球面調(diào)和函數(shù)的空間表示及其應(yīng)用

高海峰， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

球面調(diào)和函數(shù)（Spherical Harmonics，簡(jiǎn)稱SH）也稱球面諧波函數(shù)，簡(jiǎn)稱球諧函數(shù)，是一種特殊函數(shù)，通常出現(xiàn)在物理問(wèn)題（如量子力學(xué)領(lǐng)域）［1］與化學(xué)問(wèn)題（如蛋白質(zhì)組織結(jié)構(gòu)領(lǐng)域）［2－3］中。很多函數(shù)可以近似分解為多個(gè)不同相位、不同頻率的正弦波，這是傅里葉變換所解決的問(wèn)題。類似地，將多個(gè)球面調(diào)和基函數(shù)疊加合成，也可以模擬很多復(fù)雜函數(shù)，高階的球諧函數(shù)可以還原非常復(fù)雜的函數(shù)，而低階的球諧函數(shù)比較適合還原低頻函數(shù)。球面調(diào)和基函數(shù)的一些特性，諸如旋轉(zhuǎn)不變性及正交規(guī)范性［4］，都是一些比較好的性質(zhì)，這也是使用球面調(diào)和基函數(shù)的重要目的之一。目前球面調(diào)和函數(shù)已廣泛應(yīng)用于圖形光照技術(shù)、人臉識(shí)別以及網(wǎng)格壓縮等相關(guān)領(lǐng)域。

1 球面調(diào)和函數(shù)及其空間結(jié)構(gòu)

球面調(diào)和函數(shù)是調(diào)和函數(shù)的一種，其構(gòu)成Laplace方程的解。球坐標(biāo)系下的Laplace方程形式為：

且θ、φ滿足方程：

則由方程（2）可解出：

這樣，球面調(diào)和函數(shù)系組成了球面上的一組完備的單位正交基。

球坐標(biāo)系下幾個(gè)低階球面調(diào)和基的表達(dá)式見表1所列。

應(yīng)用球坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式：

為擺脫SH函數(shù)上述復(fù)雜的表達(dá)式形式，使人更容易理解SH函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可將（θ，φ）的幾個(gè)低階SH基的空間結(jié)構(gòu)直觀形象地展現(xiàn)出來(lái)。

圖1描述了一組SH基函數(shù)在球坐標(biāo)系下的的實(shí)際圖像，且由（4）式可驗(yàn)證（θ，φ）的圖像可由（θ，φ）的圖像按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°／m 得到。

表1 低階SH的球坐標(biāo)表達(dá)式

表2 低階SH的笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)式（通常情況下r＝1）

圖2所示將SH函數(shù)限制在單位球的范圍內(nèi)， 以顏色值代替距離值的SH函數(shù)圖像（球面上的點(diǎn)為紅色，其余點(diǎn)均以色帶上連續(xù)的顏色值表示）。

圖1 球坐標(biāo)系下的SH基圖像（m為正數(shù)）

圖2 用顏色空間表達(dá)的SH基函數(shù)圖像（m為正數(shù)）

且根據(jù)球面調(diào)和函數(shù)的正交性，可以按如下方式計(jì)算f（θ，φ）的SH 系數(shù)fl，m：

2 在圖形光照系統(tǒng)中的應(yīng)用

如前所述，隨著對(duì)球面調(diào)和函數(shù)認(rèn)識(shí)的不斷加深，目前球面調(diào)和函數(shù)已普遍應(yīng)用于模式識(shí)別、網(wǎng)格壓縮及系統(tǒng)仿真等諸多領(lǐng)域，特別是在圖形圖像處理方面，有著典型的應(yīng)用［5－8］。

下文將利用球面調(diào)和基函數(shù)對(duì)特定場(chǎng)景中模型的光照環(huán)境進(jìn)行編碼，通過(guò)運(yùn)用相關(guān)技術(shù)的合集，將模型的渲染過(guò)程分割成離線預(yù)處理與在線實(shí)時(shí)計(jì)算2個(gè)過(guò)程。在離線預(yù)處理部分，把光照或遮擋反射等因素的影響投影到一組球面調(diào)和基上，并在在線處理部分，通過(guò)將積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)基系數(shù)的操作而得出每個(gè)結(jié)點(diǎn)的出射光強(qiáng)，可以很好地實(shí)時(shí)重現(xiàn)面積光源下模型的渲染效果。

2.1 光照模型與渲染方程

眾所周知，實(shí)際使用中最簡(jiǎn)單的光照模型即是漫反射模型，通常也被稱為點(diǎn)積光照模型。但漫反射模型不過(guò)是真實(shí)物理光照的簡(jiǎn)化，只有完全的模擬物理環(huán)境才能得到趨于真實(shí)的場(chǎng)景效果。先看如下公式，實(shí)際上是在半球上對(duì)光線方向位置的亮度函數(shù)進(jìn)行積分：

