一類耦合非線性扭振動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制

劉浩然，朱占龍，時培明，侯東曉

(1.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004)

非線性廣泛存在于實際的物理系統(tǒng)中，如旋轉(zhuǎn)軸系的轉(zhuǎn)動［1，2]、高應(yīng)力下巖石的強(qiáng)度特性［3]、汽車的懸架系統(tǒng)［4]、橋梁斜拉索［5]等均存在非線性。在非線性振動學(xué)科中，人們對單自由度非線性系統(tǒng)及其多自由度非線性系統(tǒng)的研究都取得了較大進(jìn)展［6－8]。隨著航空航天、城市建設(shè)和其它工程實際的需要，對多自由度非線性系統(tǒng)振動的研究顯得尤為重要。文獻(xiàn)［9] 研究了具有間隙的多自由度系統(tǒng)的周期運(yùn)動及其穩(wěn)定性的分析方法。文獻(xiàn)［10] 在考慮傳動系統(tǒng)連續(xù)分布質(zhì)量的基礎(chǔ)上，建立了旋轉(zhuǎn)機(jī)械傳動系統(tǒng)的連續(xù)動力學(xué)模型并得到了系統(tǒng)的固有頻率。文獻(xiàn)［11] 建立了具有非線性的三圓盤扭振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用平均法求得了系統(tǒng)滿足3:1型內(nèi)共振的解并分析了解的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［12] 研究了斜拉橋拉索－橋面－橋塔的三自由度耦合振動模型及其1∶2∶1內(nèi)共振問題。文獻(xiàn)［13] 從結(jié)構(gòu)的能量平衡方程出發(fā)，對多自由度結(jié)構(gòu)受迫振動中的能量響應(yīng)特性和能量共振進(jìn)行了分析。

但是，以往的研究工作多限于對多自由度非線性系統(tǒng)的建模、求解以及穩(wěn)定性分析，對多自由度的非線性系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性控制的研究甚少，并且由于耦合作用廣泛存在于實際的物理系統(tǒng)中［14－16]，因此研究對含耦合項多自由度的非線性系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性控制有著更為現(xiàn)實的意義。本文基于耗散項的廣義Lagrange原理建立一類三質(zhì)量含三次非線性耦合項的扭振系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程并加以時滯反饋控制。運(yùn)用多尺度法對含時滯的動力方程進(jìn)行求解，得到方程在主共振和1∶1內(nèi)共振情形下的平衡解。應(yīng)用Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)得到耦合時滯系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分必要條件，并用數(shù)值模擬的方法驗證了時滯參數(shù)對扭振系統(tǒng)穩(wěn)定有顯著的控制效果。

1 三質(zhì)量扭振系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1是一個三質(zhì)量扭振系統(tǒng)力學(xué)模型，設(shè)Ji(i=1，2，3)為扭振系統(tǒng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量，φi(i=1，2，3)，(i=1，2，3)分別為三個集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速。

系統(tǒng)動能為:

圖1 三質(zhì)量扭振系統(tǒng)力學(xué)模型圖Fig.1 The torsional vibration system model with three degree of freedom

系統(tǒng)勢能為:

廣義力矩為:

其中:K12，K23為系統(tǒng)線性扭轉(zhuǎn)剛度，2，3)，F(xiàn)i為廣義外力為系統(tǒng)廣義阻尼力，qj(j=1，2，3)為廣義坐標(biāo)。則可以表示為:

其中:C12為線性阻尼系數(shù)為非線性阻尼力函數(shù)。

于是:

將式(1)、式(2)、式(3)和式(5)代入含耗散項的廣義Lagrange方程:

得到:

考慮相對轉(zhuǎn)角的變化，式(7)乘以1/J1減去式(8)乘以1/J2和式(8)乘以1/J2減去式(9)乘以1/J3，得到:

