自錨式吊拉組合體系橋主纜線形計算方法

張 征， 黃 才 良， 張 哲

（1.大連理工大學 橋梁工程研究所，遼寧 大連 116024；2.山東科技大學 土木建筑學院，山東 青島 266510）

0 引 言

自錨式吊拉組合體系橋是一種以柔性纜索作為主要承重構(gòu)件的橋梁，其結(jié)構(gòu)剛度小，在外部荷載作用下結(jié)構(gòu)變形大.作為主要承重構(gòu)件之一的主纜，其線形和無應力長度的精確計算是結(jié)構(gòu)在成橋后幾何線形能夠滿足設(shè)計要求的必要條件.目前針對吊拉組合體系橋的研究主要集中在設(shè)計探索和結(jié)構(gòu)體系分析上[1～4]，所需計算主要采用大型有限元軟件如ANSYS、ALGOR、ADINA等進行，但這些軟件基本上是通用軟件，對自錨式吊拉組合體系橋的分析比較麻煩，如ANSYS沒有專門用于纜索分析的索單元，只能采用桿單元（Link10）來模擬，且非線性計算往往不容易收斂，對纜索的無應力長度更是無法計算.此外，對于索鞍預偏量的計算、切點位置變化預測及計算，通用軟件很難進行有效的分析和模擬.在目前自錨式吊拉組合橋的計算理論研究中，專門針對自錨式吊拉組合橋主纜線形和主纜無應力長度計算的文獻還沒有見到.

本文在懸索橋主纜線形計算方法研究的基礎(chǔ)上[5～9]，結(jié)合自錨式吊拉組合體系橋的施工和受力特點，給出其主纜線形計算的數(shù)值解析法，并在此基礎(chǔ)上考慮索鞍的影響，編制相應的計算程序.

1 主纜線形計算的分段懸鏈線理論

1.1 自重均布荷載作用下的索段分析

1.1.1 索段基本方程[5]如圖1所示的懸索段，當只有沿無應力索長均布的自重荷載q作用時，索段為懸鏈線.則滿足邊界條件的索段基本方程為

式中：E為索彈性模量；A為索截面面積；S0為索段無應力長度；l為索段兩端點的水平間距；h為索段兩端點的高差.

圖1 自重荷載作用下的懸索段Fig.1 Segment of cable under self－weight

1.1.2 索段線形變化剛度 對式（1）、（2）求l和h的全微分，得

令

則f11、f12、f21、f22分別為

將式（3）用dl和dh表示dH和dV，并寫成矩陣形式為

式（9）中的矩陣k即為索段的線形變化剛度矩陣，表達了索段的內(nèi)力變化量與線形變化量間的關(guān)系.

1.2 自重和豎向集中力作用下的懸索分析

有豎向集中外荷載作用的主纜如圖2所示，

其受力圖示相當于很多1.1.1中的基本索段相連，并在連接點i作用有豎向集中荷載P i.懸索在各分點需滿足的力學平衡條件為

式中：n為索段數(shù)，Hl（i）、Hr（i）分別為i索段左右端點的水平分力；Vl（i）、Vr（i）分別為i索段左右端點的豎向分力；S0i為i索段的無應力索長；Pi為作用在i索段右端點處的豎向集中力.

圖2 自重和豎向集中力作用下的懸索Fig.2 Cable under self－weight and vertically concentrated forces

1.3 一跨主纜的線形變化剛度

在懸索所受外荷載不變的情況下，如果某分點的內(nèi)力發(fā)生變化，則其他分點的內(nèi)力也將發(fā)生變化，且變化量相同.若支點的位置和標高不變，從懸索支點到m分點之間的各索段的累計線形變化量即為m分點的線形變化量，即

按照上述索段剛度矩陣的建立方法可得懸索m分點的內(nèi)力變化量與線形變化量的剛度矩陣：

K即為主纜的線形變化剛度矩陣，f11、f12、f21、f22根據(jù)式（5）～ （8）求得.

當主纜一端的水平分力已知時，式（11）中dH＝0，經(jīng)過推導可得到此時主纜的線形變化剛度為

2 主纜線形計算

2.1 成橋狀態(tài)主纜線形計算

成橋狀態(tài)主纜線形具體迭代計算過程見圖3.

主跨始端點處的水平分力和豎向分力的迭代初值Hl（1）、Vl（1）按下式給出：

式中：L為主跨主纜水平跨度；C為主跨主纜兩端點的高差；w為按照拋物線理論計算的荷載集度，

2.2 空纜狀態(tài)線形和索鞍預偏量的計算

2.2.1 索鞍預偏量ΔD的增量剛度方程 為使索鞍沿滑移面平衡，根據(jù)索鞍兩側(cè)不平衡力F計算索鞍的偏移修正量為

式中：K＝ （K11＋K′11）cos2α＋（K12＋K′12＋K21＋K′21）sinαcosα＋（K22＋K′22）sin2α＋Kt.其中K11、K12、K21、K22分 別 為 索 鞍 左 側(cè) 主 纜 剛 度 系數(shù)，K′11、K′12、K′21、K′22分別為索鞍右側(cè)主纜剛度系數(shù)，Kt為橋塔或支墩沿索鞍滑移面方向的抗推剛度.式（15）表達了索鞍處沿滑移面不平衡分力與索鞍移動量之間的關(guān)系.在索鞍預偏量計算時，由于索鞍沿支承滑移面放松，這時候只要Kt＝0即可.

