三線擺法測定轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算原理分析

吳 曉

(湖南文理學(xué)院，常德 415000)

轉(zhuǎn)動慣量是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。物體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小，取決于物體的質(zhì)量、形狀和回轉(zhuǎn)軸的位置。對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從外形尺寸及其質(zhì)量求出其轉(zhuǎn)動慣量，而外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的只能從回轉(zhuǎn)運(yùn)動中去測得。三線擺法是通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動測量轉(zhuǎn)運(yùn)慣量的一種常見方法。此方法已成功地用在公斤級小人造衛(wèi)星、吸排油煙機(jī)的葉輪、汽車發(fā)動機(jī)整機(jī)等產(chǎn)品的轉(zhuǎn)動慣量測試中。一般三線擺扭轉(zhuǎn)振動是非線性振動，只有當(dāng)給三線擺扭轉(zhuǎn)一個(gè)小于6°的初始角后，扭轉(zhuǎn)振動才可以近似為線性振動［1－8]。文獻(xiàn)［2－4] 都是把三線擺處理為線性振動后，推導(dǎo)出扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率計(jì)算公式。如扭轉(zhuǎn)初始角大于6°以后，采用線性振動理論推導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算會帶來一定的誤差。但是，扭轉(zhuǎn)初始角太小又給測試實(shí)驗(yàn)帶來不便。因此，只有利用非線性振動理論研究三線擺的扭轉(zhuǎn)固有振動，推導(dǎo)出計(jì)算精度高、表達(dá)形式簡便的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率計(jì)算公式，才能很好地解決上述矛盾。

1 三線擺扭轉(zhuǎn)振動近似解

當(dāng)圖1所示三線擺扭轉(zhuǎn)θ角后(θ角不限于很小)，圓盤的位置升高為h，它的勢能增加為Ep，則有下式成立:

式中:m0為下圓盤的質(zhì)量，g為重力加速度。

當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)角為θ時(shí)，具有的動能為:

式中:I0為下圓盤對O1O2軸的轉(zhuǎn)動慣量。

如果略去摩擦力，按機(jī)械能守恒定律，圓盤的勢能與動能之和應(yīng)等于一常量，即:

圖1 三線擺示意圖Fig.1 Sketch map of trilinear pendulum

設(shè)懸線長l，上圓盤半徑為r，下圓盤半徑為R。當(dāng)下圓盤轉(zhuǎn)一角度θ時(shí)，從上圓盤B點(diǎn)作下圓盤垂線，與升高h(yuǎn)前、后的下圓盤分別交于C和C'則:

因?yàn)?

而(BC+BC')可近似為兩盤間距離d0的二倍，則:

把式(6)代式(3)中并對t微分可得:

取sinθ泰勒級數(shù)展開式前三項(xiàng)代入上式中可得:

在式(8)中引入“人工攝動參數(shù)”且令τ=ωt可以得到:

令式(9)的初始條件為:

令:

把式(11)代入式(9)中可以得到下式:

把式(9)的解表示為系數(shù)待定的傅里葉級數(shù):

為了使式(13)滿足初始條件式(10)，可補(bǔ)充條件:

把式(13)代入式(12)中利用系數(shù)待定法及式(14)可以求得:

當(dāng)下圓盤放上一質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動慣量為I的重物時(shí)，三線擺的振動周期為，所以由以上各式可得:

利用式(16)、式(17)可得被測物體的轉(zhuǎn)動慣量為:

在式(18)中當(dāng)R=r時(shí)，式(18)即可化為:

采用式(19)即可計(jì)算文獻(xiàn)［1，2] 所采用三線擺所測物體的轉(zhuǎn)動慣量。

2 計(jì)算分析

當(dāng)把圖1所示三線擺處理為線性振動即簡諧振動時(shí)，可知其振動周期為，由此可知三線擺的非線性振動周期與簡諧振動周期比值為下面把三線擺振動周期與簡諧振動周期的比值列在表1中，以便討論分析。

