不同頻率比時立管兩向渦激振動及疲勞分析

唐世振，黃維平，劉建軍，鄧 躍

(中國海洋大學 海洋工程山東省重點實驗室，山東 青島 266100)

渦激振動是造成深水立管疲勞損傷的一個重要因素，關于渦激振動的研究逐步完善。但是，前期渦激振動的研究主要針對立管橫向振動，結構在順流向的振動往往被限制。立管兩向自由度的振動較少見于文獻，這主要是因為前期的研究認為順流向振動的幅值相對較小，可以不考慮。

但是，Vandiver［1]首先發(fā)現順流向振動與橫向振動的軌跡呈現‘8’字圖，從而顯示了兩者之間的耦合作用，同樣的發(fā)現見文獻［2－8]。近期 Williamson［9－12]的一系列研究更加證明立管的兩向自由度運動具有重要的研究價值，兩向運動的考慮可以改變漩渦脫落的形式，尤其對于低質量比(結構密度/流體密度)的圓柱體結構。Wu和Moe［13]對質量比為7.0的彈性支撐圓柱體的兩向自由度振動進行實驗研究，流向和橫向的頻率比為2.18，所得到的最大橫向振幅為1.0，但沒有給出限制流向運動的結果，并且實驗研究發(fā)現兩者的頻率出現同步現象。Sarpkaya［14]對不同流向和橫向頻率比的圓柱體進行實驗，發(fā)現在頻率比1.0時，兩向自由度產生的最大橫向振幅比限制流向運動時高出19%，其中最大橫向振幅為1.1，但是沒有對疲勞進行分析。Pesce［15]通過實驗的方法研究頻率比為0.93時圓柱體的兩向自由度動力響應，認為當6.0＜約化速度(流體速度/(固有頻率·結構直徑))＜8.0時，考慮順流向振動時橫向響應幅值明顯增大。

鑒于已有的研究成果，本文對四種不同頻率比下的立管兩向自由度渦激振動動力和疲勞進行分析。不僅研究橫向振動幅值和疲勞的變化，同樣對流向振動的幅值和疲勞進行分析，給出一些有意義的結論。

1 數學模型

建立如圖1所示的立管模型，同時假設立管承受海流荷載，并且海流方向為x方向。立管兩端簡支。坐標的零點在海底。

對于長細比較大的頂張式立管，可忽略其剪切變形。因此，其橫向彎曲問題可采用Euler-Bernoulli梁的復雜彎曲理論。其運動方程為:

圖1 立管模型Fig.1 Riser model

式中:EI抗彎剛度;T有效張力，T=Ttw－piAi+poAo;Ttw為立管底部初始張力，pi為內部壓強，Ai為立管內層管面積，po，Ao為外部壓強及外層管面積。m為TTR單位長度質量，包括立管內部流體質量及附加質量;c為結構阻尼;x(z，t)是平面內的撓曲線(順流向);y(z，t)是出平面的撓曲線(橫向);fx(z，t)是平面內的外荷載，即渦泄引起的脈動拖曳力;fx(z，t)是出平面的外荷載，即渦激升力;z是水深坐標;w是立管單位長度的濕重。

式(1)是順流向TTR運動微分方程，式(2)是橫流向TTR運動微分方程。

2 水動力荷載

2.1 橫向力模型

文獻［16] 提出考慮流固耦合的渦激升力計算模型:

式中:ω's是渦泄頻率St為Strouhal數，CL為升力系數，ρ為流體密度，D為立管直徑，u為流速為立管橫向振動速度;

同時當考慮流固耦合的作用時，流體在橫向將產生非線性阻尼力和慣性力，它們可以用Morison公式表示為:

由此得到橫向力模型如下:

其中:CD為拖曳力系數，Cm為附加質量系數，本文取CL=0.4 ～0.9，CD=0.6 ～2.0，Cm=1.0為立管橫向振動加速度。

2.2 順流向力模型

同時考慮流固耦合和非線性阻尼力的影響，得到如下順流向力的表達式:

其中:CL'為順流向渦激升力系數，依據Hallam(1987)等實驗數據，取C'L=0.05－0.1為順流向振動速度，為順流向振動加速度，其它參數同上。

2.3 數值分析

將公式(5)和(6)計算得到的力模型分別代入公式(1)和(2)，采用Newmark-β法的增量形式進行動力響應分析。

系統(tǒng)的增量運動方程可表示為:

其中:ti為數值計算的第i個時間步長，{Δfx}ti和{Δfy}ti分別為ti時刻順流向和橫向的荷載增量。

在每一個時間步長計算過程中，假設結構的質量矩陣、剛度矩陣為小變化，可以忽略不計。每個時間步長變化的僅為荷載向量。在初始時刻假設順流向振動速度、加速度以及橫向振動速度、加速度的值都為零，即:

由Newmark-β法的增量方程計算下一步的加速度、位移和速度增量，繼而通過公式(5)和(6)以及荷載的增量形式得到荷載的增量，以此計算位移、速度和加速度響應。

2.4 疲勞分析

計算疲勞的方法有很多種，本文采用雨流計數法計算應力時程的載荷譜曲線，從而利用Miner損傷累積理論計算立管的疲勞。

Miner線性損傷累積原理:

其中:Ddamge表示立管的疲勞損傷，ni是設計壽命下對應于第i個應力循環(huán)幅值下的循環(huán)次數，Ni為第i個應力循環(huán)幅值下疲勞失效的總次數?？捎扇缦耂－N曲線得到:

其中:N表示應力循環(huán)幅值下發(fā)生疲勞失效的次數，mm和K是依據材料試驗得到的材料常數，本例中取mm=3.5，K=4.23e+13。

3 算例分析

基于本文提出的頂張式立管渦激振動方程(1)～(2)和渦激升力模型(5)～(6)式，開發(fā)用于頂張式立管渦激振動分析的程序RIWAV，其中的疲勞損傷分析模塊采用雨流計數法。并將該程序的計算結果與商業(yè)渦激振動分析軟件Shear7的計算結果進行比較。

計算模型見圖1。表1給出立管的性能參數。計算工況包括兩種不同流速下立管的動力響應分析，給出無量綱的響應幅值A/D(其中A為橫向振動響應幅值)的均方根曲線和疲勞曲線。工況一:均勻流荷載，流速0.1 m/s;工況二:均勻流荷載，流速0.21 m/s。兩種工況下，邊界條件都為兩端簡支。每種工況給定的水動力系數初始值如下:CL=0.4，CD=0.7，Cm=1.0，C'L=0.1。圖2和圖3分別給出兩種工況下模型計算的橫向振動幅值的均方根曲線與Shear7計算結果的比較，吻合較好。圖4為第二種工況下，橫向振動疲勞損傷沿立管長度變化的曲線與Shear7計算結果的比較，雖然存在一定的誤差但是整體分布相同，疲勞峰值出現的位置基本一致并且模型結果趨于保守。誤差的產生一是由于模型疲勞計算采用時域的線性累加原則，Shear7采用的為頻域方法;二是由于，模型計算時考慮的為立管的兩向自由度運動，而Shear7僅為橫向振動。確切的原因有待進一步探討。

表1 立管性能參數Tab.1 Parameters of riser

4 結果與討論

4.1 動力響應

圖5顯示考慮不同頻率比情況下，橫向振動幅值受兩向自由度的影響。在頻率比為0.5時，當Ur(約化速度)＜6.3時，兩向自由度時橫向振動幅值具有明顯的下降趨勢;而當6.3＜Ur＜8.0時，兩向自由度時橫向振動幅值明顯增大;當8.0＜Ur＜10.0時，橫向振動幅值幾乎不受順流向振動的影響。這說明，當頻率比為0.5時，約化速度較低時順流向振動對橫向振動起到一定的抑制作用;而在一定的約化速度范圍內(6.3＜Ur＜8.0鎖頻狀態(tài))，順流向振動使得橫向的振動明顯加劇。在頻率比為1.0時，順流向振動對橫向振動的影響沒有太大的變化，只是橫向振動幅值的峰值鎖定在6.3＜Ur＜8.0范圍內，這個結論同文獻［15] 的結論大致相同。文獻通過實驗方法研究頻率比為0.93時的兩向自由度運動。認為在6.0＜Ur＜8.0時，限制順流向振動使得橫向振動幅值變小，表明在此流速范圍內，兩向自由度情況下橫向振動的幅值具有明顯地增加，這個結論從實驗方面驗證本文數值模型的正確性。當頻率比為0.5和1.0時，低約化速度條件下順流向振動對橫向振動起到抑制作用的主要原因是由于此時順流向振動處于較為劇烈的狀態(tài)，并且有可能發(fā)生順流向振動的“鎖頻”現象。隨著頻率比的增加，順流向振動對橫向振動的影響逐漸減弱。尤其是當頻率比為2.0時，橫向振動的最大幅值幾乎沒有變化，但是峰值出現在較高的約化速度下(Ur=9.12)。(說明，圖中的CF代表橫向渦激振動，IL代表順流向，one-dof代表單自由度，two-dof代表兩向自由度，frequency ratio代表頻率比)。