式(12)和式(13)是一類含有三次非線性阻尼力和外激勵作用下耦合扭振系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程。通過在外激勵端引入時滯反饋控制項可有效地控制耦合系統(tǒng)的動力學(xué)行為，同時令外激勵項T1=f1cos(Ω1t)，T2=f2cos(Ω2t)，則含時滯反饋控制的扭振動力系統(tǒng)為:

式(14)和式(15)是時滯反饋?zhàn)饔孟乱活愸詈戏蔷€性扭振系統(tǒng)的動力學(xué)方程。其中，τ1和τ2為時滯量，g1和g2為增益系數(shù)，g1和g2大于零時為正反饋，g1和g2小于零時為負(fù)反饋。

2 含時滯反饋動力系統(tǒng)攝動分析

應(yīng)用多尺度法求解耦合扭振系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，引入新變量:

其中ε為小參數(shù)，此時關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可表示為:

其中 Dn表示 ?/?Tn，n=0，1，…，此時式(14)和式(15)的解可以表示為:

將式(17)～式(20)代入式(14)和式(15)，比較方程兩邊ε的同次冪系數(shù)，整理得:

考慮主共振和1∶1內(nèi)共振情形，令Ω1=0，f1=0，ω2與Ω2的差別為ε的同階小量，同時ω2與ω1的差別也為ε的同階小量，即:

其中σ1和σ2為調(diào)諧參數(shù)，σ1表示內(nèi)共振偏差值，σ2表示外共振偏差值。將式(25)和式(26)代入式(23)和式(24)，消除久期項得:

其中，θ1=φ2－φ1－σ1T1，θ2=σ2T1－φ2。

3 Routh-Hurwitz判據(jù)下耦合扭振系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

其中:p1=r1cos(θ1+ θ2)，q1=r1sin(θ1+ θ2)，p2=r2cos θ2，q2=r2sin θ2。

耦合系統(tǒng)(35)～(38)的平衡點(diǎn)通過適當(dāng)?shù)木€性變換可轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，因此研究系統(tǒng)平衡點(diǎn)在原點(diǎn)處的動力學(xué)特性具有普遍意義。在原點(diǎn)處對其進(jìn)行線性化，得到系統(tǒng)的Jacobian行列式:

其中:

則此Jacobian行列式對應(yīng)的特征方程為:

其中:λ 表示行列式 A的特征值，k1，k2，k3，k4分別表示特征方程的系數(shù)。

應(yīng)用Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)判斷方程(40)的穩(wěn)定性，得到耦合系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

(1)特征方程式的各項系數(shù)全部為正值，即ki＞0(i=1，2，3，4)。

(2)主行列式及其主對角線上的各子行列式均大于零，即:

方程(14)、(15)的平衡解穩(wěn)定的充分和必要條件是特征方程(40)的所有特征根的實部都是負(fù)數(shù)。如果有一個特征根的實部為正數(shù)，則方程(14)、(15)的平衡解就是不穩(wěn)定的。下面通過某一算例具體說明。

4 算例分析

研究外激勵頻率等于耦合系統(tǒng)固有頻率(σ2=0)情況下，時滯反饋對扭振系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。為此，仿真計算選取參數(shù) σ1= －0.2，ω1=1，ω2=1.2，c1=0.1，c2=0.1，l1=0.2，l2=0.2，β =0.1，b1=0.1，b2=0.12，τ1=/2，τ2=/2，f=0.2。通過計算可以得到時滯參數(shù)g2與系統(tǒng)振幅r1、r2的關(guān)系及其系統(tǒng)穩(wěn)定范圍，如圖2所示。

本文算例中選取固定參數(shù)g1=0.1，通過改變參數(shù)g2的值來反映耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域。圖2中實線代表穩(wěn)定解，點(diǎn)劃線代表不穩(wěn)定解。耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性由 ki＞0(i=1，2，3，4)，Δ1＞0，Δ2＞0，Δ3＞0，Δ4＞0來確定，通過計算得出:系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界點(diǎn)為0.072 4、0.493 9，即參數(shù) g2在 (0.072 4，0.493 9)區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)振幅r1、r2由方程(35)～(38)求出:即從圖2可以看出:系統(tǒng)振幅r1隨時滯參數(shù)g2在一定范圍內(nèi)增大而減小，系統(tǒng)振幅r2隨時滯參數(shù)g2在一定范圍內(nèi)增大而增大。