（9）式即稱作渲染方程，由James Kajiya于1986年提出［9］。由此可以看出影響真實(shí)場(chǎng)景中視覺系統(tǒng)復(fù)雜度的因素有以下幾種：局部的幾何因素由位置x隱含地確定；物質(zhì)的材料屬性由fr表示；入射光由L表示；遮擋效果可以由函數(shù)V確定；G表示相對(duì)位置關(guān)系。

2.2 蒙特卡洛積分法

現(xiàn)在來(lái)理解（9）式所示的物理方程，其實(shí)就是出射亮度等于入射亮度立體角微分在半球上的積分，但是解這個(gè)積分是比較難的。在實(shí)際中可以使用一個(gè)近似的積分解法，雖然不能得出精確結(jié)果，但卻能在效率和效果之間得到一個(gè)良好的平衡，它就是蒙特卡洛（Monte Carlo）積分法［10］，這個(gè)方法是以概率論為基礎(chǔ)的，它可以得到求解隨機(jī)函數(shù)的一個(gè)數(shù)值方法：

由（10）式可以看出，利用 Monte Carlo積分法求解積分，需要函數(shù)的大量隨機(jī)樣本，且每個(gè)樣本都應(yīng)具有相應(yīng)的概率。（10）式可以寫成包含權(quán)函數(shù)的項(xiàng)：

2.3 利用積分法投影球諧基

對(duì)于給定的可積函數(shù)空間，在一定的收斂條件下，可以將任意函數(shù)f（x）表示成f＝∑ciBi的形式，其中，｛Bi｝為正交規(guī)范基函數(shù)系?，F(xiàn)將正交規(guī)范基函數(shù)系｛Bi｝代以球面調(diào)和基函數(shù)系｛yml｝，且將球面調(diào)和基及系數(shù)寫成單個(gè)索引k的形式，可將函數(shù)f（x）參數(shù)化為方向變量的函數(shù)，這個(gè)過(guò)程稱為投影：

應(yīng)用Monte Carlo積分法，由投影操作得出的系數(shù)可以利用（11）式中的n個(gè)樣本近似，n越大，逼近效果越好，且每個(gè)樣本f（εj）對(duì)應(yīng)著一個(gè)方向εj，球諧基函數(shù)可由方向集εj（1≤j≤n）進(jìn)行采樣：

2.4 利用球諧函數(shù)重建信號(hào)

一個(gè)原始信號(hào)，可以經(jīng)過(guò)投影過(guò)程，分解為一系列帶縮放基函數(shù)之和，要利用這些基函數(shù)來(lái)重建原始信號(hào)，則是將經(jīng)相應(yīng)系數(shù)縮放后的所有基函數(shù)求和即可。

當(dāng)然有很多種基函數(shù)可以用來(lái)重建信號(hào)，比如正弦信號(hào)（傅立葉級(jí)數(shù)）等。但現(xiàn)在感興趣的是之前討論的球面調(diào)和基函數(shù)，將事先計(jì)算的卷積值（12）式與對(duì)應(yīng)球諧函數(shù)相乘并求和，所得出的結(jié)果即為近似的原始信號(hào)：

由（14）式可知，一個(gè)n階球諧近似，需要n2個(gè)系數(shù)。理論上需要無(wú)窮項(xiàng)的球諧基函數(shù)，才能完美重建原始信號(hào)，這里只取有限的低頻諧函數(shù)，而將高頻函數(shù)忽略掉，雖然重建的信號(hào)會(huì)丟失掉一些高頻信號(hào)（即亮度信號(hào)的細(xì)節(jié)變化），但卻可以耗用較少的資源來(lái)模擬原始的信號(hào)。

2.5 預(yù)計(jì)算光輻射傳遞技術(shù)

預(yù)計(jì)算光輻射傳遞（Precomputed Radiance Transfer，簡(jiǎn)稱PRT）技術(shù)［11］是基于以下2點(diǎn)重要假設(shè)而提出的：所有場(chǎng)景中的物體均為不發(fā)光物體且光源假設(shè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。因而方程（9）中的直接光照項(xiàng)L0可以寫成：

可將方程（15）中的函數(shù)fr、V 及G整合成一個(gè)新的函數(shù)T，稱為傳遞方程：

設(shè)方程（16）中的亮度函數(shù)及傳遞函數(shù)均被投影到同一族正交規(guī)范基函數(shù)系｛Bk｝，這樣，原始信號(hào)可以近似地表示為：

