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    對稱12彈性振子的二維非線性振動

    2011-07-06 02:02:18包興明
    關鍵詞:振子振幅彈簧

    包興明,張 豪

    (1.四川理工學院理學院,自貢 643000;2.電子科技大學數(shù)學科學學院,成都 611731)

    現(xiàn)實中考慮各種因素后,物體所做的各種振動幾乎都是非線性振動。非線性問題是當前物理研究中的熱門問題,但其求解具有極大難度,除了少部分特殊情況可以用解析法解決以外,大部分問題要依靠數(shù)值方法,利用計算機才能得出其結果。文獻[1]分析了幾種常見的線性彈簧組合,對作非線性振動彈簧振子進行了數(shù)值求解,并與通過計算得出解析解進行了對比,解析解與數(shù)值解是一致的。但目前對實際生活和生產(chǎn)中常見的二維非線性振動少有所研究[2]。本文應用拉格朗日方程方法并用數(shù)值計算研究彈簧系統(tǒng)中對稱12彈性振子的二維非線性振動,給出其非線性振動方程并給出振動曲線。

    1 對稱12彈性振子的運動方程

    對稱12彈性振子的物理模型可以用一個在光滑水平面上運動的質(zhì)量為m的質(zhì)點來描述,它與12個彈性系數(shù)均為k、原長均為a的彈簧相連。在平衡時這12個彈簧互成30°。這12個彈簧兩兩對稱,此時彈簧為原長,質(zhì)點在xy平面內(nèi)(水平面)作微小振動。以質(zhì)點的平衡位置為原點o,建立坐標系oxy,如圖1所示。

    圖1 對稱12彈性振子

    系統(tǒng)的動能和勢能分別為

    系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

    根據(jù)保守力系統(tǒng)的拉格朗日方程

    得到系統(tǒng)的運動微分方程為

    方程(5)與方程(6)是一非線性耦合方程組[3],這表明彈簧振子的運動是非線性振動。線性彈簧在此種組合下,由于其勢能函數(shù)V(x,y)不再是二次函數(shù),必然產(chǎn)生非線性振動。其振動形式的解析解很難直接得到,本文采用數(shù)值方法對其進行研究。

    若振子作微小振動,則方程(5)可化為

    這是一個軟非線性的微分方程[4],它給出了一個恢復力為x3的非簡諧振動的物理力學模型。若振子作微小振動,則方程(6)可化為

    這是一個軟非線性的微分方程[4],它給出了一個恢復力為y3的非簡諧振動的物理力學模型。

    2 振動的數(shù)值求解和振動曲線模擬

    為簡單起見,假定該彈性振子質(zhì)量m=1 kg,彈簧原長為a=1.0 m,彈性系數(shù)k=0.1 N/m。現(xiàn)在,用數(shù)值方法研究系統(tǒng)在給定初始條件下的響應。

    1)初始條件為x0=y0=0.05 m==0.0 m/s。利用maple語言的超強數(shù)值計算功能[5],在如上的條件下,求解方程(5)和(6),得到x,y方向的振動曲線(圖2),x方向振動和y方向振動的振幅均為 0.049 989 560 776 723 951 4 m。

    圖2 x0=y0=0.05 m=0.0 m/s時的振動曲線

    2)在x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=-0.03 m/s的初始條件,求解出方程(5)和(6),得到x,y方向的振動曲線(圖3),x方向振動的振幅為0.063 241 716 209 257 073 4 m、周期為81 s,而y方向振動的振幅為0.063 227 956 503 896 926 0 m。

    圖3 x0=y0=0.05 m=0.03 m/s=-0.03 m/s時的振動曲線

    3)在x0=y0=0.1 m的初始條件,求解出方程(5)和(6),得到x,y方向的振動曲線(圖4),x方向振動和y方向振動的振幅均為0.099 956 279 830 978 711 6 m。

    圖4 x0=y0=0.1 m0.0 m/s時的振動曲線

    4)在x0=y0=0.1m=0.03 m/s=-0.03 m/s的初始條件,求解出方程(5)和(6),得到x,y方向的振動曲線(圖5),x方向振動的振幅為0.107 377 121 537 032 590 m、周期為81 s,而y方向振動的振幅為 0.107 072 704 126 938 560 m。

    圖5 x0=y0=0.1 m=0.03 m/s=-0.03 m/s時的振動曲線

    由圖2~5可以看出:

    1)在微小振動的條件下,對稱12彈性振子的振動是非簡諧的周期性振動;在保守力系統(tǒng)中,非線性振動系統(tǒng)的振幅與初始位置和初始速度有關系。初始位置增大,振幅增大;初始位置不變,若初始速度增大,則振幅也增大。

    2)在其x方向和在y方向的振動曲線都可以看成是一個形變了的余弦曲線,其上附加有依賴于振幅的高頻顫動。

    3 結束語

    對彈簧系統(tǒng)中常見的二維非線性振動問題,可利用拉格朗日方法得到其振動控制微分方程,借助于計算機和maple語言在計算方面的超強功能,成功解決了該類非線性振動問題。這種方法有效簡便,這就為非線性問題探索出了一種極好的求解途徑。

    振動曲線彼此相似,其波形與振幅無關,具體形狀介于余弦波和三角波之間,可以看成是一個變形了的余弦波,其上附加有依賴于振幅的高頻顫動。

    [1]廖旭,任學藻.組合線性彈簧振子中的非線性振動[J].大學物理,2008,27(2):25-28.

    [2]包興明,周志堅,袁玉全.彈簧系統(tǒng)一種常見的二維非線性振動[J].西南師范大學學報,2008,33(4):28-31.

    [3]卓崇培.非線性物理學[M].天津:天津科學技術出版社,1996:26-61.

    [4]劉式適,劉式達.物理學中的非線性方程[M].北京:北京大學出版社,2000:6,66.

    [5]黎捷.MAPLE 9.0符號處理及應用[M].北京:科學出版社,2004.

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