表1 三線擺振動周期比值Tab.1 Ratio of trilinear pendulum's vibrating period

從表1可以看出，本文給出的三線擺振動頻率公式計(jì)算結(jié)果與精確解吻合得相當(dāng)好，這說明式(15)的計(jì)算精度很高，而且式(15)的表達(dá)形式也很簡便。當(dāng)三線擺轉(zhuǎn)角超過10°時(shí)，按線性振動理論計(jì)算的結(jié)果與非線性振動理論計(jì)算的結(jié)果誤差達(dá)到0.2%以上，這與文獻(xiàn)［1] 的誤差分析是一致的。三線擺轉(zhuǎn)角不超過45°時(shí)，線性振動理論的計(jì)算結(jié)果與非線性振動理論的計(jì)算結(jié)果誤差不超過4%。

由文獻(xiàn)［9] 可知，若采用三條擺線相互平行的三線擺測試物體的轉(zhuǎn)動慣量時(shí)，要求扭轉(zhuǎn)角小于6°時(shí)才可使用公式，即必須保證測試系統(tǒng)為線性的。

由于文獻(xiàn)［2] 沒有給出三條擺線相互平行三線擺擺盤的有關(guān)參數(shù)，因此無法把本文方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［2] 測試結(jié)果進(jìn)行比較。

為驗(yàn)證本文方法可靠性，采用三條擺線相互平行三線擺進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試。擺盤為標(biāo)準(zhǔn)樣件的實(shí)心圓鋼盤。圓鋼盤密度 ρ=7.8×103kg/m3，鋼盤半徑 R0=7.19 ×10－2m 圓鋼盤厚 δ=1.15 ×10－2m，擺線長 d0=1.928 m，圓盤重心到擺線與圓盤固結(jié)點(diǎn)的距離 r=5×10－2m。

由以上計(jì)算參數(shù)可知圓鋼盤的轉(zhuǎn)動慣量為I'0==37.64 ×10－4kg·m2。

當(dāng)三線擺扭轉(zhuǎn)角等于18°時(shí)，可測得三線擺的扭轉(zhuǎn)振動周期為 T0=2.869 5 s。

當(dāng)R=r時(shí)，由式(16)可以得到:

把有關(guān)參數(shù)代入式(20)中可知I0=38.157 4×10－4kg·m2。把實(shí)驗(yàn)結(jié)果I0與理論值I'0進(jìn)行比較，可知二者誤差為1.374 6%。

從以上分析可知，本文方法計(jì)算精度較高，且不受扭轉(zhuǎn)角小于6°的限制，而且計(jì)算過程也比較簡便。

3 結(jié)論

(1)三線擺轉(zhuǎn)角較大時(shí)，應(yīng)采用非線性振動理論來測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。

(2)本文給出的三線擺振動頻率公式計(jì)算精度較高且表達(dá)形式簡潔，完全可以取代已有的三線擺振動頻率計(jì)算公式并在工程實(shí)際中應(yīng)用。

［1] 張代勝，胡璽良，袁 玲.三線擺法測量復(fù)雜構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量的誤差分析［J] .農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2008，39(3):37 －40.

［2] 莊表中，王惠明.應(yīng)用理論力學(xué)實(shí)驗(yàn)［M] .北京:高等教育出版社，2009.

［3] 陳春澄，莊表中，沈德先.關(guān)于測試物體轉(zhuǎn)動慣量方法的探討［J] .力學(xué)與實(shí)踐，1992，14(6):48－49.

［4] 劉 丹，侯之超.三線擺方程簡化及其共振問題研究［J] .振動與沖擊，2007，26(8):136 －139.

［5] 任 培，袁中凡.轉(zhuǎn)動慣量測量系統(tǒng)的研制［J] .中國測試技術(shù)，2007，33(1):37 －39.

［6] 趙學(xué)薈，侯 文，陳 鴻，等.基于三線擺運(yùn)動完整描述的轉(zhuǎn)動慣量測量方法［J] .彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2006，26(4):362－364.

［7] 趙學(xué)薈，侯 文.考慮擺線拉伸效應(yīng)的三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量方法的研究［J] .宇航計(jì)測技術(shù)，2006，26(6):26 －29.

［8] 于治會.不規(guī)則陀螺轉(zhuǎn)子慣性矩的測定方法［J] .戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈控制技術(shù)，2002(1):43－52.

［9] 宋 超，潘鈞俊，葉郁文，等.用三線擺方法測試物體轉(zhuǎn)動慣量的誤差問題［J] .力學(xué)與實(shí)踐，2003，25(1):59－61.