有限體積法的彈性結(jié)構(gòu)動力學(xué)隨機(jī)分析

陳衛(wèi)東，陳浩，于艷春

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

艦船、潛艇等武器平臺在戰(zhàn)斗中不可避免地遭到離其數(shù)米甚至百米位置的爆炸沖擊，這種爆炸通常不會使其產(chǎn)生嚴(yán)重的破損，但可能引起劇烈的振動，從而破壞武器上的機(jī)械設(shè)備和電子儀器，使其失去戰(zhàn)斗力［1］.因此，研究遠(yuǎn)場爆炸載荷作用下結(jié)構(gòu)的動力學(xué)隨機(jī)響應(yīng)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷作用下的隨機(jī)響應(yīng)一直受到研究者的關(guān)注并不斷取得進(jìn)展.目前，求解隨機(jī)響應(yīng)問題的方法有Monte-Carlo法、隨機(jī)有限元法和虛擬激勵(lì)法等.Monte-Carlo法具有普遍的適用性，但其巨大的計(jì)算量限制了其在大型工程中的應(yīng)用;隨機(jī)有限元法雖然在靜力學(xué)隨機(jī)分析中得到廣泛應(yīng)用，但在動力學(xué)分析中發(fā)展緩慢［2］;而基于虛擬激勵(lì)法的動力學(xué)隨機(jī)響應(yīng)分析主要應(yīng)用在抗震、抗風(fēng)等工程中［3-4］，對于爆炸等沖擊載荷作用下隨機(jī)動響應(yīng)分析涉及較少.所以，文章將有限體積法與泰勒展開相結(jié)合，在考慮爆炸載荷的隨機(jī)性時(shí)，求解了遠(yuǎn)場水下爆炸載荷作用下彈性結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，并對結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的變異系數(shù)做了相關(guān)討論.由于采用顯式求解算法，同步求解結(jié)構(gòu)動響應(yīng)及其對基本隨機(jī)變量的偏導(dǎo)，不需求解大型線性方程組，因而在計(jì)算爆炸沖擊這一類問題時(shí)具有較高的效率.

1 有限體積法

有限體積法由于其思想簡潔，用其導(dǎo)出的離散方程，物理上表示的是控制體積的通量平衡，方程中的各項(xiàng)有明確的物理意義，所以近來有不少學(xué)者將其應(yīng)用于固體力學(xué)［5-6］.

圖1 控制體與其輔助網(wǎng)格示意Fig.1 Relation between control volume and auxiliary mesh

圖1是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格示意圖.對于圖1(a)中平面網(wǎng)格:虛線網(wǎng)格為輔助網(wǎng)格(三角形)，連接輔助網(wǎng)格的重心及其各邊中點(diǎn)(實(shí)心圓)就構(gòu)成了控制體的邊界，實(shí)線圍成的閉合多邊形即為控制體.顯然，虛心圓即為輔助網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)，又為控制體的中心.對于三維問題，輔助網(wǎng)格為四面體，圖1(b)給出了輔助網(wǎng)格與其內(nèi)部控制體邊界面的關(guān)系:每個(gè)四面體都被其內(nèi)部控制體邊界面分成體積相等的4部分.

在不考慮能量變化時(shí)，有限體積法的基本控制方程為動量守恒方程:

若將加速度、速度等變量定義在控制體中心，且輔助網(wǎng)格中應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槌Ａ?，那么將?1)在空間網(wǎng)格上離散，最終可得到求解三維彈性動力學(xué)問題的方程為［7］

式中:m為控制體中心連接的四面體的個(gè)數(shù).引入初始條件后，可采用文獻(xiàn)［8］中的顯式中心差分法求解式(2):

常數(shù)an1、an2和an3與控制體中心在四面體中的節(jié)點(diǎn)編號有關(guān)，若其在四面體節(jié)點(diǎn)編號中為1，則

對其他的編號有同樣形式的表達(dá)式，需要注意的是當(dāng)前需求系數(shù)的節(jié)點(diǎn)編號與行列式中節(jié)點(diǎn)編號應(yīng)符合右手定則:行列式中節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針排列，方向指向當(dāng)前系數(shù)的節(jié)點(diǎn)編號.

2 結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性

在不考慮結(jié)構(gòu)尺寸的隨機(jī)性時(shí)，設(shè)有一組基本隨機(jī)變量X=(x1x2… xn)T，將式(2)對X求偏導(dǎo)得

式中:i、j=1，2，…n.若 t時(shí)刻各物理量已知，則可利用顯式算法得到t+Δt時(shí)刻的物理量對基本隨機(jī)變量的偏導(dǎo):

式中:D和B分別為彈性矩陣和幾何矩陣，具體可參見文獻(xiàn)［9］中有關(guān)常應(yīng)力四面體元的表達(dá)式.

若要求解等效應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)特性，則還需要知道等效應(yīng)力對基本隨機(jī)變量的偏導(dǎo).若skl為偏應(yīng)力的分量，那么

式中:Cov(xi，xj)為基本隨機(jī)變量 xi和 xj的協(xié)方差，對于位移和應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)特征也是同樣的方法.

3 固支板的隨機(jī)動響應(yīng)分析

為了驗(yàn)證前述理論的可行性，利用FORTRAN語言編寫了計(jì)算程序，并計(jì)算了一個(gè)固支板遭受水下遠(yuǎn)場爆炸載荷的沖擊問題.

