如何挖掘題目中隱含的解題信息

李林書(shū)

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的公式產(chǎn)生過(guò)程、概念與性質(zhì)、題目的隱含條件、結(jié)構(gòu)形式、條件和結(jié)論關(guān)系、隱含數(shù)學(xué)思想、提示等方面挖掘解題信息，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；隱含信息；解題能力；教學(xué)效果

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2011）07-0045-03

數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很重要的任務(wù)就是解題思路的探究，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么，就意味著解題?！彼裕绾瓮诰蝾}目中隱含的解題信息是數(shù)學(xué)解題能力提高的關(guān)鍵。在解數(shù)學(xué)題時(shí)可以從數(shù)學(xué)題中的概念、性質(zhì)、公式、式子、圖形、符號(hào)和語(yǔ)義等所提供知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程以及結(jié)構(gòu)特征獲得信息。因此，教學(xué)時(shí)教師要教會(huì)學(xué)生善于捕捉和挖掘解題過(guò)程中隱藏起來(lái)的信息,讓學(xué)生認(rèn)真理解題意，正確的確定解題思路，提高解題速度和準(zhǔn)確率，從而達(dá)到提高課堂教學(xué)效果之目的。下面是我在教學(xué)中的幾點(diǎn)膚淺的體會(huì)。

一、從公式的產(chǎn)生過(guò)程中挖掘解題信息

有些題目用公式直接求雖然不難，但用知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程解題有時(shí)更直接、簡(jiǎn)單。如二項(xiàng)式定理

二、從概念和性質(zhì)中挖掘解題信息

可見(jiàn)題目信息與不同數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合 ，可能會(huì)形成多個(gè)解題方向 ，但抓住題目中的等腰形性質(zhì)解題，就得到題目的最優(yōu)解法。

三、從題目的隱含條件中挖掘解題信息

數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件很多不是直接給出而是隱含其中，解題能力的強(qiáng)弱往往體現(xiàn)在學(xué)生能否從顯性條件中觀察發(fā)現(xiàn)隱性條件，從而找到解決問(wèn)題的最佳方法。如果學(xué)生不注意觀察分析，常常會(huì)思維受阻。

題目3.（2008年全國(guó)文22、理21）

該思路考查學(xué)生的綜合能力，如果學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)較弱，本思路就不好想出來(lái)。

思路三:

（1）若挖掘題目中隱含的信息，雙曲線的漸近線是關(guān)于y軸對(duì)稱的，l1上的B點(diǎn)關(guān)于y的對(duì)稱點(diǎn)B′在l1上，且B、O、B′三點(diǎn)都在l2上，問(wèn)題很容易解決了。

可見(jiàn)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果能夠深入觀察、挖掘出解決問(wèn)題起關(guān)鍵作用的隱含條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑔?wèn)題將迎刃而解。所以教師在平時(shí)教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生用積累的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去挖掘題目中隱含的條件，幫助學(xué)生盡快確定正確的解題思路，避免做題時(shí)走彎路浪費(fèi)時(shí)間。

四、從題目的結(jié)構(gòu)形式挖掘解題信息

好多的數(shù)學(xué)公式都具有對(duì)稱美，字母之間是和諧對(duì)稱的，如正弦定理和余弦定理。如果能挖掘這些定理的結(jié)構(gòu)特征就可以幫助迅速確定解題方向。

題目4.（2009年全國(guó)高考17題）

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c已知a2-c2=2b且sinAcosC=3cosAsinC，求b。

由已知條件a2-c2=2b可知，式子中的字母不具有對(duì)稱性，根據(jù)余弦公式中字母的對(duì)稱特點(diǎn)可知化角不容易，因此想到把這個(gè)sinAcosC=3cosAsinC式子中的角化為邊是最佳解題思路。

五、從題目的條件和結(jié)論關(guān)系中挖掘解題信息

學(xué)生在做題前教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察和審題，挖掘題目的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，確定解題思路。

六、從題目隱含的數(shù)學(xué)思想中挖掘解題信息

有些數(shù)學(xué)題目蘊(yùn)含著許多重要的數(shù)學(xué)思想（方法），教師在引導(dǎo)學(xué)生探究習(xí)題解法時(shí)，要教給學(xué)生如何提煉出這些東西，并加以總結(jié)，再將其用于解決一些習(xí)題中。這樣學(xué)生就會(huì)學(xué)會(huì)運(yùn)用出題人的思想進(jìn)行探究性的學(xué)習(xí)。學(xué)會(huì)自己主動(dòng)的探究獨(dú)立性地進(jìn)行思考尋覓，從而真正地把握這種數(shù)學(xué)思想。

題目6.（2009年全國(guó)（理21文22題））如圖，已知拋物線E∶y2=x與圓M∶（x-4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（1）求r的取值范圍；（2）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。

兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們組成的方程組有實(shí)數(shù)解?？梢?jiàn)，求曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題。本題根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，拋物線和圓有四個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)正根的充要條件問(wèn)題。體現(xiàn)了圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理的轉(zhuǎn)化思想。

七、從習(xí)題的提示挖掘解題信息

新教材的許多習(xí)題后面都有一些提示，這些提示不僅對(duì)解決本題有直接的幫助，而且還暗示幫助學(xué)生會(huì)解決類似的題目，如課本復(fù)習(xí)參考題A組第13題：用二項(xiàng)定理證明5555+9能被8整除。（5555+9=（56-1）55+9）這個(gè)提示表明，解決這種整除性問(wèn)題，即化為含有除數(shù)（式）作為因數(shù)（式）解決。

可見(jiàn)，學(xué)生挖掘習(xí)題解題信息的能力是一個(gè)綜合能力提高的過(guò)程。它不僅需要學(xué)生具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，深刻透徹理解概念，熟練掌握公式產(chǎn)生過(guò)程，而且需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，這樣不斷總結(jié)相同題目的解題思路，歸納不同題目的解題特點(diǎn)，進(jìn)行一題多解，多題一解。這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生認(rèn)真審題，挖掘題目隱含的有用信息，作用于記憶系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) ，提取相關(guān)的知識(shí) ，推動(dòng)題目信息的延伸 ，確定某個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系 ，從而形成一個(gè)解題的行動(dòng)序列，如果教師能長(zhǎng)期的這樣訓(xùn)練學(xué)生，不僅能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力，而且可提高課堂的教學(xué)效果。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文