最小叉熵方法推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)二叉樹模型

李 英 華， 李 興 斯

（1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

二叉樹期權(quán)定價(jià)方法[1]（CRR）一直以其理論基礎(chǔ)簡(jiǎn)單直觀、操作簡(jiǎn)便而著稱，因而成為期權(quán)定價(jià)數(shù)值方法的一個(gè)重要分支.隨著金融市場(chǎng)以及期權(quán)的不斷發(fā)展變化，二叉樹方法也在相應(yīng)地調(diào)整改善，以便更好地解決期權(quán)定價(jià)問題.

Jarrow等[2]為了能更有效地恢復(fù)風(fēng)險(xiǎn)中性概率，依據(jù)均值和方差條件，假定p＝1/2，可以得出參數(shù)p風(fēng)險(xiǎn)中性概率，其中u為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的幅度，d為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降幅度，σ為股票價(jià)格波動(dòng)率，則參數(shù)公式（JR）為

Trigeorgis[3]為了克服二叉樹短步長(zhǎng)的選取問題提出了二叉樹參數(shù)公式（TGR），在已知資產(chǎn)價(jià)格分布的均值和方差的情況下，假設(shè)ud＝1，可得

為了使參數(shù)p有限收斂，Wilmott[4]在1998年提出了兩個(gè)二叉樹參數(shù)模型（Wil1、Wil2），一個(gè)約定ud＝1，另一個(gè)約定p＝1/2；2001年Jabbour等[5]對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)服從離散或連續(xù)的布朗運(yùn)動(dòng)問題，針對(duì)不同漂移率，構(gòu)造新的二叉樹模型，若其模型變形，可以包容以前的幾類二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，但是他們除了依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布的均值方差以外，依然借助了p＝1/2或ud＝1或ud＝e2rΔt的條件；而文獻(xiàn)[6～8]從二叉樹模型的收斂性出發(fā)，依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)分布的矩信息來構(gòu)造二叉樹參數(shù)公式，其中Benjamin等[7]就限定了期權(quán)敲定價(jià)K＝S0ujdn－j落在二叉樹的最后一層節(jié)點(diǎn)中，并且這個(gè)最后一層節(jié)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù).

從上面二叉樹的發(fā)展歷程可以看出，二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)p、u、d的求解至今為止，都要借助于假定的第三方條件，有的時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)負(fù)概率p，而且沒有利用標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史信息，對(duì)于不同的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布沒有一個(gè)統(tǒng)一的二叉樹模型.本文針對(duì)這些問題用最小叉熵求解二叉樹參數(shù)，主要是借助股票價(jià)格歷史信息的一個(gè)先驗(yàn)（已知）概率，把nΔt時(shí)間點(diǎn)末的股票價(jià)格看成一個(gè)資產(chǎn)市場(chǎng)，在股票價(jià)格分布的矩信息約束下，若想求得nΔt時(shí)間點(diǎn)末盡可能靠近先驗(yàn)概率的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，可依據(jù)叉熵函數(shù)[9]極小化來求得.新模型求解參數(shù)p、u、d時(shí)寓意明確，并且不論股票價(jià)格遵循什么分布，都可以用該模型來求解，因此可以看成是一個(gè)統(tǒng)一的模型.

1 期權(quán)的二叉樹模型參數(shù)[1]

本文S0表示股票的初始價(jià)格，S表示股票的當(dāng)前價(jià)格，K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，μ為股票的預(yù)期收益率，σ為股票價(jià)格波動(dòng)率，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，T為期權(quán)有效期.考慮在風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)中，一個(gè)不支付紅利股票期權(quán)估值問題，就要先計(jì)算參數(shù)p、u、d.

二叉樹圖就是指每一個(gè)樹圖節(jié)點(diǎn)在下一個(gè)時(shí)刻會(huì)有兩種可能狀態(tài)，即若現(xiàn)在股票價(jià)格為S，經(jīng)過Δt時(shí)刻則分別以p或1－p的概率機(jī)會(huì)達(dá)到uS和dS（u＞1，0＜d＜1，d＜1＋r＜u）的價(jià)格狀態(tài).由于市場(chǎng)是風(fēng)險(xiǎn)中性的，則Δt時(shí)間點(diǎn)末股票價(jià)格的期望值為SerΔt，有

即

通常假定股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即其中ε為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)值，因此，在Δt時(shí)段內(nèi)股票價(jià)格變化的方差為

得

即

考慮計(jì)算需要，給定ud＝1，則聯(lián)立方程（1）、（2）可得二叉樹參數(shù)公式（CRR）：

黃河流域水質(zhì)變化趨勢(shì)總體變好的原因主要包括：新水法、水污染防治法頒布實(shí)施和國(guó)家節(jié)能減排政策的強(qiáng)力推行，“十一五”水資源保護(hù)和水污染防治規(guī)劃的落實(shí)，流域排污總量持平及污染物濃度降低，以黃河水量統(tǒng)一調(diào)度為平臺(tái)的水量水質(zhì)保護(hù)并重，來水條件改善和水量調(diào)度優(yōu)化而形成的河道環(huán)境容量增大。

2 最小叉熵方法構(gòu)造二叉樹期權(quán)定價(jià)模型參數(shù)