為了與原耦合系統(tǒng)式(12)和式(13)在同樣系統(tǒng)參數(shù)下的穩(wěn)定性及其振幅大小進(jìn)行比對，同時驗證上述理論預(yù)測條件的正確性，我們選擇對圖2(a)預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行驗證。于是在(ⅰ)g1=g2=0;(ⅱ)g1=0.1，g2= －0.1;(ⅲ)g1=g2=0.1;(ⅳ)g1=0.1，g2=0.4四種情形下對耦合系統(tǒng)式(14)和式(15)進(jìn)行數(shù)值模擬，其初始條件取為:x1(0)=x3(0)=0.01，x2(0)=x4(0)=0，得到四種情形下系統(tǒng)的歷程圖與相圖，如圖3～圖6所示。

由圖3可以看出，當(dāng)(ⅰ)情形下參數(shù)g1=g2=0時，即非受控耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的非穩(wěn)現(xiàn)象;在(ⅱ)情形下即g1=0.1，g2= －0.1時在圖2(a)中參數(shù) g2所預(yù)測的非穩(wěn)區(qū)域在圖4中系統(tǒng)依然呈現(xiàn)出非穩(wěn)態(tài)勢，這與預(yù)測相符合;而通過選取(ⅲ)、(ⅳ)情形下兩組時滯參數(shù) g1=g2=0.1;g1=0.1，g2=0.4 對原系統(tǒng)進(jìn)行控制后，系統(tǒng)都趨于穩(wěn)定，這也與圖2(a)中的預(yù)測相符，如圖5、圖6所示。

另外，易見選取的后兩組時滯參數(shù)中即 (ⅲ)、(ⅳ)兩種情形下g1均為 0.1，g2分別選取為 0.1、0.4，且參數(shù) g2明顯處于 (0.072 4，0.493 9)范圍內(nèi)。從圖5、圖6看出兩組時滯參數(shù)下系統(tǒng)振幅依次為 0.49、0.37，呈遞減趨勢，耦合系統(tǒng)的振幅大小、變化趨勢及其穩(wěn)定性與上述預(yù)測(參見圖2(a))相符合。

圖5 參數(shù)g1=g2=0.1時滯系統(tǒng)數(shù)值解Fig.5 Numerical solutions of the time-delays system with g1=g2=0.1

圖6 參數(shù)g1=0.1，g2=0.4時滯系統(tǒng)數(shù)值解Fig.6 Numerical solutions of the time-delays system with parameters g1=0.1，g2=0.4

圖7 參數(shù)g1，g2聯(lián)合作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域Fig.7 Stable and unstable area under united effect of g1 and g2

上面是固定了時滯參數(shù)g1，考慮參數(shù)g2變化時系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為了全面分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，考慮二參數(shù)的聯(lián)合作用，給出二者聯(lián)合作用下的穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域，如圖7所示。

5 結(jié)論

應(yīng)用具有耗散項的廣義Lagrange方程建立了含三次耦合項的扭振系統(tǒng)時滯非線性動力系統(tǒng)的動力學(xué)方程。運(yùn)用多尺度法對含有耦合非線性時滯動力系統(tǒng)在主共振以及1∶1內(nèi)共振同時發(fā)生時進(jìn)行了求解，得到了系統(tǒng)的平衡解。通過應(yīng)用Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)判別耦合系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，并且通過數(shù)值模擬的方法驗證了預(yù)測條件的正確性。這說明時滯反饋控制在扭轉(zhuǎn)振動的穩(wěn)定性控制領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，也對工程中廣泛存在的耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制提供了理論依據(jù)。

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