一類五階牛頓變形方法及其加速

周任灃，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

一類五階牛頓變形方法及其加速

周任灃，蔡 靜＊

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

結(jié)合經(jīng)典牛頓法與中點(diǎn)牛頓法，提出了一類求解非線性方程的五階收斂迭代算法，并建立了該牛頓變形方法的加速公式．?dāng)?shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明：相對于經(jīng)典牛頓法、中點(diǎn)牛頓法、幾何平均牛頓法、調(diào)和平均牛頓法和Simpson牛頓法等幾種已有的牛頓改進(jìn)格式，此類新型牛頓變形方法的收斂速度更快，精度更高．

非線性方程；收斂階；數(shù)值試驗(yàn)；迭代方法

0 引 言

非線性方程f（x）＝0的求解是當(dāng)前各學(xué)科領(lǐng)域中的重要問題之一．眾所周知，絕大多數(shù)非線性方程很難進(jìn)行解析求解，因此，構(gòu)造非線性方程的近似解法具有非常重要的意義．

牛頓法是一類常用的非線性方程的近似解法，被廣泛應(yīng)用于氣象學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)與物理學(xué)等領(lǐng)域，也倍受廣大科研技術(shù)人員的重視．近年來，構(gòu)造更優(yōu)的牛頓變形迭代格式倍受關(guān)注，許多文獻(xiàn)提出了各種改進(jìn)的牛頓迭代格式，主要有中點(diǎn)牛頓法（MN）、幾何平均牛頓法（GN）、Simpson牛頓法（SN）、調(diào)和平均牛頓法（HN）等［1－10］．

該文主要考慮如下問題：1）如果在經(jīng)典牛頓法的基礎(chǔ)上結(jié)合中點(diǎn)牛頓迭代格式［1］，可以建立什么樣的牛頓變形方法，其收斂速度如何？2）該方法結(jié)合牛頓下山法的加速思想，能建立怎樣的加速公式？針對上述問題，該文將給出一類新的牛頓變形方法及其加速公式并進(jìn)行收斂性分析．同時通過數(shù)值試驗(yàn)，將所建立的牛頓變形方法與已有的幾類牛頓改進(jìn)格式進(jìn)行比較，以驗(yàn)證該算法的優(yōu)越性．

1 一類五階牛頓變形方法

在經(jīng)典牛頓法的基礎(chǔ)上結(jié)合中點(diǎn)牛頓迭代格式［1］，可得到：

其中n＝0，1，2，…．在此基礎(chǔ)上，為了得到f′（zn）顯示表達(dá)式，在（xn，f′（xn））和（yn，f′（yn））兩點(diǎn)上用線性插值，則f′（zn）可近似為

將式（2）代入式（1），得到如下新的迭代算法：

算法1

其中n＝0，1，2，…．將這種新算法記為MC，下面從理論上分析此類新算法的收斂性．先給出收斂階的定義．

定義1 設(shè)序列｛xn｝∞0收斂于α，若存在p≥1及常數(shù)C≠0，使成立，則稱序列是p階收斂的．C稱為收斂因子，也稱為漸近誤差常數(shù)．

在定義1中，令en＝xn－α，則稱關(guān)系式en＋1＝Cepn＋o（epn）為此序列的誤差方程，p稱為收斂的階．將f（zn）在α處泰勒展開，即得

將式（5）至式（7）代入式（3），可得

2 五階牛頓變形方法的加速

將算法1結(jié)合牛頓下山法的加速思想，可得如下加速算法：

算法2

其中0＜μ＜1．

3 數(shù)值試驗(yàn)

結(jié)果如表1～3所示．表中k為迭代次數(shù)，xk為迭代值，fk為每次迭代后的函數(shù)值，piancha為相鄰兩次迭代的偏差，xdpiancha為相鄰兩次迭代偏差的相對誤差，這里取迭代次數(shù)的最大值gxmax＝100．

表1 五階牛頓變形方法（MC）與幾類牛頓改進(jìn)格式的比較（f1（x）＝2x3－3x2＋1）Tab．1 Comparison of MC and several existing Newton improving formats（f1（x）＝2x3－3x2＋1）

表2 五階牛頓變形方法（MC）與幾類牛頓改進(jìn)格式的比較（f2（x）＝sin（x－1）＋（x－1）2）Tab．2 Comparison of MC and several existing Newton improving formats（f2（x）＝sin（x－1）＋（x－1）2）

表3 五階牛頓變形方法（MC）與幾類牛頓改進(jìn)格式的比較（f3（x）＝4x4＋5x2）Tab．3 Comparison of MC and several existing Newton improving formats（f3（x）＝4x4＋5x2）

續(xù)表

上述數(shù)據(jù)顯示，五階牛頓變形方法（MC）的精度及收斂速度都優(yōu)于經(jīng)典牛頓法（CN）、中點(diǎn)牛頓法（MN）、幾何平均牛頓法（GN）、調(diào)和平均牛頓法（HN）和Simpson牛頓法（SN）．

［1］莫小平．中點(diǎn)牛頓迭代格式的最優(yōu)性［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（13）：228－231．

［2］王霞，趙玲玲，李飛敏．牛頓方法的兩個新格式［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007，37（1）：72－76．

［3］于明明，吳開謖，張妍．牛頓迭代法與幾種改進(jìn)格式的效率指數(shù)［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2008，38（18）：154－159．

［4］田秋菊，宋岱才．Newton迭代法的一種新改進(jìn)［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2011，11（3）：558－560．

［5］王曉峰．一種修正的牛頓迭代法［J］．長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，33（1）：178－179．

［6］張榮，薛國民．修正的三次收斂的牛頓迭代法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21（1）：80－82．

［7］柳輝．解非線性方程的牛頓迭代法及其應(yīng)用［J］．重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，21（8）：95－98．

［8］鄭權(quán)．牛頓法的一點(diǎn)注記和改進(jìn)［J］．北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，14（3）：21－24．

［9］Chun C．Iterative methods improving Newton's method by the decomposition method［J］．Comput Math Appl，2005，50（22）：1559－1568．

［10］Golbabai A，Javidi M．Newton－like iterative methods for solving system of non－liner equations［J］．Appl Math Comput，2007，192（35）：546－551．

Abstract：Based on the classical Newton's method and the midpoint Newton's method，the paper presented a new fifthorder convergent iterative algorithm and its acceleration formula for nonlinear equations．Results of the numerical experiments show that the proposed algorithm is more accurate and efficient than the classical Newton's method and several existing Newton improving formats，such as Midpoint Newton's method，Geometrical mean Newton's method，Harmonic mean Newton's method and Simpson Newton's method．

Key words：nonlinear equation；degree of convergence；numerical experiments；iterative method

A Class of Fifth－Order Convergence Variants of Newton's Method and Its Acceleration

ZHOU Ren－feng，CAI Jing
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

O241．7 MSC2010：65H99

A

1674－232X（2011）06－0529－06

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．06．011

2011－05－28

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（Y6110043）；湖州市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2010YZ05）；國家特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn)項(xiàng)目．

周任灃（1987—），女，浙江寧波人，信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究．

＊通信作者：蔡 靜（1975—），女，浙江湖州人，副教授，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究．E－mail：caijing＠hutc．zj．cn