賦范線性空間中有限簇漸近一致Φ－偽壓縮映象的不動點迭代逼近

阿力非日，張 艷

（1.四川省岳池縣第一中學(xué)，四川廣安638300；2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

賦范線性空間中有限簇漸近一致Φ－偽壓縮映象的不動點迭代逼近

阿力非日1，2，張 艷2

（1.四川省岳池縣第一中學(xué)，四川廣安638300；2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

文章在賦范線性空間中研究了有限簇漸近一致Φ－偽壓縮映象具有誤差的隱迭代序列的收斂性問題，得到了更一般的結(jié)論，改進(jìn)和推廣了相應(yīng)的結(jié)果.

漸近一致Φ－偽壓縮映象；賦范空間；迭代程序；不動點

1 引言及預(yù)備知識

2006年，谷峰教授研究了賦范空間中漸近一致Φ－偽壓縮映象的迭代逼近問題［1］.即設(shè)D是賦范空間X中的非空凸子集，若序列｛xn｝迭代定義為：

定義1 設(shè)D是X的一個非空子集，T：D→D是一個映象.Φ：［0，＋∞）→［0，＋∞）是一嚴(yán)格遞增的函數(shù)，且Φ（0）＝0.

1）T稱為漸近偽壓縮的.如果存在一實數(shù)列｛rn｝?［1，＋∞），lim rn＝1，而且對?x，y∈D，?j（x－y）∈使得

2）T稱為漸近Φ－偽壓縮的.如果存在x＊∈D，使得對?x∈D，?j（x－x＊）∈J（x－x＊），有

其中T：D→D是漸近一致Φ－偽壓縮的一致L－lipschitz映象，則在一定條件下，｛xn｝強(qiáng)收斂于x＊.特別，如果q∈D是T的不動點，則xn→q（n→∞）.受其影響，該文將單個漸近一致Φ－偽壓縮映象的結(jié)果推廣到有限個的結(jié)果.

為證明該文的結(jié)果，需要以下定義與引理.

文中處處設(shè)X是以實賦范線性空間.X＊是X的對偶空間，〈·，·〉表示X＊和X間的配對.映象J：X→2X＊是有下式定義的正規(guī)對偶映象：

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)D是賦范空間X的一個非空凸子集，Tm：D→D（m＝1，2，…，N）是漸近一致Φ－偽壓縮映象.具有常數(shù)rm，n的漸近偽壓縮映射，且｛rm，n｝?［1，＋∞），lim rm，n＝1，F(xiàn)＝∩NF（Tm）不為空集，其中

n→∞m＝1F（Tm）為Tm的不動點集，那么：

i）如果q∈D是映象簇｛Tm｝mN＝1的任一不動點，則q＝x＊.從而映象簇｛Tm｝mN＝1至多只有一個不動點.

ii）對于?x0∈D，序列｛xn｝n≥1如下定義：

函數(shù)Φ：［0，＋∞）→［0，＋∞），Φ（0）＝0，使得對x＊∈F，有

那么｛xn｝n≥1是有界的.

證明 i）不妨設(shè)存在異于x＊的不動點p∈D，即Tm（p）＝p（m＝1，2，3，…），則存在j（p－x＊）∈J（p－x＊），使得

因為j是正規(guī)對偶映象，故有〈p－x＊，j（p－x＊）〉＝‖p－x＊‖2，從而

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明｛xn｝是有界的.事實上，對任意的n≥0，‖xn－x＊‖≤2a.

當(dāng)n＝0時，根據(jù)a的定義a＝sup｛k∈R＋：Φ（k）≤‖Tnm00xn0‖｝，有Φ（‖x0－x＊‖）≤‖Tnm00xn0‖.從而‖x0－x＊‖＜a＜2a.假設(shè)當(dāng)n＝k時，‖xk－x＊‖≤2a成立.下證‖xk＋1－x＊‖≤2a.若不然，設(shè)‖xk＋1－x＊‖＞2a，則由Φ的嚴(yán)格遞增性，有Φ（‖xk＋1－x＊‖）＞Φ（2a），又

注 該文將最近一些文獻(xiàn)如［3］中的Banach空間推廣到了賦范線性空間中，并去掉了定義域有界性的假設(shè)和空間光滑性的限制，同時將單個漸近一致Φ－偽壓縮的收斂性推廣到了有限個的結(jié)果，因此改進(jìn)和推廣了以前的相關(guān)結(jié)果.

［1］谷峰.賦范空間中漸進(jìn)一致Φ－偽壓縮型映象不動點的迭代逼近［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2006，36（3）：281－287.

［2］Zhou H Y，Cho Y J.Ishikawa and Mann iterative processes with errors for nonlinearφ－strongly quasi－accretive mappings in nonmed linear spaces［J］.J Korean Math Soc，1999，36（6）：1061－1073.

［3］王麗萍，肖卓峰.有限個漸近偽壓縮映射近迫點序列的收斂性［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，40（3）：145－150.

The Iterative Approximation for Fixed Points of a Finite Family of Asymptotically IdenticalΦ－Pseudocontractive Mappings in Normed Linear Space

A Li Fei－ri1，2，ZHANG Yan2
（1.Yuechi No.1 Middle School，Guang'an 638300，China；2.School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637009，China）

The paper studied the convergence problems of iterative processes with errors under a finite family of asymptotically identicalΦ－pseudocontractive mappings in normed linear space，and obtained certain results which have improved and extended the corresponding results.

asymptotically identicalΦ－pseudocontractive mapping；normed space；iterative process；fixed point

0177.91 MSC2010：46B17；46T07

A

1674－232X（2011）06－0539－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2011.06.013

2011－03－04

四川省教育廳重點課題基金項目（07ZA123）.

阿力非日（1986—），男，四川涼山人，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事非線性分析研究.E－mail：yanxiaomeialfr＠163.com