度量算符對Gauss編織態(tài)作用的期望值

龍 蕓

（湖北第二師范學院 理論物理研究所，武漢 430205）

度量算符對Gauss編織態(tài)作用的期望值

龍 蕓＊

（湖北第二師范學院 理論物理研究所，武漢 430205）

圈量子引力是主要的候選量子引力理論，考慮它和經(jīng)典極限對應的連續(xù)極限是非常有趣的，Gauss編織態(tài)描述了一個半經(jīng)典圖景.本文計算了度量算符對Gauss編織態(tài)作用的表示矩陣元及其期望值，并且在該態(tài)的峰值區(qū)（p＝1）、內(nèi)腿顏色k＝0的情況下，給出Gauss編織態(tài)頂角處毗鄰的4切矢量間的夾角以及切矢量的長度.

度量算符；Gauss編織；自旋網(wǎng)態(tài)

量子引力將廣義相對論與量子力學相結(jié)合，通過自旋網(wǎng)表象，在Planck尺度上給出了空間體積與面積非連續(xù)的描述.當物理學的考查從微觀Planck尺度向宏觀發(fā)展時，時空的量子離散性將向半經(jīng)典的連續(xù)性過渡.目前認為實現(xiàn)這一過渡過度的最好方法是用自旋網(wǎng)態(tài)編織［1-2］.通過重疊不同基（自旋網(wǎng)態(tài)）的頂點，進而逐點編織空間區(qū)域的方法，即 Gauss編織［3-7］.對 Gauss編織而言，在基的頂角υ上可定義另一類幾何算符，即度量算符，它可以給出被編織空間區(qū)域R的Gauss編織態(tài)的度量，從而使Gauss編織態(tài)自身成為具有度量的態(tài)，這對Gauss編織的進一步研究具有意義.本文利用T－L重耦理論求得了度量算符對Gauss編織態(tài)作用的表示矩陣元及其期望值，表明度量算符的作用是本征作用；同時在p＝1峰值區(qū)、內(nèi)腿顏色k＝0的情況下，給出Gauss編織態(tài)頂角處毗鄰的4切矢量間的夾角，以及切矢量的長度.

1 Gauss編織態(tài)

在圈量子引力中，空間被時空做3＋1分解后得到的3維空間中有限區(qū)域R的Gauss編織態(tài)W＝Πυ∈Rwυ定義如下.考慮頂角υ處交叉的兩條封閉腿γ1和γ2（如圖1）.顏色p的波函數(shù)為：

Φp即為自旋網(wǎng)態(tài)，其內(nèi)積歸一化，φk（p，p，p，p）為Φp在頂角υ的纏結(jié)部分，內(nèi)腿的顏色k根據(jù)三階頂角相容條件可取0，2，…，2p.則頂角υ的Gauss編織態(tài)定義為：

圖1 由γ1和γ2構(gòu)建的圖Fig.1 The graph constructed byγ1andγ2

式中，Φp是在頂角υ處張成Gauss編織態(tài)wυ的基，系數(shù)Cp為

式中，N是歸一化因子，H2n＋p（x）表示2n＋p價厄米多項式，λ是任意實參數(shù)，且被稱為Gauss編織寬度.

2 度量算符的表示矩陣元

式中，κ＝8πβG（β是Immirzi參數(shù)），hI＝hSI（I＝0，1，2，3）為聯(lián)絡沿著sI的holonomy，sI為一個端點在頂角υ上的線段，τi為su（2）生成元，為圈量子引力中的體積算符.考慮度量算符）對Gauss編織態(tài)的作用，先將作用在編織態(tài)上.由于量子引力算符的作用體現(xiàn)在頂角上，所以可以簡單地用φk（p，p，p，p）表示Gauss編織態(tài).首先，計算中的對歸一化4價頂角~φk（p，p，p，p）的作用：

（9）式等號右邊的圖式部分可標記為

3 度量算符的期望值

可見，編織出Gauss編織態(tài)的顏色p的峰值出現(xiàn)在p＝1附近，顏色p＞2的基對編織的貢獻可以忽略不計.這里，將對p＝1時的基，進行度量算符關(guān)于Gauss編織態(tài)的計算.

式中，s、t的取值也由三階頂角相容條件決定.最后可得

4 結(jié)論

本文求得了度量算符對Gauss編織態(tài)的作用及其期望值，并且在Gauss編織態(tài)頂角毗鄰的4條腿的顏色p為1、內(nèi)腿顏色k為0的情況下，得到態(tài)空間中的量子幾何結(jié)果.當p和k取其它可能顏色時，利用本文的方法將得到不同的結(jié)果.不過，對于Gauss編織態(tài)，顏色p的峰值出現(xiàn)在p＝1附近，p＞2給出的貢獻可略去不計.連續(xù)的平坦空間可利用Gauss編織態(tài)及其離散量子幾何性質(zhì)，通過“長毛”方式編織而成［1］.目前空間編織除了Gauss編織還有位形編織.用不同的自旋網(wǎng)進行編織，不同的自旋網(wǎng)著色與結(jié)構(gòu)、以及不同的編織方式，將對編織出的空間區(qū)域的尺度有不同的影響，然而它們都可以編織空間，編織出平坦的空間區(qū)域，都將為圈量子引力從微觀Planck尺度的離散量子圖景向連續(xù)圖景發(fā)展提供原理和依據(jù).

［1］Rovelli C.Quantum Gravity［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004.

［2］Thiemann T.Introduction to Modern Canonical Quantum General relativity［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2006.

［3］de Pietri R，Rovelli C.Geometry eigenvalues and scalar product from recoupling theory in loop quantum gravity［J］.Phys Rev D，1996，54：2664－2690.

［4］Arnsdorf M，Gupta S.Loop quantum gravity on non－compact spaces［J］.Nucl Phys B，2000，577：531－543.

［5］Corichi A，Reyes J M.A gaussian weave for kinematical loop quantum gravity［J］.Int J Mod Phys D，2001，10：325－335.

［6］Grot N，Rovelli C.Weave states in loop quantum gravity［J］.Gen Rel Grav，1997，29（8）：1039－1047.

［7］Sahlmann H，Thiemann T.Coherent states for canonical quantum general relativity and the infinite tensor product extension［J］.Nucl Phys B，2001，606：401－440.

The expectation value of the metric operator on Gaussian weave state

LONG Yun
（Institute of Theoretical Physics，Hubei University of Education，Wuhan 430205）

Loop Quantum Gravity is the major candidate of quantum gravity.It is interesting to consider its continuum limit，which corresponds to the classical limit.Gaussian weave state describes a semi－classical picture.In this paper，the representation matrix elements of metric operator on Gaussian weave state and the expectation value are calculated.The angles between the four tangent vectors adjacent to the vertex of Gaussian weave state，and the values of length of them are also obtained in the cases of p＝1and k＝0.

metric operator；Gaussian weave；spin－network state

O41

A

1000－1190（2012）02－0149－03

2011－08－11.

湖北第二師范學院理論物理重點學科建設項目.

＊E－mail：yunlongo＠hotmail.com.