圖3 成橋狀態(tài)計算流程圖Fig.3 Calculation flow chart of finished bridge state

2.2.2 空纜線形計算 空纜線形的計算就是在保證無應力長度不變的前提下，尋找一組索鞍預偏量，使得主纜在索鞍處滿足平衡條件.本文在計算時始終采用的是理論頂點（空纜狀態(tài)的理論頂點仍定義為索鞍兩側(cè)主纜切點順延懸鏈線的交點）的預偏量，在求出理論頂點的預偏量之后，再最終求得索鞍的預偏量.計算時首先假定單個索鞍理論頂點處的水平預偏量（其余索鞍固定），這樣，預偏理論頂點兩側(cè)主纜的跨度和各控制點的坐標就確定了，然后分別對兩側(cè)主纜進行計算，最后校核該索鞍處是否滿足：索鞍兩側(cè)水平分力相等；索鞍豎向位置與成橋狀態(tài)的關(guān)系合理；索鞍兩側(cè)主纜無應力長度與成橋狀態(tài)相等.然后再按上述方法依次計算其余索鞍的預偏量，直至各個索鞍均滿足上述要求.具體迭代計算過程見圖4.

空纜狀態(tài)下，為了使迭代過程快速收斂，理論頂點兩側(cè)主纜的水平分力H（1）l和豎向分力V（1）l的迭代初值可按如下取值：

β由下式確定：

圖4 空纜狀態(tài)計算流程圖Fig.4 Calculation flow chart of cable－finished state

本文提出了一種關(guān)于主纜空纜線形計算的新方法，其優(yōu)點如下：

①空纜狀態(tài)線形與成橋狀態(tài)線形的計算方法完全相同，不需再另外編寫程序；

②空纜狀態(tài)索鞍位置與成橋狀態(tài)索鞍位置的計算方法完全相同，不需再另外編寫程序；

③所有計算均為一種精確的計算，沒有多余的人為假定.

3 算 例

3.1 經(jīng)典例題驗證

有一柔索，采用量綱一計算技術(shù).標準溫度下其無應力長度S0＝100，抗拉強度EA＝3×107，沿索自重荷載為q＝1，線脹系數(shù)為6.5×10－6，在溫度升高100℃的情況下，索O端固定，另一端分別沿著x＝20，40，60，80，100，則索端力與對應的索端位置的關(guān)系如圖5所示，具體計算結(jié)果見表1.

圖5 不同索端位置對應的線形圖Fig.5 Cable shape drawing at different cable ends

表1 各索端位置對應的索端力Tab.1 Cable－end force at different cable ends

為了繪制出索的線形，本文采用100個索單元進行模擬，對x＝20，40，60，80，100進行計算，收斂精度取1×10－5.從表1可見，除x＝100外，本文的結(jié)果與文獻[6、8]非常接近，但x＝100的結(jié)果卻相差較大.通過對文獻[6、8]的結(jié)果復核表明，其結(jié)果是錯誤的.因為F y/F x＝0.60216大于索兩端弦線的斜率0.6，這顯然是不正確的，因為在索的自重作用下，其右端的切線斜率必然小于其弦線的斜率.從表1中的迭代次數(shù)可以看出，本文計算程序具有所需迭代次數(shù)少、收斂速度快的特點.

3.2 工程算例驗證

大連市金州海灣大橋設(shè)計方案[10]為132 m＋400 m＋132 m自錨式吊拉組合體系橋.矢跨比為1/6.667.本文分別采用上述自編程序和Ansys有限元法對該橋主纜無應力長度和索鞍預偏量以及成橋線形進行計算，其結(jié)果比較分別見表2和表3.

表2 主纜無應力長度和索鞍預偏量計算結(jié)果比較Tab.2 Results comparison of unstressed length and saddle predisplacement

表3 成橋狀態(tài)主纜線形計算結(jié)果比較（半橋）Tab.3 Results comparison of main cable shape under finished bridge state（half bridge）

上述結(jié)果表明本文方法計算結(jié)果與有限元方法計算結(jié)果具有較好的一致性.

4 結(jié) 論

（1）使用本文方法進行主纜線形計算，數(shù)據(jù)輸入簡單明了，迭代收斂速度較快.

（2）采用本文編制的程序可以進行成橋狀態(tài)主纜線形、空纜狀態(tài)主纜線形和索鞍預偏量等一整套設(shè)計所需參數(shù)的精確計算，并且可以計算任意跨數(shù)的主纜線形.

（3）與有限元法相比，本文方法可以精確考慮索鞍的影響，使計算模型更接近于實際結(jié)構(gòu)，對設(shè)計、施工和科研具有很好的參考價值.

（4）本文所編制的程序不只可以進行自錨式吊拉組合橋的線形計算，對于地錨式吊拉組合橋以及地錨和自錨式的懸索橋均可以進行計算.

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