象的特征相吻合。

雖然通過降低車速可以避免自激振動(dòng)的產(chǎn)生，但作為車輛性能的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)之一，長期保持低速行駛是不現(xiàn)實(shí)的。由此可見，為了更好地消除由胎面自激振動(dòng)而引起的輪胎多邊形磨損現(xiàn)象，應(yīng)該避免汽車超載行駛，并調(diào)配好適當(dāng)?shù)那笆?，或者更換寬胎使得能夠產(chǎn)生自激振動(dòng)的車速控制在合理范圍之內(nèi)。

5 結(jié)論

（1）本文主要研究了易產(chǎn)生多邊形磨損的輪胎自激振動(dòng)的形成機(jī)理，結(jié)合與試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵恢碌木哂羞t滯現(xiàn)象的摩擦系數(shù)曲線，用matlab/simulink軟件建立了輪胎自激振動(dòng)系統(tǒng)的仿真模型。

（2）通過改變模型中的仿真參數(shù)，模擬了不同載荷，不同輪胎（寬胎和窄胎）以及不同前束角下的各種工況對(duì)輪胎自激振動(dòng)的影響，計(jì)算出了產(chǎn)生自激振動(dòng)的分岔速度，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)其極限環(huán)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

（3）得出載荷越大，輪胎越窄，前束角越大越容易出現(xiàn)輪胎多邊形磨損的結(jié)論，為輪胎多邊形磨損的研究提供了理論支撐。

（4）通過控制容易引起自激振動(dòng)的敏感參數(shù)可以避免或者縮小使得輪胎產(chǎn)生自激振動(dòng)的車速范圍，最大程度上降低輪胎多邊形磨損對(duì)汽車行駛的影響，具有較重要的工程意義。

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