有限元方法一致質(zhì)量矩陣的理論分析與應(yīng)用

胡 可

( 廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院 建筑工程與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，廣東 珠海 519090 )

0 引言

預(yù)應(yīng)力問(wèn)題的研究在工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2].利用有限元方法[3-5]對(duì)預(yù)應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行研究是有效的[6]，質(zhì)量矩陣模式影響有限元分析的結(jié)果[7]，相對(duì)其他質(zhì)量矩陣模式[8]，一致質(zhì)量矩陣模式在有限元分析中實(shí)用更加廣泛，如對(duì)角線化的一致質(zhì)量矩陣[9]、有限元一致質(zhì)量矩陣迭代解[10]、全耦合梁?jiǎn)卧囊恢沦|(zhì)量矩陣[11]等.一致質(zhì)量矩陣既可用整體坐標(biāo)表示，也可用局部坐標(biāo)表示.盡管可以通過(guò)變換矩陣[12]達(dá)到統(tǒng)一，但對(duì)相對(duì)簡(jiǎn)單研究對(duì)象的實(shí)際計(jì)算是不方便的.筆者推導(dǎo)質(zhì)量矩陣坐標(biāo)變換公式，將單元的一致質(zhì)量矩陣的表示統(tǒng)一在整體坐標(biāo)系下，給出空間桁架單元、梁?jiǎn)卧叭切文卧恢沦|(zhì)量矩陣的計(jì)算方法.

1 質(zhì)量矩陣坐標(biāo)變換

有限元分析比較實(shí)用的質(zhì)量矩陣即為單元一致質(zhì)量矩陣，在推導(dǎo)質(zhì)量矩陣與剛度矩陣時(shí)，使用相同的位移模式：

(1)

在建立單元一致質(zhì)量矩陣時(shí)，為了計(jì)算方便，在局部坐標(biāo)系下推導(dǎo)單元質(zhì)量矩陣，然后變換到整體坐標(biāo)系中.設(shè)me、qe與q′e分別為局部坐標(biāo)系下的單元質(zhì)量矩陣、節(jié)點(diǎn)位移向量、節(jié)點(diǎn)速度向量，單元?jiǎng)幽躎在局部坐標(biāo)系下一般表示為

eTmeq′e.

(2)

如果單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)速度用整體坐標(biāo)系下的Qe與Q′e表示，則存在變換關(guān)系

qe=λQe，q′e=λQ′e.

將其代入式(2)得

eTλTmeλQ′e.

(3)

如果在整體坐標(biāo)系下的單元質(zhì)量矩陣用Me表示，則單元?jiǎng)幽芸梢员硎緸?/p>

eTMeQ′e.

(4)

由于動(dòng)能為標(biāo)量，則與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，令式(3)與式(4)相等，得到整體坐標(biāo)系下的單元質(zhì)量矩陣為

Me=λTmeλ.

(5)

在計(jì)算時(shí)，可以用式(1)直接在整體坐標(biāo)系下計(jì)算單元質(zhì)量矩陣；或者先在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算，再由式(5)給出整體坐標(biāo)系下單元質(zhì)量矩陣的計(jì)算.

2 一致質(zhì)量矩陣

2.1 空間桁架單元

空間桁架單元在整體坐標(biāo)系下的單元分析見圖1，在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移分量Qe為

Qe=[Q3i-2Q3i-1Q3iQ3j-2Q3j-1Q3j]T.

圖1 空間桁架單元示意

假設(shè)線性位移模式為

U(x)=[u(x)v(x)w(x)]T=NQe,

式中：N為3×6形函數(shù)，并且有

如果密度ρ與橫截面面積A為常數(shù)，由式(1)可以得到空間桁架單元在整體坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣為

(6)

2.2 空間剛架單元

空間剛架單元在局部坐標(biāo)系下的單元分析見圖2，在局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移分量qe為

qe=[q1q2…q12]eT.

假設(shè)線性位移模式為

U(x)=[u(x)v(x)w(x)]T=Nqe,

式中：N為3×12形函數(shù)，并且有

圖2 空間剛架單元示意

如果密度ρ、橫截面面積A與極慣性矩J為常數(shù)，由式(1)可以得到空間剛架單元在局部坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣為

對(duì)于平面剛架單元，通常只是考慮軸向位移自由度與平面彎曲自由度，在局部坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣為

對(duì)于梁?jiǎn)卧豢紤]軸向位移自由度，在局部坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣為

(7)

通過(guò)式(5)坐標(biāo)變換，剛架單元和梁?jiǎn)卧囊恢沦|(zhì)量矩陣可以得到整體坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣的計(jì)算式.

2.3 三角形膜單元

三角形膜單元在整體坐標(biāo)系下的單元分析見圖3，在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移分量Qe為

圖3 三角形膜單元示意

假設(shè)線性位移模式為

U(x,y)=[u(x,y)v(x,y)w(x,y)]T=NQe,

式中：N為3×9形函數(shù)，并且有

式中：

其中：A為三角形膜單元的面積；xij=xi-xj,yij=yi-yj(i,j,k).

在局部坐標(biāo)系下計(jì)算，可以簡(jiǎn)化一致質(zhì)量矩陣的體積分，如果密度ρ、單元面積A與單元厚度t為常數(shù)，由式(1)完成積分后，再由式(5)得到三角形膜單元在整體坐標(biāo)系下的一致質(zhì)量矩陣為

(8)

3 結(jié)論

(1)如果材料的密度與橫截面面積為常數(shù)，空間桁架單元的一致質(zhì)量矩陣適用于在整體坐標(biāo)系下直接計(jì)算.

(2)對(duì)于梁?jiǎn)卧?，在不考慮軸向位移自由度時(shí)，其一致質(zhì)量矩陣適用于在局部坐標(biāo)系下計(jì)算，然后再做坐標(biāo)變換.

(3)若三角形膜單元的材料密度、單元面積與單元厚度為常數(shù)，則一致質(zhì)量矩陣可以直接在整體坐標(biāo)系下給出.