穩(wěn)健時序分析在建筑物沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

張 瑞 李全海

0 引言

隨著社會的不斷進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)建設(shè)的飛速發(fā)展，城市中大規(guī)模興建了各類建筑物、構(gòu)筑物，尤其是大量的高層建筑群。各種建筑物的興建，對建筑物的地基增加了一定的荷載，造成地基的變形，這會對建筑物的工作性態(tài)產(chǎn)生一定的影響。沉降監(jiān)測已成為掌握大型建筑物工作性態(tài)的基本手段，沉降監(jiān)測技術(shù)的引入對工程的設(shè)計和施工的安全穩(wěn)定起到了不可或缺的作用，而發(fā)揮監(jiān)測作用的核心工作是對動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理。因此，探求動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的方法一直引起人們的極大關(guān)注［1］。

時序分析方法所研究的是一系列隨時間變化而又相關(guān)聯(lián)的動態(tài)數(shù)據(jù)序列，通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找出反映事物隨時間的變化規(guī)律，從而對數(shù)據(jù)的變化趨勢做出正確的分析和預(yù)報［2］。由于異常值干擾，勢必對監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析結(jié)果造成誤差。為此本文提出基于穩(wěn)健估計的自回歸建模方法，利用實測數(shù)據(jù)分析和對比兩種方法。

1 平穩(wěn)序列模型

在實際觀測的數(shù)據(jù)中，觀測數(shù)據(jù)由某種趨勢變化的部分和其他周期變化的部分組成，這時可采用時間序列的分解式表示［3］:

其中，St為變形觀測量序列;μt為趨勢項和周期項;xt為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程。式(1)可通過去除趨勢項和周期項部分將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時間序列。

本文使用差分的方法剔除趨勢項部分，從而平穩(wěn)化觀測的時間數(shù)據(jù)序列。

對平穩(wěn)的時間序列{xt}建立以下方程［4］:

方程(2)稱為自回歸滑動平均模型，簡稱ARMA(n，m)模型。其中，n，m分別為模型的自回歸階數(shù)和滑動平均階數(shù);φ1，φ2，…，φn均為自回歸系數(shù);θ1，θ2，…，θm均為滑動平均系數(shù);αt為白噪聲序列。

如果引入延遲算子B，即Bxt=xt－1，則式(2)可簡寫成:

其中，φ(B)，θ(B)分別為自回歸和滑動平均多項式。當(dāng)ARMA(n，m)模型中的m=0時，θ(B)=1，則可推出n階的自回歸模型，簡稱AR(n):

當(dāng)ARMA(n，m)模型中的m=0時，φ(B)=1，則可推出m階的自回歸模型，簡稱MA(m):

以上三種平穩(wěn)時間序列模型分別反映了不同時間序列內(nèi)在的聯(lián)系。但考慮到自回歸模型的建模與分析遠(yuǎn)比另外兩種模型簡單，通常采用高階自回歸模型近似其他兩種模型。

2 穩(wěn)健時序分析方法

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時，最小二乘估計是無偏、有效的。但測量數(shù)據(jù)受誤差干擾是難免的，統(tǒng)計學(xué)家根據(jù)大量數(shù)據(jù)指出在生產(chǎn)實際和科學(xué)實驗中，粗差的出現(xiàn)約占1%～10%［5］。面對具有粗差的樣本數(shù)據(jù)，最小二乘估計具有一定的負(fù)面影響。

穩(wěn)健估計具有抵抗異常值作用的能力，它利用各種動態(tài)權(quán)，抵御或降低粗差對結(jié)果的影響，減少污染機(jī)會，提高穩(wěn)定性和估值精度。因此，將穩(wěn)健估計應(yīng)用于時間序列建模，有望能夠提高建模的精度及可靠性。

基于上述思想和觀測數(shù)據(jù)一般含有異常值的事實，本文提出了基于穩(wěn)健估計的AR模型分析方法。

2.1 穩(wěn)健AR模型

目前，應(yīng)用最為廣泛的穩(wěn)健估計是選權(quán)迭代法，權(quán)函數(shù)選取有各種不同的形式。本文選擇常用的Huber權(quán)函數(shù)，設(shè)平穩(wěn)序列{xt}的樣本觀測值為(x1，x2，…，xN)，再結(jié)合自回歸模型式(4)，便可導(dǎo)出基于Huber權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健AR(n)模型［6］:

式(6)的基本思想是:從最小二乘進(jìn)行平差，得到第一組殘差，在每次平差后，根據(jù)其殘差與2δ的比較，計算出下次迭代中觀測值相應(yīng)的權(quán)。而含粗差觀測值的權(quán)將越來越小，直至趨近于零。迭代中止時，相應(yīng)的殘差將直接指出粗差的值，而平差的結(jié)果也將不受粗差的影響，從而實現(xiàn)粗差的定位剔除。

2.2 參數(shù)估計與適用性檢驗

對于常規(guī)的時間序列模型的參數(shù)估計，一般是利用最優(yōu)無偏的最小二乘估計。對于自回歸模型R(n)來說，穩(wěn)健最小二乘估計的迭代計算式是:

其中，k為迭代次數(shù)，每次迭代的權(quán)函數(shù)不同。當(dāng)參數(shù)估計量的相鄰兩次迭代值相差微小時停止迭代。

為了判定當(dāng)模型的階數(shù)改變時，相鄰階次對應(yīng)的殘差平方和S(p)的變化是否顯著，可以通過F檢驗法判定。對于AR(p)模型的定階的F檢驗準(zhǔn)則是:

其中，Q0為AR(n+1)模型的殘差平方和;Q1為AR(n)模型的殘差平方和;N為樣本的長度;n為檢驗的階數(shù)。給定顯著水平α，查表得Fα。若F≤Fα，則表示模型的階次是合適的(F檢驗不顯著);若F＞Fα，則表示模型的階次是不合適的(F檢驗顯著)增加階次。

