關(guān)于不定方程x3+1=py2

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州 225300)

關(guān)于不定方程x3+1=py2

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州 225300)

設(shè)p是奇素?cái)?shù),t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù),在p=3(8t+s)(8t+s+1)+1的情形下,運(yùn)用初等數(shù)論的方法給出了不定方程x3+1=py2無正整數(shù)解的充分條件.

不定方程; 正整數(shù)解; 奇素?cái)?shù); 充分條件

0 引言及主要結(jié)論

關(guān)于不定方程

x3+1=Dy2

(1)

文[1-3]均指出,當(dāng)D>2且不被6k+1形的素?cái)?shù)整除時(shí),它沒有正整數(shù)解;當(dāng)D=2時(shí)僅有正整數(shù)解(x,y)=(1,1),(23,78).但當(dāng)D被6k+1形的素?cái)?shù)整除時(shí),方程的求解較為困難.

關(guān)于D=p為奇素?cái)?shù)的情形,文[10]證明了x3+1=7y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(3,2).文[11]證明了x3+1=13y2無正整數(shù)解. 文[12]證明了x3+1=103y2無正整數(shù)解. 文[13]證明了當(dāng)素?cái)?shù)p=12s2+1時(shí),其中s是奇數(shù),方程x3+1=py2無正整數(shù)解.文[14]證明了當(dāng)素?cái)?shù)p=3(24k+19)(24k+20)+1時(shí),方程x3+1=py2無正整數(shù)解.文[15]證明了當(dāng)素?cái)?shù)p=3(8t+3)(8t+4)+1時(shí),設(shè)y0=16t+7,如果y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則方程x3+1=py2無正整數(shù)解;當(dāng)素?cái)?shù)p=3(8t+4)(8t+5)+1時(shí),設(shè)y0=16t+9,如果y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則方程x3+1=py2無正整數(shù)解.

本文證明了如下定理：

定理設(shè)素?cái)?shù)p=3(8t+s)(8t+s+1)+1,y0=16s+2s+1,這里t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù).若y0有素因數(shù)q≡3或5(mod8),則方程

x3+1=py2

(2)

當(dāng)s=0,7時(shí),無2?x正整數(shù)解;當(dāng)s=1,2,5,6時(shí),無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=3,4時(shí),無正整數(shù)解.

1 主要引理

引理1 設(shè)(x,y)=(2u,2v2-1)是不定方程

px2-3y2=1

(3)

的一組正整數(shù)解,而方程的最小正整數(shù)解為(2,y0),則y0沒有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8).

證明見文[15].

引理2 若方程px2-3y2=1的最小正整數(shù)解為(2,y0),這里y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則當(dāng)p≡1(mod8)時(shí),(2)無2?x正整數(shù)解;當(dāng)p≡3,7(mod8)時(shí),(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡5(mod8)時(shí),(2)無正整數(shù)解.

證明由方程(2)得

(x+1)(x2-x+1)=py2

(4)

因?yàn)?x+1,x2-x+1)=1或3,故(4)給出

x+1=pv2,x2-x+1=u2,y=uv

(5)

或

x+1=3pv2,x2-x+1=3u2,y=3uv

(6)

或

x+1=v2,x2-x+1=pu2,y=uv

(7)

或

x+1=3v2,x2-x+1=3pu2,y=3uv

(8)

這里(u,v)=1.

對(duì)于(5),由第二式知x=0或1,均不適合第一式,此時(shí)(2)無正整數(shù)解.對(duì)于(6),由文獻(xiàn)[16]的證明過程可知(2)無正整數(shù)解.對(duì)于(7),由第二式知u是奇數(shù),u2≡1(mod8).當(dāng)p≡1(mod8)時(shí),pu2≡1(mod8);當(dāng)p≡3,7(mod8)時(shí),pu2≡3,7(mod8);當(dāng)p≡5(mod8)時(shí),pu2≡5(mod8).另一方面,當(dāng)2|x時(shí),x+1=v2≡1(mod8),即x≡0(mod8),故pu2=x2-x+1≡1(mod8);當(dāng)2?x時(shí),x+1=v2≡0,4(mod8),即x≡-1,3(mod8),故pu2=x2-x+1≡3,7(mod8).顯然,當(dāng)p≡1(mod8)時(shí),(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡3,7(mod8)時(shí),(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡5(mod8)時(shí),(2)無正整數(shù)解.

對(duì)于(8),由第二式得

(9)

再將第一式x+1=3v2代入(9)得

p(2u)2-3(2v2-1)2=1.

(10)

由(10)知,(x,y)=(2u,2v2-1)是方程px2-3y2=1的一組正整數(shù)解.由引理1知,y0沒有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),這與引理2條件矛盾,故(2)無正整數(shù)解.引理2得證.

2 定理證明

當(dāng)p=3(8t+s)(8t+s+1)+1(t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù))時(shí),有p≡3s(s+1)+1(mod8).

將p的值代入(3),易知(2,16t+2s+1)是(3)的最小正整數(shù)解,此時(shí)y0=16s+2s+1.否則,若(1,y0)是(3)的最小正整數(shù)解,則

但等式右邊是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積,顯然不成立.

當(dāng)s=0,7時(shí),p≡1(mod8),根據(jù)引理2,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=1,2,5,6時(shí),p≡3,7(mod8),根據(jù)引理2,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=3,4時(shí),p≡5(mod8),(2)無正整數(shù)解.定理得證.

[1] 柯召,孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2?[J].中國(guó)科學(xué),1981,24(12):1453-1457.

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[9] 瞿云云、包小敏. 關(guān)于不定方程x3+1=119y2?[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2009, 34(1):9-11.

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[責(zé)任編輯：李春紅]

OntheIndefiniteEquationx3+1=py2

GUAN Xun-gui

(Mathematics & Physics of Taizhou Normal College, Taizhou Jiangsu 225300, China)

Letpbe an odd prime. Using elementary theory of numbers methods, a sufficient condition is obtained that the indefiniteequationx3+1=py2has no positive integer solution, wherep=3(8t+s)(8t+s+1)+1with s,t are nonnegative integers ands≤7.

indefinite equation; positive integer solution; odd prime; sufficient condition

O156

A

1671-6876(2011)04-0304-03

2011-02-25

管訓(xùn)貴(1963-), 男, 江蘇興化市人, 副教授, 研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)論.