簡單樹的結構矩陣及應用

張景曉

(德州學院 數(shù)學系，山東德州 253023)

1 簡單樹及其結構矩陣

1.1 簡單樹的規(guī)范化形式及其結構矩陣

定義設G是滿足條件Δ(G)≤4的樹，則稱G是簡單樹，其中Δ(G)是G的最大度。設G是簡單樹，G中最長的鏈叫主鏈，連接主鏈兩側的鏈叫側鏈，把圖的主鏈橫寫在同一直線上，側鏈垂直地連接在主鏈的兩側，并且約定側鏈離主鏈端點最近的一端在左方，較遠的一端在右方;當圖的節(jié)點處只有1條側鏈時，將該側鏈連接在主鏈節(jié)點的上方;當圖的節(jié)點處接有2個側鏈時，較長的側鏈接在該節(jié)點的上方，較短的側鏈接在節(jié)點的下方，滿足以上條件的圖叫規(guī)范圖。

根據(jù)實際應用的需要，可給規(guī)范圖的頂點賦予權值，權值可以是任意實數(shù)，如取每個節(jié)點的度為其權值，得如圖1的賦權圖。

圖1 賦權圖

按照頂點賦權圖的原樣給出的矩陣(注意空白處用0填充)

叫做圖G的結構矩陣。

1.2 結構矩陣的一般化數(shù)學描述

為便于一般性理論研究和結果的推廣，下面對結構矩陣給出一般性描述。

設

是某一m行n列的簡單樹的結構矩陣，其中A的第0行對應于圖的主鏈，主鏈上方的行依次定義為第1，2，…，s行，主鏈下方的行依次定義為矩陣A的第－1，－2，…，－t行。用αi=(ai1，ai2，…，ain)表示矩陣 A 的第 i個(i= －t，－t+1，…，0，1，2，…，s)行向量，βj=(asj，as－1j，…，a0j，a－1j，a－2j，…，a－tj)T，表示A的第j(j=1，2，…，n)個列向量。分別表示矩陣A的行向量 αi和列向量 βj的1范數(shù)。

2 利用結構矩陣預測鏈狀化合物的理化性質(zhì)

以鏈烷烴的色譜保留指數(shù)的預測為例。由于鏈烷烴的分子骨架圖就是滿足條件的簡單樹圖，因此可以根據(jù)系統(tǒng)命名原則，參照結構矩陣的書寫規(guī)則，給出相應的分子結構圖的結構矩陣，如2，4－二甲基戊烷，其隱氫圖為

為便于更廣泛和更深入地利用圖的結構矩陣來研究物質(zhì)結構與性能的關系，考慮到不同原子對物性的影響，取分子骨架圖頂點原子的原子序數(shù)為其頂點的權值，根據(jù)分子拓撲學理論，不會影響結構與物性的研究，但能達到區(qū)分原子類型的目的。由于碳原子的原子序數(shù)是6，故化合物2，4－二甲基戊烷的賦權圖為

按照賦權圖的原樣給出結構矩陣:

根據(jù)以上討論，下面列出部分鏈烷烴的分子結構式及結構矩陣，見表1。

表1 部分鏈烷烴的規(guī)范化分子結構圖及其結構矩陣

鏈烷烴分子的結構矩陣是分子結構圖原樣的量化，它相當于分子結構圖的一張數(shù)碼照片，結構矩陣的行數(shù)、列數(shù)反映了物質(zhì)分子的整體規(guī)模，是對分子大小的宏觀描述，結構矩陣的行向量列向量的1范數(shù)是對分子支化程度從縱橫不同方向的細化描述，同時由于組成矩陣的行列向量的元素不同，所以矩陣的行列向量也反映了構成物質(zhì)的原子類型以及連接各支鏈的空間方位的信息量。因此完全有理由將分子結構矩陣的行數(shù)m、列數(shù)n以及行、列向量的1范數(shù)pi，qj作為分子的結構信息指數(shù)。

根據(jù)30種鏈烷烴的結構矩陣，計算了矩陣的行數(shù)列數(shù)，以及矩陣行列向量的1范數(shù)列入表2。然后借助于SPSS軟件剔除線性相關向量，由表2所列鏈烷烴的結構信息指數(shù)與其色譜保留指數(shù)實驗值RIexp關聯(lián)，進行多元線性回歸，得以下回歸方程:

其中:n=30是樣本點數(shù);r=0.999是復相關系數(shù);s是標準偏差;F=1 089.293為 Fischer檢驗值。利用式(1)計算了30種鏈烷烴的色譜保留指數(shù)(見表2 RIcal)，實驗值與預測值吻合的非常好。

由以上預測結果及預測統(tǒng)計量表明，本文所建立的簡單樹圖的結構矩陣簡單實用，可用于結構與物性的相關性研究，因此拓展了圖論應用的新思路。

表2 30種鏈烷烴的結構信息指數(shù)及其色譜保留指數(shù)

［1］王樹禾.圖論［M］.北京:科學出版社，2004.

［2］劉纘武.應用圖論［M］.長沙:國防科技大學出版社，2006.

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