3.1 爆炸載荷模型

水中沖擊波過后壓力隨時(shí)間變化關(guān)系呈指數(shù)衰減規(guī)律:

式中:Pm為沖擊波超壓峰值，θ為衰減時(shí)間常數(shù).計(jì)算時(shí)，采用文獻(xiàn)［10］中的經(jīng)驗(yàn)公式:

式中:w為TNT當(dāng)量，kg;R為結(jié)構(gòu)表面到爆源的距離，m.

對于遠(yuǎn)場爆炸，近似認(rèn)為沖擊波是平面壓力波，并垂直作用于結(jié)構(gòu)表面［11］.若忽略結(jié)構(gòu)變形的影響，將沖擊波看作是作用在剛體上，則作用于結(jié)構(gòu)表面的壓力p(t)與沖擊波P(t)之間的關(guān)系為［12］

當(dāng)把w和R作為基本隨機(jī)變量時(shí)，該載荷模型就是一個(gè)隨機(jī)爆炸載荷.

3.2 結(jié)構(gòu)模型

計(jì)算模型見圖2.材料密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比為0.3.將炸藥的裝藥量w、板面到爆源的距離R看作相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量.由于結(jié)構(gòu)在水中可能遭受各種炸藥的爆炸沖擊，為簡化問題，將不同炸藥都看成TNT，并對TNT的裝藥量和爆距取較大的變異系數(shù)來代表不同炸藥性能的變異.各基本隨機(jī)變量的取值見表1.

圖2 固支板模型Fig.2 Model of a clamped plane

表1 基本隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征Table 1 Statistical characterization of basic random variables

3.3 結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動響應(yīng)分析

利用前述的隨機(jī)有限體積法(SFVM)計(jì)算了固支板在遭受爆炸載荷時(shí)動響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性:圖3是板中心(0.04，0.01，0.04)處 y 向位移的均值和方差，圖4 是點(diǎn)(0.04，0.01，0.00)處等效應(yīng)力的均值和方差.

為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，基于有限體積法進(jìn)行了1 000組Monte-Carlo模擬.圖3、4結(jié)果對比表明:SFVM與Monte-Carlo結(jié)果符合較好，該方法能準(zhǔn)確的計(jì)算彈性結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征.

圖5(a)是板中心(0.04，0.01，0.04)處 y 向位移和點(diǎn)(0.02，0.01，0.02)處各向位移的變異系數(shù)絕對值;圖5(b)是板中心點(diǎn)和點(diǎn)(0.04，0.01，0.00)處等效應(yīng)力的變異系數(shù).從圖5可知，無論是節(jié)點(diǎn)位移變異系數(shù)的絕對值還是等效應(yīng)力的變異系數(shù)，其隨時(shí)間始終近似等于0.289 1.雖然當(dāng)響應(yīng)量的方差接近零時(shí)，變異系數(shù)有很大的波動，但這種波動只會使響應(yīng)量的均值在接近于零時(shí)產(chǎn)生影響，并且當(dāng)均值在零值附近時(shí)，其數(shù)量級與均值極值的數(shù)量級相差較大，所以可以忽略零值附近變異系數(shù)的波動，近似認(rèn)為響應(yīng)量的變異系數(shù)是不變的，因而可以推論:在彈性體內(nèi)，當(dāng)動載荷的隨機(jī)性確定時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)動響應(yīng)的變異系數(shù)絕對值是相同的，且不隨時(shí)間發(fā)生變化.

圖3 板中心的位移統(tǒng)計(jì)特征Fig.3 Statistical characterization of central of the plane

圖4 等效應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)特征Fig.4 Statistical characterization of equivalent stress

圖5 響應(yīng)量的變異系數(shù)Fig.5 Coefficient of variation for responses

為了證明以上推論的正確性，根據(jù)響應(yīng)量的方差和變異系數(shù) 0.289 1，預(yù)測了點(diǎn)(0.04，0.01，0.02)處 y 向位移和點(diǎn)(0.02，0.01，0.00)處等效應(yīng)力的均值，并與計(jì)算結(jié)果做了對比(圖6)，結(jié)果表明該推論是可行的.利用該推論，只需計(jì)算響應(yīng)量對基本隨機(jī)變量的一階偏導(dǎo)，因而提高了計(jì)算效率，為SFVM應(yīng)用于大型工程提供了基礎(chǔ).

圖6 響應(yīng)量的均值預(yù)測Fig.6 Predicted mean value of responses

4 結(jié)束語

將有限體積法與泰勒展開結(jié)合，能夠?qū)θ我怆S機(jī)載荷作用下彈性結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)分析.而且在相同計(jì)算模型下，結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)動響應(yīng)的變異系數(shù)絕對值近似相同，且不隨時(shí)間發(fā)生變化.這樣只要求出初始一段時(shí)間內(nèi)響應(yīng)量的變異系數(shù)和方差，就可以對響應(yīng)量的均值進(jìn)行預(yù)測，這使SFVM在具有較高精度的同時(shí)兼顧有較高的效率，為大型工程的動力學(xué)隨機(jī)分析提供了一種途徑.此外，由于對響應(yīng)變異系數(shù)的討論只限于文章中所給形式的隨機(jī)爆炸載荷，所以文章中的推論不一定適用于其他形式的載荷，作者會在后續(xù)工作中繼續(xù)討論載荷形式和約束條件等對響應(yīng)變異系數(shù)的影響.

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