在二叉樹模型中，nΔt時(shí)刻末股票在一定概率分布下達(dá)到未來的價(jià)格狀態(tài)，在信息不完全的情況下，存在先驗(yàn)概率，可以采用最小叉熵方法來求最靠近先驗(yàn)概率的概率分布，這是簡(jiǎn)潔實(shí)效的方法.它強(qiáng)調(diào)若想使待求的概率分布在服從已知信息（約束）的條件下，盡可能地靠近一個(gè)先驗(yàn)概率的概率分布，則必須令叉熵函數(shù)極小化.本文是在已知股票價(jià)格變化的歷史信息下，依據(jù)股票價(jià)格變化的均值和方差來求二叉樹模型的參數(shù)，所以目標(biāo)函數(shù)為股票價(jià)格在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)末的概率分布.最小叉熵方法構(gòu)造二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的方法，即本文新方法的具體求解思路如下：

首先根據(jù)股票價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)來計(jì)算先驗(yàn)概率q.記Sh，h＝－1，－2，…，－H為S0前H時(shí)刻的股票價(jià)格，根據(jù)二叉樹的變化規(guī)律有

由上 面 的 式 子 可 以 得 出q1、u1、d1，然 后 計(jì) 算可以求得先驗(yàn)概率q.

其次，用最小叉熵方法求最靠近q的二叉樹期權(quán)定價(jià)的參數(shù)，具體模型為

在式（3）中，未知變量是p、u、d，已知變量是r、σ、Δt、q，目標(biāo)函數(shù)表示股票價(jià)格在未來某個(gè)時(shí)間點(diǎn)末最靠近先驗(yàn)概率的未來價(jià)格狀態(tài)的概率分布；約束1和2為根據(jù)無套利和風(fēng)險(xiǎn)中性條件表示未來某個(gè)時(shí)間點(diǎn)股票價(jià)格變化描述的一、二階矩約束的變化形式；約束3～5分別表示參數(shù)u、d、p在經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的實(shí)際含義，故有相應(yīng)的界限.

式（3）是非線性規(guī)劃問題，用現(xiàn)有的非線性規(guī)劃方法很容易求解，或者可以通過其對(duì)偶規(guī)劃轉(zhuǎn)化成無約束優(yōu)化問題也比較好求.另外，由文獻(xiàn)[10、11]知若叉熵函數(shù)最小化表達(dá)式約束條件（約束矩）不同，可以對(duì)應(yīng)得出不同的概率分布，如正態(tài)分布、泊松分布等.因此，新模型（3）可以看成是一個(gè)對(duì)股票價(jià)格遵循多種隨機(jī)運(yùn)動(dòng)形式的統(tǒng)一求解期權(quán)價(jià)格的模型.

顯然由式（3）求出的參數(shù)p不會(huì)為負(fù)，并且p、u、d的求解具有明確的經(jīng)濟(jì)和物理含義，沒有出現(xiàn)ud＝1或ud＝e2rΔt或p＝1/2等這樣的強(qiáng)制條件.

在求得p、u、d之后，求解期權(quán)價(jià)格的方法同文獻(xiàn)[1].通過式（3）可以求得不支付紅利的歐式和美式期權(quán)的價(jià)格.對(duì)于支付紅利或其他奇異期權(quán)的價(jià)格可以根據(jù)實(shí)際條件對(duì)式（1）～（3）進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，亦可求出二叉樹的參數(shù)值，進(jìn)而可以確定期權(quán)的價(jià)格.

3 數(shù)值算例

算例1 考慮一個(gè)在有效期內(nèi)不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的估值.假設(shè)S0＝100，K＝100，r＝0.05，σ＝0.3，期權(quán)有效期取T＝1 a.表1給出了取不同的時(shí)間步長(zhǎng)Δt＝T/n（n＝1，5，10，20，30，50，75，100）時(shí)，本文新方法與 B－S、CRR、JR、TGR、Wil1、Wil2方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格的結(jié)果.

表1 B－S、CRR、JR、TGR、Wil1、Wil2、本文新方法歐式看漲期權(quán)定價(jià)的比較Tab.1 The European call options pricing comparison by the models B－S，CRR，JR，TGR，Wil1，Wil2 and the new method in this paper

通過表1可以看出本文新方法不會(huì)出現(xiàn)二叉樹參數(shù)為負(fù)的情況，而且其收斂速度不低于其他二叉樹模型.其在奇（偶）步長(zhǎng)n處，相對(duì)于其他模型收斂到B－S公式的速度更快，而且整體計(jì)算相對(duì)于其他二叉樹模型更穩(wěn)定.

4 結(jié) 論

本文依據(jù)股票價(jià)格歷史信息得出先驗(yàn)概率，在此先驗(yàn)概率基礎(chǔ)上用最小叉熵方法構(gòu)造了二叉樹期權(quán)定價(jià)方法中的參數(shù)p、u、d，有效地克服了參數(shù)p出現(xiàn)負(fù)值的情況，并且每個(gè)參數(shù)的確定都有明確的理論依據(jù)，數(shù)值算例表明新方法具有較快的收斂速度和較高的計(jì)算精度，相對(duì)于其他二叉樹期權(quán)模型來說計(jì)算穩(wěn)定，但對(duì)其在價(jià)內(nèi)價(jià)外期權(quán)的定價(jià)性能及收斂性分析還有待于進(jìn)一步研究討論.

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