矩形薄板在面內隨機參數(shù)激勵下的隨機分岔研究

葛 根，王洪禮，許 佳

(1.天津工業(yè)大學 機械學院，天津 300160;2.天津大學 機械學院，天津 300072)

目前薄板在各種工程領域中得到了廣泛的應用。在建筑工程、機械工程以及航空航天工程中使用更為常見。由于薄板一般具有較大的柔性，在外界激勵的作用下容易發(fā)生振動，所以研究薄板的非線性動力學問題就顯得尤為重要。國內外眾多非線性學科的學者在此方面做了很多工作。張偉等［1－3]利用全局攝動法研究了矩形薄板的全局分岔及混沌現(xiàn)象;楊志安等［4－6]研究了在非線性地基模型支撐的地基薄板的頻率響應問題。以上文獻的都是使用確定性非線性系統(tǒng)理論進行研究的，而事實上，薄板在實際情況中往往受到隨機激勵的作用。葛根等［7]研究了具有摩擦邊界的矩形薄板在面內隨機激勵下，一階模態(tài)的隨機分岔和穩(wěn)定性問題。但對薄板高階模態(tài)的隨機動力學特性尚無研究。

本文在考慮文獻［7] 的研究結論后，建立了四邊簡支的矩形薄板在含噪聲信號的面內激勵下的二階隨機參數(shù)激勵模型，并且發(fā)現(xiàn)該隨機系統(tǒng)的廣義Hamilton函數(shù)形式要比文獻［7] 中的一階模態(tài)復雜得多，并用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機平均法把薄板振動系統(tǒng)表示為一維Ito擴散過程。隨后研究了參數(shù)變化對薄板振動時穩(wěn)定性的影響，得到了系統(tǒng)的隨機局部、全局穩(wěn)定性及分岔條件隨系統(tǒng)受參激強度變化的特性。

1 薄板隨機振動模型的建立

如圖1所示薄板，矩形薄板長寬分別為a和b，厚度為 h，在 x=0，，x=a，y=0，y=b 四邊簡支。在板中面建立如圖1所示的坐標，設 u，v，w 分別為 x，y，z方向的位移。在x=0，，x=a兩邊受面內激勵p(t)，為板中面內的分布載荷，其形式為:p(t)=p0+p'ζ(t)，其中，p0為均布載荷，ζ(t)為0均值，強度為2D的高斯白噪聲，p為噪聲的幅值。在該薄板可認為是柔性大撓度板。

圖1 矩形薄板振動模型及坐標Fig.1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

［2] 及馮－卡曼方程，可建立板的橫向振動方程為:

且滿足:

其中:Nx，Ny，Nxy分別為板內各方向的內力。

板的簡支邊的位移邊界條件可表示為:

在 y=0，b處:

力邊界條件為:

y=0，b處:

設滿足位移邊界條件(4)的板的二階模態(tài)為:

代入式(2)，并考慮力邊界條件(5)求出板的內力Nx、Ny、Nxy如下:

把內力式(7)、式(8)、式(9)和模態(tài)式(6)代入式(1)可得:

根據(jù)Galerkin變分法，可求得離散化及參數(shù)化簡后薄板的常微分形式的模態(tài)方程:

其中參數(shù)化簡的形式為:

為研究系統(tǒng)(12)在隨機激勵下系統(tǒng)能量的變化，設系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)(廣義能量)為:，其中:

p，q為廣義位移和廣義動量?？砂严到y(tǒng)寫為:

其中:

該Hamilton系統(tǒng)不存在與H(t)獨立對合的首次積分，該系統(tǒng)為一個擬不可積Hamilton系統(tǒng)。根據(jù)擬不可積Hamilton系統(tǒng)的定義及性質，可知系統(tǒng)(13)依概率收斂到一維Ito擴散過程:

其中，B(t)是標準Weiner過程，m(H)和σ(H)分別是Ito隨機過程的漂移系數(shù)與擴散系數(shù)。使用擬不可積Hamilton系統(tǒng)的隨機平均法［8]，得到:

其中:Ω =({q1，q2，p2H(q1，q2，0，p2)≤H)，下標(i，j，k)為約定求和標值。

這里R是方程(21)的根。

2 矩形薄板模型的隨機穩(wěn)定性

2.1 局部穩(wěn)定性

線性化系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)定義為:

由Oseledec乘積遍歷性定理可知，系統(tǒng)(14)平凡解以概率1漸近穩(wěn)定的充要條件是:最大Lyapunov指數(shù)λ＜0。顯然，方程(14)只有一個平凡解(0，0)，則平均Ito方程只在零點處取得唯一平凡解，將(14)在H=0處線性化，得到線性化的Ito微分方程:

解得:

故系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)為:

2.2 全局穩(wěn)定性

通過計算系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)的方法只能用于判定系統(tǒng)的隨機局部穩(wěn)定性，卻無法用于系統(tǒng)隨機全局穩(wěn)定性的判定，所以只能采用隨機擴散過程的奇異邊界理論［10]來判定系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性。

一維擴散過程的概率漸近穩(wěn)定性由該過程在奇異邊界上的性態(tài)確定，因此下面主要分析擴散過程的兩個奇異邊界性態(tài):左邊界H→0和右邊界H→∞。

當H→0時，使 σ2(H)=0，m(H)=0，屬于第一類奇異邊界，H→0為套點。漂移系數(shù)m(H)和擴散系數(shù)σ(H)漸近地收斂于下面的兩式:

根據(jù)參考文獻［10] 表2－8.2和表2－8.4的結論奇異邊界的劃分標準可知，平均Ito方程(12)的左邊界屬于第一類奇異邊界。相應的，判斷邊界類別的擴散指數(shù)αl(下標l表示左邊界)、漂移指數(shù)βl以及特征標值cl分別為:

當H→∞時，H應對應R的高次項，對式(19)求期望，可知:

把式(30)代入式(19)、式(20)，可知:

且知，在H→∞時，

下面討論參數(shù)對系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的影響，當cl＜1，即滿足時，左邊界H→∞是吸引自然邊界。說明當滿足式(26)時，左邊界吸引，右邊界排斥，系統(tǒng)的解曲線會在整個能量域上向左邊界，也就是能量趨向0靠近，所以此時系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，由此可知滿足條件(26)時，系統(tǒng)不但是局部穩(wěn)定而且是全局穩(wěn)定的。

圖2 特征標值變化對系統(tǒng)全局穩(wěn)定性影響示意圖Fig.2 The global stability conditions with the changing of the character value

可以發(fā)現(xiàn)該結論符合一般的常識，當系統(tǒng)的阻尼系數(shù)越大時，系統(tǒng)能量耗散越快，系統(tǒng)越趨向穩(wěn)定;當隨機干擾噪聲密度D越大，則系統(tǒng)的能量越不易控制。

相反，當cl＞1時，左右邊界都是排斥自然邊界，系統(tǒng)的解曲線會在整個能量域上往返，其具體的穩(wěn)態(tài)位置需要求解系統(tǒng)的FPK(Fokker-Planck-Kolmogorov)方程方可知。

3 系統(tǒng)的隨機分岔

當特征標值cl＞1時，系統(tǒng)在取某能量值處會出現(xiàn)最大的概率密度，對應的物理意義為系統(tǒng)在受隨機參數(shù)激勵時最有可能的能量大小。當參數(shù)變化時，系統(tǒng)能量的最大概率密度可能出現(xiàn)Hopf分岔［11]，對應的是系統(tǒng)出現(xiàn)類似確定性系統(tǒng)中“極限環(huán)”的現(xiàn)象，振蕩變得劇烈，系統(tǒng)可能被破壞。因此有必要通過研究系統(tǒng)的FPK方程，可得到出現(xiàn)Hopf分岔的條件。

系統(tǒng)(12)對應的FPK方程為:

其中f為穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)。

求解方程(30)，得到穩(wěn)態(tài)概率密度:

其中A為歸一化常數(shù)。

由于這里我們研究的系統(tǒng)能量應在平衡點附近，則考慮忽略式(19)、式(20)中的R4高階項。代入式(33)中后解得:

其中:

系統(tǒng)廣義位移與系統(tǒng)廣義動量的聯(lián)合平穩(wěn)概率密度表達式為:

則穩(wěn)態(tài)概率密度可改寫為:

穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù) f(H)=O(Hη)，且有 η=cl－αl。當滿足η＜－1時，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在H=0處是一個δ函數(shù);－1＜η＜0，則穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)f(H)是H=0處有最大值的減函數(shù);當η＞0時，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)f(H)在遠離H=0處有峰值。這意味著，在η=－1時發(fā)生隨機D－分岔(動態(tài)分岔，意義類似于確定性系統(tǒng)分岔);在η=0時會發(fā)生隨機P－分岔(唯像分岔，概率密度函數(shù)的形狀變化)，這兩次分岔構成了隨機Hopf分岔。

下面著重討論η=0處的隨機P－分岔，給定參數(shù)條件下的系統(tǒng)平穩(wěn)概率密度f(H)和系統(tǒng)響應聯(lián)合概率密度 f(q1，q2，p1，p2)隨參數(shù)變化的數(shù)值結果。

由于參數(shù)眾多，本文選取對控制系統(tǒng)全局穩(wěn)定性有重要意義的無量綱阻尼系數(shù)μ為分岔控制參數(shù)。設其它的無量綱參數(shù)為:

從圖3到圖6的數(shù)值模擬可知，當阻尼系數(shù)增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的圖形形狀發(fā)生了變化。穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的峰值的位置表示發(fā)生分岔的對應系統(tǒng)廣義能量值，峰值的高度代表概率密度的大小。尤其在阻尼參數(shù)取值在使η＞0后，根據(jù)圖5和圖6的比較可看出，此時系統(tǒng)發(fā)生分岔的能量不在能量H=0處，且隨阻尼參數(shù)減小，η變大，系統(tǒng)發(fā)生分岔的概率最大對應的能量值H也變大，對應的峰值降低。

下面對系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)做數(shù)值模擬。由于系統(tǒng) Hamilton函數(shù)的變量是 q1，q2，p1，p2四個，根據(jù)式(36)得出的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的圖形是5維的，不利于顯示。所以可以先固定(q2，p2)的值，畫聯(lián)合概率密度函數(shù) f(q1，p1)，設 q2，p2=0.2，0.2，代入式(36)后作數(shù)值模擬。

隨機系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為與確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為是有明顯區(qū)別的，隨機系統(tǒng)由于受到隨機因素的作用，系統(tǒng)發(fā)生分岔是以概率形式來反映的。一方面，即使?jié)M足一定的分岔條件，分岔也并不是一定會發(fā)生，發(fā)生分岔的概率反映了發(fā)生分岔的可能性的大小，可見隨機系統(tǒng)的復雜性，因此無法做出對隨機分岔的準確的預測;另一方面，系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時，發(fā)生分岔的概率大小也會發(fā)生相應的變化，可以通過調節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，盡量降低分岔發(fā)生的概率。

通過具體分析，得到了影響系統(tǒng)性態(tài)的分岔參數(shù)μ，分析了分岔參數(shù)取值對隨機Hopf分岔的影響。根據(jù)研究經(jīng)驗，在穩(wěn)態(tài)概率密度出現(xiàn)火山口時即可判定發(fā)生隨機Hopf分岔，隨機Hopf分岔的產(chǎn)生會導致系統(tǒng)發(fā)生類似確定性系統(tǒng)“自激振動”的現(xiàn)象，從而造成系統(tǒng)損壞，為了避免Hopf分岔的產(chǎn)生可通過調節(jié)分岔參數(shù)使其值遠離分岔值，即可降低發(fā)生分岔的危險。

4 結論

本文的主要工作為，首先建立了四邊簡支矩形薄板的受面內隨機激勵的隨機動力學模型，然后用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機平均法將表示系統(tǒng)能量(Hamilton函數(shù))的變化過程簡化為一個一維擴散過程。最后利用奇異邊界理論和隨機分岔理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔情況。可得出如下結論:

(1)對系統(tǒng)的邊界分析得出，當系統(tǒng)的阻尼系數(shù)大于一個定值時，左邊界吸引右邊界排斥，所以系統(tǒng)一定以概率1穩(wěn)定;當系統(tǒng)的阻尼系數(shù)小于一個定值時，左邊界排斥，右邊界也排斥，系統(tǒng)的解曲線會在能量域上往返。

(2)通過求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，得出了系統(tǒng)發(fā)生隨機D－分岔的條件即為系統(tǒng)全局穩(wěn)定的條件。并通過數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)發(fā)生隨機P－分岔的條件與現(xiàn)象。

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