消費(fèi)者有限理性選擇演化模型的動(dòng)力學(xué)分析

顧恩國(guó)，向 蕾，李曉東，李遠(yuǎn)平(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

傳統(tǒng)消費(fèi)者選擇模型[1]假設(shè)消費(fèi)者是完全理性的，即他們充分掌握經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的所有信息(如預(yù)算和價(jià)格)且具有解最優(yōu)化問(wèn)題的能力和意愿；而且假設(shè)消費(fèi)者對(duì)指定商品的偏愛(ài)程度是不變的.這些假設(shè)對(duì)于研究消費(fèi)者短期行為是合理的，但對(duì)于研究消費(fèi)者長(zhǎng)期行為就不恰當(dāng).針對(duì)這一問(wèn)題，美國(guó)學(xué)者阿爾欽在消費(fèi)者選擇理論中考慮了有限理性思想[2]，描述了在決策機(jī)制下，經(jīng)濟(jì)代理人通過(guò)自適應(yīng)過(guò)程如何做到完全理性.本文在假設(shè)消費(fèi)者對(duì)指定商品的偏愛(ài)程度隨時(shí)間發(fā)生變化，且對(duì)指定商品的購(gòu)買量發(fā)生變化的情況下，建立一個(gè)描述消費(fèi)者的選擇和偏好變化的離散時(shí)間動(dòng)力學(xué)模型，然后用映射動(dòng)力系統(tǒng)的理論[3]分析其正不動(dòng)點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性，它反映消費(fèi)者購(gòu)買量與偏愛(ài)程度最終變化狀態(tài).最后分析其可行吸引域，它反映消費(fèi)者當(dāng)前購(gòu)買量與偏愛(ài)程度是否合理.

1 模型的建立

(1)

(2)

由Lagrange乘數(shù)法可得:

(3)

令:

(4)

解之得最優(yōu)解應(yīng)滿足:

(5)

假設(shè)消費(fèi)者不能或不愿意解出上述優(yōu)化問(wèn)題，而是根據(jù)指定商品的邊際效用相對(duì)其它商品邊際效用比值與商品價(jià)格之差來(lái)確定是否增加指定商品的購(gòu)買量，即按照自適應(yīng)過(guò)程調(diào)整其在任何時(shí)段的購(gòu)買量[5]：

xt=xt-1+μ[S(xt-1)-p],

(6)

根據(jù)(1)式可以求得:

(7)

方程(6)化為：

(8)

考慮過(guò)去的選擇對(duì)消費(fèi)的影響.消費(fèi)者可能一開(kāi)始慢慢喜歡某指定商品，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又越來(lái)越喜歡在過(guò)去期間所消費(fèi)的商品，而傾向于選擇在過(guò)去所消費(fèi)的商品；再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后對(duì)指定商品的偏好趨于穩(wěn)定.因此假設(shè)效用函數(shù)(1)中的參變量α隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化[6]滿足：

(9)

綜上所述，描述消費(fèi)者選擇的動(dòng)力學(xué)模型可以用下面的二維差分方程描述:

(10)

2 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性分析

2.1 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性

(10)式可以寫(xiě)成映射動(dòng)力系統(tǒng)形式:

(11)

這里′表示時(shí)間遞增一個(gè)時(shí)段.

令x′=x，α′=α，系統(tǒng)(11)的不動(dòng)點(diǎn)為下面非線性方程組的解:

(12)

圖1 系統(tǒng)(11)的正不動(dòng)點(diǎn)存在性的圖像表示

2.2 正不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性分析和局部分叉

為了討論系統(tǒng)(11)的不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，我們考慮系統(tǒng)(11)的Jacobian矩陣：

J(x,α)=

(13)

記正不動(dòng)點(diǎn)為(x*,α*)，將該點(diǎn)代入(13)式中，得到對(duì)應(yīng)的特征方程為：

(14)

(2)系統(tǒng)(11)不可能發(fā)生Neimark分叉;

圖2 系統(tǒng)(11)關(guān)于商品價(jià)格p和調(diào)整速度μ的一維分叉圖

下面用中心流形定理討論A1點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，首先將系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則原系統(tǒng)化為：

(15)

于是系統(tǒng)在A1=(28.9,0.1429)處泰勒展開(kāi)，忽略高階余項(xiàng)得到：

(16)

令X(x)=0.16x2-16.33αx+101.79α2-0.009x3+118.76α3+1.33αx2-19.06α2x，則(16)式的矩陣形式為：

(17)

(18)

(19)

其中

f1(u,v)=0.009u3+0.16u2+0.012u2v-

0.011uv2+0.13uv-0.014v2-0.004v3,

f2(u,v)=(-0.95u3-1.3u2-2.86u2v-

2.61uv-2.86uv2-1.3v2-0.95v3)×10-29.

不妨設(shè)中心流形為Mc={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=0,h′(0)=0}，假設(shè)中心流形的函數(shù)形式為：h(u)=c1u2+c2u3+o(u4)，則中心流形必須滿足：h(Au+f1(u,h(u)))-Bh(u)-f2(u,h(u))=0，其中A=-1,B=1.0382×10-27.于是得到：

(20)

(21)

3 全局分析

圖3 當(dāng)參數(shù)m=800,μ=0.8,k1=7,k2=9時(shí)，系統(tǒng)(11)隨著商品價(jià)格p變化的可行吸引域

4 結(jié)語(yǔ)

本文在假設(shè)消費(fèi)者是有限理性并且對(duì)指定商品的偏愛(ài)程度隨時(shí)間變化的條件下，建立了消費(fèi)者對(duì)指定商品選擇數(shù)量和對(duì)指定商品偏愛(ài)程度演化的離散動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了非線性分析.我們發(fā)現(xiàn)指定商品的價(jià)格和消費(fèi)者對(duì)指定商品購(gòu)買量的調(diào)整速度的變化均可以使消費(fèi)者對(duì)指定商品最終的購(gòu)買量出現(xiàn)混沌波動(dòng).價(jià)格對(duì)消費(fèi)均衡有明顯的影響，消費(fèi)者對(duì)指定商品最終的購(gòu)買量隨著價(jià)格的增加而減少，價(jià)格增加到一定水平后消費(fèi)者對(duì)指定商品購(gòu)買量出現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)，可行吸引域的面積也隨價(jià)格的增加而減小，并且吸引子與可行吸引域的邊界的距離也隨價(jià)格增加而減小，因此商品價(jià)格的增加不利于消費(fèi)者做出合理的選擇.

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