關(guān)于6的整數(shù)倍的另一神奇特征（續(xù)九）

王仲才

（南昌理工學(xué)院 江西 南昌 330013）

關(guān)于6的整數(shù)倍的另一神奇特征（續(xù)九）

王仲才

（南昌理工學(xué)院 江西 南昌 330013）

本文繼文[4]給出的6的整數(shù)倍的另一種神奇特征。

6；整數(shù)倍；正整數(shù)；偶數(shù)；奇數(shù)；立方；9次方；3的任意正整數(shù)次方；作和；作差；作積；間隔；代數(shù)和

[引理1] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的接連的6個(gè)正整數(shù)的立方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：設(shè)n為正整數(shù)，則間隔m個(gè)正整數(shù)的6個(gè)函數(shù)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是3m+3=3(m+1)

由兩數(shù)立方差公式

得悉，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的立方差中都有公因子3(m+1),從而是3的整數(shù)倍，那么它的代數(shù)和也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

[定理1] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的6的整數(shù)倍正整數(shù)的立方中，3的奇數(shù)倍取負(fù)，3的偶數(shù)倍取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，前3個(gè)取負(fù)，后3取正，由[引理1]，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[引理2] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的接連的6個(gè)正整數(shù)的9次方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：前3個(gè)是n9,(n+m+1)9,(n+2m+2)9,n為正整數(shù)；

后3個(gè)是(n+3m+3)9,(n+4m+4)9,(n+5m+5)9

由2數(shù)的9次方之差公式

得悉，對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都含3(m+1)的因子，從而是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[定理2] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)的9次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且其代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，由[引理2]得悉，它的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[核心定理3] 設(shè)m為正整數(shù)，l為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：由[定理1]和[定理2]得知,l=1.2對(duì)結(jié)論成立，假設(shè) l=h（整數(shù))時(shí)結(jié)論成立，由[定理1]和[定理2]的證明中得知，只要假設(shè)對(duì)于對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差成立即可，即假設(shè)

結(jié)論成立，那么對(duì)于l=h+1，則

由歸納假設(shè)，它是3的整數(shù)倍，總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍。由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[推論1] 設(shè)m,l為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)正整數(shù)的接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和與其各位數(shù)之和乘以任何有限位數(shù)的數(shù)之積的各位數(shù)之和都是3的整數(shù)倍。

證明：這是[核心定理3]和文[1]的直接推論。

證畢。

[引理3] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的接連的6個(gè)偶數(shù)的立方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且其代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：間隔m個(gè)偶數(shù)的6個(gè)偶數(shù)中，前3個(gè)是

后3個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是6m+6=3(2m+2)

由立方差公式

得知，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的立方差中都有3(m+2)因子，從而是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[定理4] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的6的正整數(shù)倍個(gè)偶數(shù)的立方中，3的奇數(shù)倍取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，由[引理3]得悉，它的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[引理4] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的6個(gè)偶數(shù)的9次方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，其代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每間隔m個(gè)正偶數(shù)的6個(gè)偶數(shù)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是6m+6=3(2m+2)

由2數(shù)9次方之差公式

那么，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的9次方之差都含3(2m+2)的因子，從而它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，總的代數(shù)和自然也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[定理5] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)偶數(shù)的9次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，由[引理4]得悉，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然也是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[核心定理6] 設(shè)m,l為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的6的正整數(shù)倍個(gè)偶數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：由定理[4]、[5]得知 l=1,2，結(jié)論成立。

現(xiàn)在假設(shè)l=h（整數(shù)）時(shí)結(jié)論成立。由[定理4]與[定理5]的證明中得知，只要假設(shè)l=h，對(duì)于對(duì)應(yīng)項(xiàng)結(jié)論成立即可，亦

結(jié)論成立，那么對(duì)于l=h+1

由假設(shè)，結(jié)論也成立，由文[1]即得后一結(jié)論。

證畢。

[推論2] 設(shè)m,l為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)偶數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)偶數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍取負(fù)，3的偶數(shù)倍取正，它們的代數(shù)和與其各位數(shù)之和乘以任何有限位數(shù)的數(shù)之積的各位數(shù)之和都是3的整數(shù)倍。

證明：這是[核心定理6]與文[1]的直接推論。

證畢。

[引理5] 設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6個(gè)奇數(shù)的立方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：設(shè)n為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6個(gè)奇數(shù)中前3個(gè)是

后3個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差是6m+6=3(2m+2)

由2數(shù)立方差公式

得悉對(duì)應(yīng)項(xiàng)的立方差均含有因子3(2m+2),從而是3的整數(shù)倍,那么總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍,由文[1]即得后一結(jié)論。

[定理7]設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)奇數(shù)的立方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，由[引理5]得悉，它的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

[引理6]設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6個(gè)奇數(shù)的9次方中，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：如[引理5]和二數(shù)9次方差公式

得知，對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差均含有因子3（2m+2），從而是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

[定理8]設(shè)m為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)奇數(shù)的9次方中，3的奇數(shù)倍取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：每6個(gè)一組，前3個(gè)取負(fù)，后3個(gè)取正，由[引理6]得悉，它的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

[核心定理9]設(shè)m、l為正整數(shù)，則每間隔m個(gè)奇數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)奇數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和是3的整數(shù)倍，且代數(shù)和的各位數(shù)之和也是3的整數(shù)倍。

證明：由[定理7]與[定理8]得悉，l=1、2 對(duì)結(jié)論成立。

現(xiàn)在假設(shè) l＝h（整數(shù)）時(shí)結(jié)論成立，由[定理7]與[定理8]的證明中得悉，只要假設(shè)對(duì)于對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差成立即可，即

是3的整數(shù)倍，那么對(duì)于l=h+1

由歸納假設(shè)，它是3的整數(shù)倍，由文[1]即得后一結(jié)論。

[推論3]設(shè)m，l為正整數(shù)，則第間隔m個(gè)奇數(shù)的6的整數(shù)倍個(gè)奇數(shù)的3l次方中，3的奇數(shù)倍個(gè)取負(fù)，3的偶數(shù)倍個(gè)取正，它們的代數(shù)和與其代數(shù)和的各位數(shù)之和乘以任何有限位數(shù)的之積的各位數(shù)之和都是3的整數(shù)倍。

證明：這是[核心定理9]和文[1]的直接推論。

（注：由文[關(guān)于數(shù)字12的神奇特征]得悉，只要兩個(gè)正數(shù)之差是3的整數(shù)倍，那么上述結(jié)果對(duì)于2h，3h，5h,7h10h次方都是正確的，從而，對(duì)于(與每6個(gè)一組，不同的間隔m）次方也是成立的）

[1]王仲才.關(guān)于數(shù)學(xué)3的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(1).

[2]王仲才.關(guān)于3的整數(shù)倍的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2011(1).

[3]王仲才.關(guān)于數(shù)字3的另外神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(3).

[4]王仲才.關(guān)于接連的6的整數(shù)倍個(gè)正整數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的3的任意次方的次方的代數(shù)和神奇特征[J].江西省廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(4).

[5]王仲才.關(guān)于數(shù)字12的神奇特征[J].江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(2).

O1

A

1008-3537（2012）03-0078-03

2012－06－17

王仲才，男，原南昌大學(xué)教授，研究生導(dǎo)師。

劉石玉

校 對(duì)：里 仁