不同基體平面壓痕應力強度因子

蔡永梅， 王 偉， 謝禹鈞

（1.中國石油大學（華東）儲運與建筑工程學院，山東青島266555；2.遼寧石油化工大學機械工程學院，遼寧撫順113001）

接觸問題會引起局部的應力集中，當物體的幾何條件、物理參數(shù)滿足一定條件時會產(chǎn)生局部急劇的應力變化梯度，甚至奇異應力場。與裂紋情形類似，當載荷達到臨界值時，在應力奇異環(huán)處開裂，形成一個圓環(huán)形的淺（微）裂紋。尤其是剛性壓頭沖壓彈性半平面基體時，在兩個角點處產(chǎn)生奇異應力場。這類應力場不僅會導致材料的開裂和失效，也會引起觸壓邊界的開裂［1］。在這兩種情況下，應力強度因子均表現(xiàn)為斷裂參數(shù)，也是奇異應力場的唯一控制參量。該斷裂參量是導致工程部件失效的主要因素［2－4］。本文將基于文獻［5］提出利用無裂紋接觸問題生成I型奇異應力場的原理進行數(shù)值分析。

1 接觸問題和守恒律

壓頭的幾何形狀如圖1（a）所示。假設接觸表面足夠光滑，使接觸面沒有因摩擦產(chǎn)生的剪應力。剛性方形壓頭寬為2l，作用載荷P，壓在無摩擦的半平面上，泊松比為μ。文獻［6］經(jīng)典分析給出的接觸壓力分布如下：

改變坐標x1＝r－l，應用二項分布擴展方程，當r非常小時，得到壓頭尖角附近的壓力變化

這些應力分量和圖1（b）所示的x2＝0時I型裂紋產(chǎn)生的應力分量的表達式一樣，實際上，沿線x2＝0的邊界條件等同于接觸裂紋問題，這兩個問題內(nèi)部應力狀態(tài)的奇異性相同，文獻［5］給出其應力分布如下：

（3）式中延用了裂紋問題的應力強度因子習慣表示方法，但為壓應力場。其中KI定義為基體近表面壓頭角點處的奇異應力場的應力強度因子，或壓痕邊緣處奇異應力場的應力強度因子，表示為：

Fig.1 A schematic representation of the contact between a two－dimensional rectangular punch and a substrate圖1 二維矩形壓頭和基體的接觸

如果方程（3）中的負號改為正號，這個結果和在遠場承受載荷P時的無限平板裂紋（裂紋韌帶長度為2l）的情形一樣。與裂紋問題類似，表明壓頭拐角附近存在I型奇異應力場和K－控制區(qū)。如方程（3）所示，應力強度因子KI是唯一控制應力場的參數(shù)，這意味著，沿著接觸表面的邊界裂紋和I型裂紋有著同樣的破壞機理。實際工程結構中可利用奇異應力場，研究材料的破壞行為、測試材料的機械性能。

對于二維彈性體，文獻［7］由守恒定律得出下面的積分

方程（5）有兩個分量J1和J2。其中w是應變能密度；nj是外法線矢量；Ti是沿積分路徑的應力矢量；ui，j位移分量。對于沒有裂紋和空穴的封閉積分路徑，Ji為0。J1稱為J－積分和J2稱為G＊－積分［8］。它們都可用于計算彈性體裂紋的應力強度因子［9－10］。下面給出J1積分在剛性壓頭沖壓彈性平面情況下計算應力強度因子中的應用。

2 沖壓彈性半平面應力強度因子

平板承受壓頭沖壓如圖2所示。在每個壓頭的2個拐角處有I型奇異應力場。應力場由方程（3）來表述。取沿sc＝sba＋safe＋sed＋sdcb封閉路徑積分，如圖2所示，當sdcb在壓頭尖角處的K控制區(qū)內(nèi)時，由文獻［8］已得出如下結果。

Fig.2 The panel under indentation and integration path圖2 平板承受壓頭時的積分路徑

按照Griffith’s理論［11］，彈性固體產(chǎn)生新的斷裂表面所需要的能量來自彈性體的能量釋放外力所做的功。Griffith理論給出的臨界載荷為最小的邊界開裂載荷，開裂方向為最大能量釋放率的方向。當壓痕沿開裂的能量釋放率達到臨界值即開裂韌性Gc時，邊界將開裂，即：

如果將壓痕邊界開裂所需的能量理解為與裂紋開裂的情形相同，即：

KIC為裂紋擴展的斷裂韌性。觸壓臨界開裂條件為：

由方程（6）得出應力強度因子可以利用J積分來計算，對于不同的材料可以得出不同的KIC。工程中許多材料遇到斷裂問題，因此本文選用一些常用材料的彈性模量和泊松比分析K值變化。

3 數(shù)值分析

基于守恒律及方程（6），應用有限單元法進行數(shù)值計算，數(shù)值分析計算中采用了有限元分析系統(tǒng)ANSYS13.0，有限元模型選用平面應變單元。平板基體材料泊松比μ，彈性模量E（MPa）如表1所示，剛性壓頭寬度2l，l＝10mm；平板寬度為40l，高度隨著l／t的取值而變化。壓頭與平板觸壓形成奇異點處的網(wǎng)格如圖3所示，接觸邊緣采用四分點單元。邊界條件：平板底端，uy＝0，在剛性壓頭控制點施加載荷P＝10 000MPa；基于表1，針對不同彈性模量、泊松比和不同的l／t值進行多組數(shù)據(jù)求解，結果如表2和圖4－6所示。

表1 不同材質彈性模量及泊松比Table 1 Different elastic modulus and poisson ratio

表2 不同材質應力強度因子Table 2 Stress intensity factors in different material

Fig.3 The mesh of singular point（l／t＝0.2）圖3 奇異點網(wǎng)格（l／t＝0.2）

Fig.4 Stress and contact pressure（l／t＝0.2）圖4 應力和接觸壓力（l／t＝0.2）

Fig.5 Elastic panel is subject to indentations圖5 平端圓柱壓頭沖壓半平面壓痕

圖4（a），（b）分別描述當l／t＝0.2時，應用有限元軟件計算出模型的應力和接觸壓力分布，圖5給出圓柱形剛性平端壓頭沖壓半平面實驗結果，比較圖4和圖5，很顯然在壓頭角點處會產(chǎn)生的奇異應力場，且該應力場將引起微裂紋。圖6繪制出基于數(shù)值計算得出KⅠ，P和l／t的關系。隨著l／t的增加，正則化的應力強度因子和斷裂韌性逐漸減小，表明了邊界對應力強度因子的影響；隨著材質彈性模量減少，正則化的應力強度因子逐漸減小，表明了材料彈性模量及泊松比對應力強度因子的影響。

Fig.6 Normalized fracture toughness for different ratio of l／t圖6 不同l／t下的正則化應力強度因子

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