2.3 預(yù)報與誤差分析

經(jīng)過上述模型的識別，參數(shù)的估計以及定階以后，就可以獲得一個合適的AR(n)模型。根據(jù)過去和現(xiàn)在的觀測值，即可對未來可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值預(yù)報。對時間序列xt所建立的n階的自回歸模型AR(n):

為預(yù)報t+l(l=1，2…)期的沉降觀測情況，可利用預(yù)報方程［6］:

其中，l，n分別為預(yù)報的步數(shù)和模型的階次。

其中，xi， 分別為實測值與預(yù)報值。預(yù)報中誤差是式中的xi和 分別表示實測值與預(yù)報值。

預(yù)報中誤差是衡量預(yù)報結(jié)果偏離實際的指標(biāo)，該值越大說明預(yù)報誤差越大。

3 實例分析

為驗證穩(wěn)健時序分析方法的可行性，利用某大型倉庫兩個沉降監(jiān)測點(稱為 A 點和 B 點)連續(xù)觀測(2006.9.10 ～2008.1.4)的42期數(shù)據(jù)進(jìn)行實例分析。該倉庫共布設(shè)了10個沉降監(jiān)測點，其中以所選的A，B兩點的差異沉降量最大，傾斜率為7‰，超過了相關(guān)部門的規(guī)定。利用時間序列的方法對A，B兩點的差異沉降量進(jìn)行分析建模和預(yù)報。

將兩測點各期的沉降量相減，獲得差異沉降量序列，由于觀測序列非等時間間距，通過差值預(yù)處理，獲得40期等時間間距的時間序列數(shù)據(jù)，見表1。

表1 A，B兩點差異沉降兩數(shù)據(jù)(40期) mm

設(shè)計方案:取兩點差異沉降量的前35期數(shù)據(jù)，利用式(4)和式(6)分別建立常規(guī)的AR模型和穩(wěn)健AR模型，其余5組數(shù)據(jù)用于預(yù)報分析的比較。常規(guī)的AR模型采用最小二乘參數(shù)估計，穩(wěn)健模型采用式(8)進(jìn)行參數(shù)估計，兩種方法均采用式(9)進(jìn)行適用性檢驗。

利用上述方案，求得兩點差異沉降量的常規(guī)AR模型和穩(wěn)健AR模型分別為:

利用式(12)和式(14)中建立的模型，對兩點差異沉降量進(jìn)行5步預(yù)報，并與36期～42期數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

表2 設(shè)計方案中兩種模型前三步預(yù)報與實測值對比 mm

表2給出了預(yù)報值與實測值之間前3步預(yù)報的對比。

圖1 監(jiān)測序列及設(shè)計方案中一步預(yù)報序列比較

圖1是根據(jù)設(shè)計方案分別顯示了實測序列和兩種時序模型的一步預(yù)報序列的變化情況。

為進(jìn)一步區(qū)分常規(guī)與穩(wěn)健AR建模，利用式(12)和式(13)可得本文設(shè)計方案中兩個監(jiān)測點的常規(guī)及穩(wěn)健AR模型的五步預(yù)報中誤差，如表3所示。

表3 方案中模型的預(yù)報中誤差mm

由表2可知，設(shè)計方案中的兩種時序模型的一步預(yù)報精度均能控制在亞毫米級，同時結(jié)合圖1可知，兩種時序模型的一步預(yù)報都能很好的模擬監(jiān)測數(shù)據(jù)，能夠達(dá)到理想的擬合和預(yù)報效果;

由表3不難看出，面對觀測值中無法避免的異常值，穩(wěn)健AR模型較常規(guī)AR模型的相應(yīng)步數(shù)的預(yù)報精度有較明顯的提高，穩(wěn)健AR模型能更好的預(yù)報監(jiān)測點的沉降變化情況;

由表2和表3可知，無論是常規(guī)平穩(wěn)AR模型還是基于穩(wěn)健估計的AR模型，隨著步數(shù)的增加，模型的預(yù)報精度明顯下降，這也表明時間序列分析方法比較適用于短期預(yù)報。

4 結(jié)語

為確保建筑物的運營安全，有必要追蹤監(jiān)測沉降點的差異沉降量，并建立預(yù)報模型。但監(jiān)測的過程中難免的存在異常值，勢必影響模型分析的結(jié)果。本文探討了基于穩(wěn)健估計的時間序列分析方法，并給出了基于Huber權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健AR模型。

通過模型預(yù)報與監(jiān)測數(shù)據(jù)的比較分析可知，面對無法避免的觀測異常值，穩(wěn)健自回歸模型比常規(guī)自回歸模型能更好地反映建筑物實際沉降情況，從而表明提出的穩(wěn)健AR模型要優(yōu)于常規(guī)AR模型，穩(wěn)健的時序模型在精密工程測量尤其是變形監(jiān)測工程中可以有廣泛的應(yīng)用。

［1］ 劉志強(qiáng)，何秀鳳.穩(wěn)健時序分析方法及其在邊坡監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.測繪科學(xué)，2007，32(2):40-41.

［2］ 梅 紅，岳東杰.時間序列分析在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代測繪，2005(8):73-75.

［3］ 陸 立，胡曉麗，王春華.用時間序列分析法進(jìn)行建筑物沉降觀測數(shù)據(jù)處理的研究［J］.測繪科學(xué)，2004(1):30-31.

［4］ 楊叔子，吳 雅.時間序列分析的工程應(yīng)用［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2010.

［5］ Huber P J.Robust Statistics.New York:Wiley，1981.

［6］ 劉大杰，陶本藻.實用測量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京:測繪出版社，2000.