應(yīng)用加權(quán)殘值法求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

連 鵬

1 加權(quán)殘值法

結(jié)構(gòu)物中的桿件、板殼等彈性體，受到動(dòng)荷載作用時(shí)，在工程設(shè)計(jì)中的動(dòng)力分析問(wèn)題有時(shí)候是比較突出的問(wèn)題［1，2］。作用在結(jié)構(gòu)物上的動(dòng)荷載往往是一種突加的荷載，作用的時(shí)間往往是很短暫的，但強(qiáng)度很大。結(jié)構(gòu)物在突加的強(qiáng)大而又短暫的動(dòng)荷載作用下，產(chǎn)生過(guò)度的變形及巨大的內(nèi)力以致在短暫的時(shí)間內(nèi)發(fā)生破壞倒坍，這種情況稱為動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。目前這類問(wèn)題的計(jì)算，主要依賴有限元分析。這種方法雖然有效，但往往工作量大，浪費(fèi)巨大的人力物力，在近年來(lái)國(guó)內(nèi)計(jì)算力學(xué)工作者提出應(yīng)用加權(quán)殘值法分析結(jié)構(gòu)物動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題［3，4］。這種方法具有簡(jiǎn)便、精確、工作量少、經(jīng)濟(jì)等特點(diǎn)，是一種將加權(quán)殘值法用于結(jié)構(gòu)物動(dòng)力學(xué)方面的很有意義的研究工作。

2 基本原理

以現(xiàn)有理論計(jì)算結(jié)構(gòu)物的動(dòng)力平衡微分方程，一般應(yīng)用直接積分法，此法要點(diǎn)是利用時(shí)間為t的結(jié)構(gòu)物的位移Ut，速度U＆t及加速度U＆t＆，去計(jì)算時(shí)間為t+Δt時(shí)結(jié)構(gòu)物的位移Ut+τ，速度及加速度，現(xiàn)在所用的動(dòng)力學(xué)平衡方程式為:

這個(gè)方法的基本假設(shè)認(rèn)為:在時(shí)間間隔τ=θΔt之中，加速度向量作線性變化。在θ=1.37時(shí)，無(wú)條件穩(wěn)定，效果尚佳。

國(guó)內(nèi)孫煥純?cè)形恼滦薷耐栠d法中的假設(shè)，縮短計(jì)算過(guò)程。金瑞春根據(jù)加權(quán)殘值法的概念寫(xiě)出結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題中的運(yùn)動(dòng)微分方程的廣義積分格式，從特例推出威爾遜—θ法。徐文煥提出以B樣條配點(diǎn)法解算結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程式，線性的及非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。徐次達(dá)及其合作者研究做了大量樣條配點(diǎn)法解算板殼動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，發(fā)展更完善的有條件及無(wú)條件穩(wěn)定的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題計(jì)算格式。

徐文煥首先提出了用樣條函數(shù)表達(dá)時(shí)域函數(shù)，利用配點(diǎn)法解決結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。在他提出的配點(diǎn)法中，將時(shí)域［t0，tm］作均勻劃分，時(shí)間步長(zhǎng)為:

結(jié)構(gòu)物的第“n”個(gè)振型坐標(biāo)以三次B樣條函數(shù)表示為:

配點(diǎn)法為i的殘值方程為:

解得結(jié)構(gòu)物在t=t0時(shí)“n”振型的振型位移、速度及加速度分別為:

在t=ti時(shí)振型位移、速度及加速度分別為:

ti+1時(shí)刻的三個(gè)量與ti時(shí)刻的關(guān)系式如下:

表1 配點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果

表2 威爾遜法計(jì)算結(jié)果

3 求解算例

使用配點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

使用威爾遜法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

通過(guò)兩種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，使用配點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算是一種節(jié)省資源，高效準(zhǔn)確的計(jì)算方法，在適當(dāng)?shù)那闆r下，是可以取代有限元進(jìn)行工程力學(xué)分析的。

［1］ 徐次達(dá).計(jì)算力學(xué)中的加權(quán)殘值法在我國(guó)的研究及應(yīng)用［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1998(1):18-19.

［2］ 鐘新谷，曾慶元.加權(quán)殘值法在鋼筋混凝土拱橋非線性有限元分析中的應(yīng)用［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，1999(4):51-52.

［3］ 張新占，馮忠居.用加權(quán)殘值法求解加筋圓柱曲板的臨界載荷［J］.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2000(1):31-34.

［4］ 王光杰.滑動(dòng)最小二乘法在加權(quán)殘值法中的應(yīng)用［J］.桂林工學(xué)院學(xué)報(bào)，2000(3):26-27.