高動態(tài)條件下改進的EKF載波跟蹤環(huán)路

李思超，李金海，孫金海，汪峰，閻躍鵬

(中國科學院微電子研究所，北京100029)

高動態(tài)接收機主要涉及在高動態(tài)條件下對衛(wèi)星導航信號進行捕獲、跟蹤及定位解算的技術(shù)．在高動態(tài)環(huán)境下，接收機的速度以及各階導數(shù)值都較大，引起較大的多普勒頻移，給偽碼的捕獲跟蹤及后續(xù)的數(shù)據(jù)解調(diào)帶來困難，為實現(xiàn)可靠通信，必須精確估計載波頻移，并進行補償．在未加輔助的條件下，高動態(tài)載波跟蹤方法有最大似然估計(MLE)［1-2］、FLL/PLL［2-3］、自適應最小均方法(ALS)［4-5］、擴展Kalman 濾波器(EKF)［2，6］等．MLE 在 C/A 碼延時 τ及多普勒頻移ωd構(gòu)成的二維坐標平面上求似然函數(shù)的最大值，以此來估計時延τ、多普勒頻移ωd，估計精度高，但比較復雜，適用于超高動態(tài)目標的跟蹤．FLL/PLL方法結(jié)構(gòu)簡單，計算量小，但是在高動態(tài)條件下需要采用高階環(huán)路，將引起環(huán)路的穩(wěn)定性問題［3］，在弱信號條件下，鑒別器的非線性將使得跟蹤誤差較大．ALS方法將接收信號進行泰勒展開得到觀測方程，進而獲得頻率估計值，估計精度高，但結(jié)構(gòu)也很復雜．EKF算法能夠直接估計信號的相位、頻率及其高階導數(shù)，同時避免了鑒別器的非線性問題，跟蹤性能好，靈敏度較高，高階EKF計算量也較大，但是采用高性能處理器可以較好地解決這一問題．鑒于EKF的上述特點，本文以其為研究對象，對其環(huán)路帶寬特性進行了理論分析，建立了相應的數(shù)學模型．根據(jù)分析結(jié)果，提出了一種改進的EKF載波跟蹤算法．該算法比常規(guī)算法環(huán)路帶寬窄，靈敏度更高．

1 EKF載波跟蹤模型

EKF的跟蹤過程與常規(guī)的DPLL類似，都是接收來自相關(guān)器的累加值，輸出殘差估計．圖1為采用EKF的高動態(tài)GNSS跟蹤環(huán)路，其中數(shù)據(jù)輔助模塊為可選設置，為便于討論，后續(xù)分析皆基于存在數(shù)據(jù)輔助．

圖1 基于EKF的高動態(tài)跟蹤環(huán)路Fig．1 High dynamic tracking loops based on EKF

為適應高動態(tài)條件，選擇四階EKF跟蹤環(huán)路，其狀態(tài)方程和量測方程為［2］

量測矩陣H可由下式得出［7］

EKF的迭代方程組為

式中:Q表示狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣，α為加權(quán)系數(shù)，R為量測噪聲協(xié)方差矩陣．

在NASA方案［2］中，每次迭代完成后，輸入到載波NC0中的更新量為

式中:θk+1'、θk'為一步預測值．

2 EKF環(huán)路帶寬特性分析

2．1 理論分析

由迭代方程組可知，EKF可以看作圖2所示的負反饋環(huán)路．輸入為量測值Yk，輸出為狀態(tài)估計值Xk，狀態(tài)估計值的各個分量都來自相同的輸入，具有相同的輸入噪聲功率譜密度．

圖2 EKF原理圖Fig．2 Schematic diagram of EKF

NASA EKF方案的載波NC0更新量來自相位對于時間的導數(shù)，如式(3)所示．假設輸入值的噪聲功率譜密度為，對應相位一步預測值傳輸函數(shù)的等效環(huán)路帶寬為Bp，則由相位差得到的頻率更新量噪聲功率為2Bp．若載波NC0的更新量由頻率估計值提供(下稱該方案 為 Modified EKF，即MEKF)，令對應頻率估計值傳輸函數(shù)的等效環(huán)路帶寬為Bf，則此時頻率更新量噪聲功率為Bf．若Bf＜2Bp，則以頻率估計值更新NC0跟蹤性能會有提高．

由EKF迭代方程組，得一步預測值為

對式(4)兩端做Z變換，并整理得方程組:

式中:Mik(i=1，2，3，4)為在第 k次迭代時與 Pk'、a m^pk和a mpk有關(guān)的常量．

解方程組，得NASA方案中相位一步預測值的傳輸函數(shù)為

式中:aik、dik(i=1，2，3，4)為第 k 次遞推時與Mik(i=1，2，3，4)有關(guān)的常量．

類似地，可得到MEKF方案中頻率估計值的傳輸函數(shù)為

式中:aik、dik(i=1，2，3，4)為第 k 次遞推時與 Pk'、am^pk和ampk有關(guān)的常量．

對于傳輸函數(shù)為H(z)的系統(tǒng)，其環(huán)路等效帶寬為

將式(5)、(6)代入式(7)，可得NASA方案和MEKF 方案的等效環(huán)路帶寬 BL，θ(k)、BL，ω(k)，其中的時間標度k表示第k次迭代時的值．顯然，EKF的等效環(huán)路帶寬與其參數(shù)有關(guān)，不是固定值．