且有：

將近似的亮度函數(shù)（17）代入方程（18）可得：

注意到上述積分為線性操作，即積分的和等于和的積分，（19）式亦可寫成：

對(duì)于上述和式的第k項(xiàng)，相關(guān)的照明系數(shù)將被乘以整個(gè)區(qū)域上的積分，此積分代表了投影的過(guò)程。于是，和式的每一項(xiàng)將產(chǎn)生一個(gè)新的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)是將傳遞函數(shù)投影到特定的基函數(shù)（如球面調(diào)和基、Harr小波基等）上的結(jié)果，（20）式即為一般意義下的PRT方程。

3 應(yīng)用實(shí)例

結(jié)合有關(guān)球面調(diào)和函數(shù)的理論及上述所討論的相關(guān)技術(shù)的處理過(guò)程，可以得出特定場(chǎng)景中的模型最終渲染效果。模型的顯示效果由Visual Studio 2005開發(fā)環(huán)境實(shí)現(xiàn)，工程框架由Gamedev的Paul Baker提供，運(yùn)行環(huán)境為Intel Pentium1.73GHz、內(nèi)存為 1.0Gbytes RAM、顯卡為Intel 915GM／GMS，開發(fā)語(yǔ)言為標(biāo)準(zhǔn)C＋＋，圖形接口為OpenGL標(biāo)準(zhǔn)接口。本實(shí)例將對(duì)生成的球諧光照模型與普通光照模型作對(duì)比（可以應(yīng)用快捷鍵結(jié)合鼠標(biāo)移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景光照條件及光源位置），相關(guān)的處理效果如圖3～圖5所示。

圖3 模型在普通光照條件下的渲染效果

圖4 模型在SH光照條件下的渲染效果（無(wú)陰影）

圖5 模型在SH光照條件下的渲染效果（有陰影）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分別從幾種角度刻畫了低階實(shí)數(shù)域球面調(diào)和函數(shù)的空間結(jié)構(gòu)與主要特征，并將其相關(guān)性質(zhì)應(yīng)用于圖形光照系統(tǒng)的光傳輸過(guò)程中。

利用球面調(diào)和基函數(shù)來(lái)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的光照條件進(jìn)行編碼，隨后利用這些編碼恢復(fù)編碼前的光照環(huán)境，再利用特殊的積分方法計(jì)算點(diǎn)光強(qiáng)，便可實(shí)時(shí)重現(xiàn)面積光源下模型的渲染效果。

通過(guò)優(yōu)化相關(guān)算法的性能，就可以在問(wèn)題處理的效率和性能上得出一個(gè)良好的平衡。

此外，基于球面調(diào)和理論的相關(guān)算法及技術(shù)中，球面調(diào)和函數(shù)對(duì)原函數(shù)的壓縮和還原始終是作為核心思想進(jìn)行使用的，這就導(dǎo)致相關(guān)后續(xù)技術(shù)也因此受到球面調(diào)和理論所帶來(lái)的限制，它也許可以在某些情況下工作得很好，卻不一定能完全適用于普遍的情況。

所以，在實(shí)際應(yīng)用中，如何既能充分運(yùn)用基于球面調(diào)和理論的相關(guān)方法，又能夠采取一定手段規(guī)避球面調(diào)和函數(shù)本身的特性所帶來(lái)的局限，這是需要逐步解決的重要問(wèn)題，同時(shí)也為下一階段的工作提出了新的研究方向。

［1］Choi C H.Rapid and stable determination of rotation matrices between spherical harmonics by direct recursion［J］.J Chem Phys，1999，111（19）：8825－8831.

［2］Ivanic J，Ruedenberg K.Rotation matrices for real spherical harmonics：direct determination by recursion［J］.J Phys Chem A，1996，100：6342－6347.

［3］Ivanic J，Ruedenberg K.Additions and corrections：rotation matrices for real spherical harmonics［J］J Phys Chem A，1998，102（45）：9099－9100.

［4］Green R.Spherical harmonic lighting：the gritty details［C］／／Game Developers Conference，2003：1－47.

［5］Blanco M A，F(xiàn)lorez M，Bermejo M.Evaluation of the rotation matrices in the basis of real spherical harmonics［J］.J Molecular Structure Theochem，1997，419：19－27.

［6］Sloan P P，Kautz J，Snyder J.Precomputed radiance transfer for real－time rendering indynamic，low－frequency lighting environments［J］.ACM Transactions on Graphics，2002，21（3）：527－536.

［7］Sloan P P，Kautz J，Snyder J.Deformable precomputed radiance transfer［C］／／SIGGRAPH，2005：1－9.

［8］Sloan P P，Hall J，Hart J，et al.Clustered principal components for precomputed radiance transfer［C］／／SIGGRAPH，2003：1－10.

［9］Kajiya J T.The rendering equation［J］.Computer Graphics，1986，20（4）：143－150.

［10］Jun S L.Monte Carlo strategies in scientific computing［M］.Berlin：Springer－Verlag，2002：53－78.

［11］Marcos P，Berteli S.A gentle introduction to precomputed radiance transfer［J］.Rita，2006（2）：131－160.