偏序半群的n素理想、偏序同態(tài)與商序同態(tài)

邵海琴，郭莉琴，何建偉，楊隨義

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741006)

偏序同態(tài)和商序同態(tài)是偏序半群中一個(gè)重要的研究課題，許多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各類問題特別是與偏序同態(tài)和商序同構(gòu)有關(guān)的問題的研究中起著舉足輕重的作用［1－5］。文獻(xiàn)［1］通過擬序，主要討論了偏序半群的擬序和同態(tài)之間的關(guān)系;文獻(xiàn)［2］通過商擬序，給出了商序同態(tài)基本定理，并得到了商擬序和商序同態(tài)的一些重要性質(zhì);文獻(xiàn)［3］利用半擬序，給出了偏序半群的偏序擴(kuò)張與有限全序擴(kuò)張的方法;文獻(xiàn)［4］利用自然序半格擬序，研究了偏序半群的真濾子并構(gòu)造了最小自然序半格擬序;文獻(xiàn)［5］利用偏序半群的一些特殊二元關(guān)系(擬序、商擬序、可消擬序和同余)和σ－全子半群，給出了偏序半群的同態(tài)的一些重要性質(zhì)和商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)，同時(shí)分析了它們之間的區(qū)別。本文通過可換偏序半群的素理想和n素理想，刻畫了偏序半群的偏序同態(tài)與商序同態(tài)的一些重要性質(zhì)，并得到了一些重要的結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1.1［6］如果(S，·)是半群［7］，(S，≤)是偏序集且偏序?qū)Τ朔ㄟ\(yùn)算是相容的，即

定義 1.2［2］設(shè)(S，·≤)是偏序半群，φ≠L?S。若L滿足

則稱L是S的左(右)理想。若L既是S的左理想又是S的右理想，則稱L為S的理想。

定義1.3［3］設(shè)(S，·≤)是偏序半群，I是 S的理想。若

則稱I為素的。

定義1.4［3］設(shè)(S，·≤)是偏序半群，I是 S的理想。若

顯然，偏序半群S的素理想就是2素理想。

定義1.5［5］設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群。映射φ稱為S到T的同態(tài)映射，如果φ滿足

若φ為S到T的同態(tài)映射，且φ是滿(單)的，則稱φ為S到T的滿(單)同態(tài)。

定義 1.6［2］設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群。S到T的同態(tài)映射φ稱為商序同態(tài)，如果φ滿足設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，φ 是 S 到 T的商序同態(tài)。若φ是滿(單)的，則稱φ是S到T的商序滿(單)射;若φ是雙射，則稱φ是S到T的商序同構(gòu)。

2 主要結(jié)果

命題2.1 設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是S的理想，φ是S到T的商序滿同態(tài)。令φ(I):={b∈T|(?y∈I)b=φ(y)}，那么 φ(I)是 T的理想。

證明 顯然，φ≠φ(I)?T。下面證明φ(I)是T的理想。

(i)對(duì)任意的 a∈φ(I)，b∈T，由 φ 是滿的和 φ(I)的定義得

對(duì) y∈S，x∈I，因?yàn)?I是 S 的理想，所以xy∈I且yx∈I，于是由φ(I)的定義和φ是S到T的同態(tài)得

(ii)對(duì)任意的 b∈T，a∈φ(I)，由 φ(I)的定義和φ是滿的得

若 b≤Ta，即 φ(y)≤Tφ(x)，則由 φ 是 S到 T 的商序同態(tài)得

于是對(duì) a=φ(x)=φ(x1)∈φ(I)，由 φ(I)的定義得x1∈I，因?yàn)镮是S的理想，所以y1∈I，從而由φ(I)的定義得 φ(y1)∈φ(I)，即 b∈φ(I)。

綜上所述，φ(I)是T的理想。

證明 由命題1知φ(I)是T的理想。下面證明φ(I)是n素的。

對(duì)任意的 ai∈T(i=1，2，…，n)，由 φ 是滿的得

若a1*a2*a3*…*an∈φ(I)，則由φ是S到T的同態(tài)得

于是由φ(I)的定義得x1x2…xn∈I。因?yàn)镮是S的n素理想，所以集合

命題2.2 設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是T的理想，φ是S到T的偏序滿同態(tài)。令φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I}，那么 φ－1(I)是 S 的理想。

證明顯然，φ≠φ－1(I)?S。

(i)對(duì)任意的 x∈φ－1(I)，y∈S，由 φ－1(I)的定義和I是T的理想得φ(x)φ(y)∈I且φ(y)φ(x)∈I，于是由φ是S到T的同態(tài)得φ(xy)∈I且φ(yx)∈I。因此由 φ－1(I)的定義得 xy∈φ－1(I)且 yx∈φ－1(I)，即

(ii)對(duì)任意的x∈φ－1(I)，y∈S，由 φ 是 S到 T的同態(tài)和 φ－1(I)的定義得 φ(x)∈L，φ(y)∈T。若y≤Sx，則由φ是保序的得φ(y)≤Tφ(x)。因?yàn)镮是T的理想，

所以 φ(y)∈I。從而由 φ－1(I)的定義得 y∈φ－1(I)。

綜上所述，φ－1(I)是S的理想。

定理2.2 設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是可換偏序半群，I是T的n素理想，φ是S到T的偏序滿同態(tài)。令 φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I}，那么 φ－1(I)為S的n素理想。

證明 由命題2知φ－1(I)是S的理想。下面證明φ－1(I)是n素的。

對(duì)任意的 xi∈S(i=1，2，…，n)，令 ai= φ(xi)(i=1，2，…，n)。若 x1x2…xn∈φ－1(I)，則由 φ－1(I)的定義和φ是S到T的同態(tài)得

因?yàn)镮是T的n素理想，所以集合

{a2a3…an－2an－1an，a1a3…an－2an－1an，a1a2a4…an－2an－1an，…，a1a2a3…an－2an－1}中至少有 n － 1 個(gè)元素屬于I。于是由φ－1(I)的定義和φ是S到T的同態(tài)得集合

{x2x3…xn－2xn－1xn，x1x3…xn－2xn－1xn，x1x2x4…xn－2xn－1xn，…，x1x2x3…xn－2xn－1}中至少有 n － 1 個(gè)元素屬于φ－1(I)，因此由定義4得φ－1(I)是 n素的。

把定理2.1和定理2.2用到素理想上即可得到下面兩個(gè)推論。

推論2.1 設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是S的素理想，φ是S到T的商序滿同態(tài)。令 φ(I):={a∈T|(?x∈I)a= φ(x)}，那么 φ(I)是T的素理想。

推論2.2 設(shè)(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是可換偏序半群，I是T的素理想，φ是S到T的偏序滿同態(tài)。令 φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I)}，那么 φ－1(I)為S的素理想。

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