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    二階非線性周期邊值問題的正解

    2011-11-10 03:34:34胡金燕孔令彬
    東北石油大學學報 2011年5期
    關鍵詞:將式邊值問題不動點

    胡金燕, 孔令彬

    ( 東北石油大學 數(shù)學科學與技術學院,黑龍江 大慶 163318 )

    0 引言

    研究二階非線性周期邊值問題,即

    (1)

    式中:參數(shù)α>0,0<4β-α2<1.

    二階非線性周期邊值問題出現(xiàn)在物理及應用數(shù)學領域中[1-8],人們對此進行研究,討論含單參數(shù)的二階非線性周期邊值問題,獲得正解存在性結果[1].有關含雙參數(shù)二階非線性周期邊值問題的研究結果還不多見.筆者研究一類二階非線性周期邊值問題式(1)(簡稱問題(1)),在非線性項滿足適當?shù)臈l件下,證明正解的存在性.

    1 問題假設

    定義:稱u(t)為邊值問題(1)的1個正解,如果它滿足

    (ⅰ)u(t)∈C2(0,2π)∩C1[0,2π],u(t)>0,t∈(0,2π);

    (ⅱ)u″(t)+αu′(t)+βu(t)=f(t,u(t)),并且u(t)滿足

    u(i)(0)=u(i)(2π),i=0,1,

    則主要結果是

    定理1假設(H1),(H2)或(H1),(H3)成立,則邊值問題(1)至少存在1個正解.

    推論假設(H1)及條件之一成立:

    則邊值問題(1)至少存在1個正解.

    為證明定理1,需要用到引理.

    引理1[9]設E是Banach空間,K是E中的錐,T:K→K是全連續(xù)算子.

    (1)如果對任何u∈?Kr及任何0<λ≤1都有λTu≠u,則i(T,Kr,K)=1;

    2 問題(1)的等價形式與Green函數(shù)估計

    引理2[1]若線性周期邊值問題

    (2)

    有唯一解r(t)∈C2[0,2π],則周期邊值問題:

    有唯一解,即

    其中

    引理3線性周期邊值問題式(2)存在唯一解

    證明:注意到α>0,0<4β-α2<1,直接計算即可.

    由r(t)的表達式,容易知道r(t)>0,t∈(0,2π).再根據(jù)引理2和引理3可知,問題(1)等價于積分方程:

    (3)

    其中

    引理4?s,t∈[0,2π],成立不等式:

    證明設h(t)=sinλt+exp(-απ)sinλ(2π-t),t∈[0,2π],則h(0)=e-απsin 2λπ,h(2π)=sin 2λπ,t∈[0,2π]并且

    h′(t)=λcosλt-λexp(-απ)cosλ(2π-t),

    h″(t)=-λ2[sinλt+exp(-απ)sinλ(2π-t)]<0,

    故h(t)于[0,2π]是凸函數(shù).令h′(t)=0,可得

    h(t0)=sinλt0+exp(-απ)sinλ(2π-t0)=

    從而

    h(t)≤max{h(0),h(2π),h(t0)}≤

    max{exp(-απ)sin 2λπ,sin 2λπ,exp(-απ)+1}≤

    1+exp(-απ).

    另外

    h(t)≥min{h(0),h(2π),h(t0)}≥

    min{exp(-απ)sin 2λπ,sin 2λπ,1-exp(-απ)cos 2λπ}≥

    exp(-απ)[1-exp(-απ)cos 2λπ]sin 2λπ.

    因此對?s,t∈[0,2π]有

    3 定理1的證明

    定義映射:Φ:C[0,2π]→C[0,2π],

    在C[0,2π]中定義錐K:

    于是?u∈K,由引理4知

    故Φ(K)?K.另外,容易證明Φ:K→K全連續(xù).

    現(xiàn)在證明定理1.

    情形1:由(H2)可知,可選擇ε∈(0,β)及r>0使

    f(t,u)≤(β-ε)u,0≤u≤r,?t∈[0,2π].

    證明?u∈?Kr及0<μ≤1有μΦu≠u.若不然,則存在u0∈?Kr,0≤μ0≤1使μ0Φu0=u0,由映射Φ的定義知u0(t)滿足

    (4)

    將式(4)的方程兩邊從0到2π積分并利用條件得

    由引理1知i(Φ,Kr,K)=1.

    再由(H2)可知,存在ε>0及H>0使

    f(t,u)≥(β+ε)u,u≥H,?t∈[0,2π].

    f(t,u)≥(β+ε)u-C,u≥0.

    證明?u∈?KR及μ≥1有μΦu≠u.若不然,則存在u0∈?KR,μ0≥1使μ0Φu0=u0,于是式(4)成立,對式(4)兩邊從0到2π積分得

    由引理1知i(Φ,KR,K)=0.再根據(jù)不動點指數(shù)的可加性知

    情形2:由(H3)可知,存在ε>0和r>0使

    f(t,u)≥(β+ε)u,0≤u≤r,?t∈[0,2π].

    證明?u∈?Kr及μ≥1,有μΦu≠u.若不然,則存在u0∈?Kr,μ0≥1使μ0Φu0=u0,于是u0(t)滿足式(4).將式(4)從0到2π積分得

    再由(H3)可知,存在ε∈(0,β)及H>0使

    f(t,u)≤(β-ε)u,u≥H,?t∈[0,2π].

    f(t,u)≤(β-ε)u+C,u≥0,?t∈[0,2π].

    由不動點指數(shù)的可加性知

    4 結束語

    研究一類含雙參數(shù)二階非線性周期邊值問題,在非線性項滿足適當?shù)臈l件下,利用對格林函數(shù)的估計不等式和錐不動點定理,給出了問題正解存在的充分條件,證明了其正解的存在性.

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