圖6顯示在不同頻率比時，限制橫向振動和兩向自由度時順流向振動幅值的變化曲線。在四種不同的頻率比情況下，均可以明顯看到橫向振動對順流向振動具有顯著的影響。當頻率比為0.5時，單自由度時順流向振動幅值的峰值為0.12(Ur=3.52)左右，其余約化速度下的振動幅值非常小，相對于橫向振動幅值來說可以忽略不計。但是，當考慮橫向振動時，順流向振動幅值在所有的約化速度范圍內都有較為明顯的增幅，峰值為 0.45(Ur=8.63)，相對于單自由度時的0.05，增幅達到9倍，這使得此時的順流向幅值(0.45)相對于橫向幅值(0.98)來說不可以忽略。在其余三種情況下，橫向振動同樣使得順流向幅值具有較大的增幅，并且鎖定在一定的約化速度范圍內(4.0＜Ur＜8.63)。盡管在這個約化速度范圍內，高頻率比時，順流向振動對橫向振動的影響不是特別明顯，但是橫向振動對順流向振動影響明顯。因此可以得到結論，無論在何種約化速度下立管的渦激振動都應該考慮兩向自由度而非單自由度運動。

4.2 疲勞分析

本節(jié)討論兩種不同頻率比情況下，立管的疲勞損傷變化。選擇頻率比1.0和2.0兩種情況，頻率比的選擇主要依據已有的試驗結果。圖7給出兩種頻率比下立管橫向最大疲勞曲線。當頻率比為1.0時，順流向振動在較寬的約化速度范圍內影響橫向振動疲勞，尤其在“鎖頻”范圍內。在頻率比為2.0時，順流向振動對橫向振動疲勞影響不是很明顯，略有增大。這種現象應該可以從順流向振動對橫向振動幅值的影響結果看出。圖8為順流向振動疲勞曲線。在兩種頻率情況下，橫向振動的考慮都將增大順流向振動疲勞。在頻率比為1.0時，單自由度情況下，在所有約化速度工況下，順流向振動的最大疲勞為1.54E－4，而此時橫向振動的疲勞最大值為0.9E－3，順流向疲勞僅為橫向疲勞的17%;在兩向自由度情況下，順流向振動的最大疲勞為6.87E －4，橫向振動的疲勞最大值為1.97E－3，順流向疲勞為橫向疲勞的34.9%，表明順流向振動疲勞在立管的疲勞損傷中占一定的比例。這種現象在頻率比為2.0時更加明顯。主要是由于在頻率比為2.0時，兩向自由度對順流向振動疲勞的影響遠遠大于對橫向振動疲勞的影響。可見，在工程實際應用中，考慮立管的兩向運動時應該選取更加保守的疲勞安全系數。

圖7 不同頻率比時，單自由度和兩向自由度時橫向振動疲勞曲線Fig.7 Fatigue damage in cross-flow direction with one-degree-of-freedom and two-degrees-of-freedom under different frequency ratios

圖8 不同頻率比時，單自由度和兩向自由度時順流向振動疲勞曲線Fig.8 Fatigue damage in in-line direction with one-degree-of-freedom and two-degrees-of-freedom under different frequency ratios

5 結論

考慮四種不同頻率比時，立管的兩向自由度運動的幅值和疲勞相對于單自由度情況的變化。研究認為:

兩向自由度對橫向振動幅值的影響在頻率比(0.5和1.0)較低的情況下尤為顯著。當6.3＜Ur＜8.0時，順流向振動的考慮明顯增大橫向振動的響應幅值;低約化速度時，順流向振動對橫向振動具有一定的抑制作用。隨著頻率比的增加，順流向振動對橫向振動的影響逐漸減弱。橫向振動對順流向振動的影響在四種情況下均較為明顯，振動幅值具有較大程度的增幅，從而使得順流向振動幅值在兩向運動時不可忽略。

低頻率比時，順流向振動在較寬的約化速度范圍內影響橫向振動疲勞損傷。尤其在“鎖頻”范圍內，橫向振動的疲勞損傷在考慮兩向自由度時增幅較大。當頻率比為2.0時，順流向振動對橫向振動疲勞影響不是很明顯，略有增大。而順流向振動疲勞隨著頻率的增加受橫向自由度的影響越來越明顯，最大疲勞可以達到橫向振動疲勞的34.9%。說明，在考慮兩向自由度運動時，立管的疲勞安全系數應該更加保守。

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