由卡爾曼濾波器的穩(wěn)定性原理［8］可知，無論濾波器初值如何設定，經(jīng)過足夠長的時間，卡爾曼濾波器都將達到穩(wěn)態(tài)，此時Pk'→P'，并且滿足Riccati方程［9］:

當EKF處于穩(wěn)態(tài)時，等效環(huán)路帶寬也趨于穩(wěn)定．由Riccati方程可得 P'，代入式(5)～(7)，可得穩(wěn)態(tài)環(huán)路帶寬 BL，θ、BL，ω．EKF 的暫態(tài)過程存在不確定性，其解析解不易確定，可通過仿真得到暫態(tài)帶寬．

2．2 仿真結(jié)果

采用文獻［2］中提出的更為嚴格的高動態(tài)GPS信號，根據(jù)2．1節(jié)的分析結(jié)果，對2種方案的環(huán)路帶寬特性做了仿真．中頻頻率的標稱值為4．092 MHz，采樣率為16．368 MHz，相干積分時間T=2 ms，采用2號衛(wèi)星的PRN碼進行擴頻調(diào)制．

高動態(tài)信號的相對加加速度和相對加加速度特性示于圖3．

可見，EKF的環(huán)路等效帶寬經(jīng)歷暫態(tài)過程的波動后，逐漸趨于穩(wěn)定，濾波器通過調(diào)整帶寬完成了自適應濾波．穩(wěn)態(tài)仿真帶寬與通過Riccati方程計算的帶寬差別極小，證明了理論分析是正確的．

圖3 相對加速度和相對加加速度Fig．3 Relative acceleration and relative jerk

圖4 環(huán)路帶寬仿真值與理論值Fig．4 Loop bandwidth from simulation and theoreticalanalysis

圖5(a)、(b)為在不同參數(shù)選擇時2種方案的環(huán)路等效帶寬．圖5(a)α = 1．03分為108和107的2種情況;圖5(b)=107，α 分為 1 ．02 和 1 ．03的2種情況．

圖5 EKF穩(wěn)態(tài)等效環(huán)路帶寬Fig．5 Effective 100P banelwith of state of EKF

仿真時計算了NASA方案的2倍傳輸帶寬2BL，θ．可見在各種條件下，MEKF的穩(wěn)態(tài)傳輸帶寬都滿足BL，ω＜2BL，θ，MEKF 方案比 NASA 方案噪聲功率要?。?/p>

此外，相比NASA方案，MEKF方案還可以減少兩次向量相乘、一次減法和一次除法，計算量有一定的降低．

綜上，選擇MEKF作為高動態(tài)載波跟蹤方案．

3 算法性能仿真結(jié)果

采用第2節(jié)的GPS高動態(tài)參數(shù)，對常規(guī)算法和MEKF算法進行了仿真測試．當頻率誤差超過奈奎斯特速率的1/2即250 Hz時認為系統(tǒng)失鎖，失鎖概率為10%的信噪比為門限信噪比［2］，可認為是跟蹤靈敏度．

為便于比較，在仿真過程中取α=1．03、σ2j=4×104，與 NASA 方案［2］相同．圖 6～8為載波頻率及其一二階導數(shù)的跟蹤結(jié)果，信號強度為-150．5 dBm．可見，載波頻率跟蹤效果良好，頻率的一、二階導數(shù)跟蹤結(jié)果抖動較大，但依然能夠可靠地鎖定．圖9為改進前后2種方案頻率估計均方根誤差的仿真結(jié)果，圖10為相應的失鎖概率曲線，每一種測試條件進行了104次仿真，消除了隨機性．表1列出了各種高動態(tài)載波跟蹤算法在一定載噪比下的頻率誤差及各自的跟蹤靈敏度［2］．

表1 性能統(tǒng)計Table 1 Cartogram of performance

圖6 載波頻率跟蹤結(jié)果Fig．6 Tracking results of carrier frequency

圖7 載波頻率一階導數(shù)跟蹤結(jié)果Fig．7 Tracking results of first-order derivative of carrier frequency

圖8 載波頻率二階導數(shù)跟蹤結(jié)果Fig．8 Tracking results of second-order derivative of carrier frequency

當CN0≥24 dBHz時，2種算法的頻率誤差均方根相差不大，當CN0＜24 dBHz時，改進算法的性能較好;改進算法在失鎖概率方面的優(yōu)勢是明顯的．由表1可知，相同條件下MEKF算法的跟蹤靈敏度比NASA算法提高了1．3 dB，頻率誤差也略有減小，其頻率誤差比其他方案小得多．這證明了MEKF算法的優(yōu)越性及其理論分析的正確性．

圖9 2種算法頻率誤差Fig．9 Frequency error of two algorithms

圖10 2種算法失鎖概率Fig．10 Probabilities of loss-of-lock of two algorithms

4 結(jié)束語

EKF的環(huán)路帶寬具有自適應性，其穩(wěn)態(tài)環(huán)路帶寬是決定高動態(tài)跟蹤性能的關(guān)鍵參數(shù)之一．通過對EKF環(huán)路帶寬特性進行理論分析，建立了相應的數(shù)學模型，并進行了仿真，進而提出了一種改進的EKF高動態(tài)載波跟蹤算法．與常規(guī)算法相比，改進后的算法減小了頻率跟蹤誤差和失鎖概率，提高了跟蹤靈敏度．這對于提高高動態(tài)接收機性能有著重要的工程價值．下一步工作將研究如何充分利用EKF的所有狀態(tài)估計值提高接收機的跟蹤性能．

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