B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及其性質(zhì)

張文靜，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及其性質(zhì)

張文靜，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

在 B－強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及半預(yù)不變凸函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及其相關(guān)概念，并給出了一些性質(zhì)。

B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)；半預(yù)不變凸函數(shù)；性質(zhì)

凸性和廣義凸性在數(shù)理經(jīng)濟(jì)、工程和最優(yōu)化理論等方面發(fā)揮著巨大作用，因此，對(duì)凸性和廣義凸性的研究是數(shù)學(xué)規(guī)劃中最重要的內(nèi)容之一。1981年，Hanson在文獻(xiàn)［1］中提出了不變凸函數(shù)的概念，并得到了在不變凸性下 K－T條件是非線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解的充分條件，這是一個(gè)非常重要的推廣。1988年，Weir和 Mond在文獻(xiàn)［2］中定義了一種廣義凸函數(shù)，即預(yù)不變凸函數(shù)，并研究了它的性質(zhì)以及在優(yōu)化中的應(yīng)用。1991年，Bector和 Singh在文獻(xiàn)［3］中定義了 B－凸函數(shù)，討論了它的一些性質(zhì)。1993年，Bector等人在文獻(xiàn)［4］中定義了B－不變凸函數(shù)，并討論了B－凸函數(shù)和 B－不變凸函數(shù)的非線性規(guī)劃最優(yōu)解的充分條件及對(duì)偶性。1993年，Suneja等人在文獻(xiàn)［5］中定義了B－預(yù)不變凸函數(shù)。2006年，余麗在文獻(xiàn)［6］中定義了 B－強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，并得到了一些性質(zhì)。1976年，Avriel在文獻(xiàn)［7］中定義了半預(yù)不變凸函數(shù)。2003年，Yang等人在文獻(xiàn)［8］中進(jìn)一步討論了半預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)和它在多目標(biāo)分式規(guī)劃中的應(yīng)用。

本文在 B－強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及半預(yù)不變凸函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)及其相關(guān)概念，并給出了一些性質(zhì)。

注 如果 x，y∈Rn，那么我們規(guī)定

y＝z的?是：yi＝zi，i＝1，2，…，n

y＞z的?是：yi＞zi，i＝1，2，…，n

y≧z的?是：yi≧zi，i＝1，2，…，n

y≥z的?是：yi≧zi，i＝1，2，…，n；但至少存在一個(gè)1≦j0≦n，使 yi0＞zi0，即 y≠z。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1.1［11］設(shè)集合 K?Rn，如果存在一個(gè)向量函數(shù) η：Rn×Rn×［0，1］→Rn，使得對(duì)?x，y∈K，?λ∈［0，1］，都有y＋λη（x，y，λ）∈K，則稱集合K是關(guān)于 η的半不變凸集。

定義 1.2［7］設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱 f在 y∈K點(diǎn)關(guān)于η為半預(yù)不變凸函數(shù)，若對(duì)?x∈K及?λ∈［0，1］，有f（y＋λη（x，y，λ））≤λf（x）＋（1－λ）f（y），且λη（x，y，λ）＝0.若對(duì)?y∈K，f在y點(diǎn)關(guān)于η均為半預(yù)不變凸函數(shù)，則稱f在 K上關(guān)于 η為半預(yù)不變凸函數(shù)。

定義 1.3［6］設(shè)集合 D?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：D→R在 D上關(guān)于η，b是 B－強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，若存在一個(gè)常數(shù)β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

2 主要結(jié)果

定義 2.1 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：K→R在 K上關(guān)于 η，b是B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，若存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定義 2.2 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：K→R在 K上關(guān)于 η，b是嚴(yán)格 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，若存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定義 2.3 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù)f：K→R在K上關(guān)于 η，b是半嚴(yán)格 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，若存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定理 2.1 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若 f：K→R在 K上關(guān)于η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，k是任意常數(shù)，則 f＋k也是關(guān)于η，b的 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

證明：因?yàn)閒：K→R在K上關(guān)于η，b是B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，故存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得對(duì)?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

對(duì)上式兩邊同時(shí)加 k，于是有

即

故f＋k也是關(guān)于η，b的B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

定理 2.2 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若f：K→R在K上關(guān)于η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，k＞0是任意常數(shù)，則kf也是關(guān)于 η，b的 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

證明：因?yàn)?f：K→R在 K上關(guān)于 η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，故存在一個(gè)常數(shù)β＞0，使得對(duì)?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

因?yàn)?k＞0，對(duì)上式兩邊同時(shí)乘以 k，得

又因?yàn)閗β＞0，故 kf也是關(guān)于 η，b的 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

定理 2.3 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若fi：K→R（i＝1，2，…，p）在 K上關(guān)于 η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)且在K上有上界，則函數(shù)f（x）＝max｛f1（x），f2（x），…，fp（x）｝在 K上關(guān)于 η，b是B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

證明：因?yàn)閒i：K→R（i＝1，2，…，p）在K上關(guān)于η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，故存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得對(duì)每一個(gè)i＝1，2，…，p，?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

所以對(duì)每一個(gè)i＝1，2，…，p，有

取上式左邊的極大值，有

故 f在 K上也是關(guān)于 η，b的 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

定理 2.4 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若 fi：K→R（i＝1，2，…，p）在K上關(guān)于 η，b是半嚴(yán)格 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，則

f＝∑pi＝1kifi，?ki＞0，i＝1，2，…，p，在K上關(guān)于η，b是半嚴(yán)格B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

證明：因?yàn)?fi：K→R（i＝1，2，…，p）在 K上關(guān)于η，b是半嚴(yán)格 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，故存在一個(gè)常數(shù) β＞0，使得對(duì)?x，y∈K，f（x）≠f（y），?λ∈（0，1），有

因?yàn)閷?duì)?ki＞0，我們有

即

故 f在 K上也是關(guān)于 η，b的半嚴(yán)格 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)。

定理 2.5 設(shè)集合 K?Rn是關(guān)于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，函數(shù)f：K→R在K上關(guān)于 η，b是 B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，若是問題（P）的局部最優(yōu)解，則也是問題（P）的整體最優(yōu)解。

采用反證法，假設(shè) x－不是問題（P）的整體最優(yōu)解，則存在x*∈K，使得

因?yàn)?K是半不變凸集，且f：K→R在K上關(guān)于η，b是B－半強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，則對(duì)?λ∈［0，1］，有＋λη（x*，x－，λ）∈K，且

則（2）與（1）矛盾，故 x－也是問題（P）的整體最優(yōu)解。

［1］Hanson M A.On sufficiency of Kuhn－Tucker conditions［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981（80）：545－550.

［2］Weir T，Mond B.Pre－invex function in multiple objective optimization［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1988（136）：29－38.

［3］Bector CR，Singh C.B－Vex functions［J］.Journal of optimization Theory and Applications，1991（71）：237－254.

［4］Bector C R，Suneja K，Lalitha C S.Generalized B－Vex functions and generalized b－Vex programming［J］.journal ofOptimization Theory and Applications，1993（76）：561－576.

［5］Suneja SK，Singh C C.Bector R.Generalization of preinvex and B－vex functions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1993（76）：577－587.

［6］余麗.B－強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)［J］.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（28）：7－8.

［7］Avriel M.Nonlinear programming：theory and methods［M］. New Jersey：Prentice，1976.

［8］Yang X M，Yang X Q，Teo K L.On properties of semipreinvex functions［J］.Bull Austral Math Soc.，1988（38）：177－189.

［9］林銼云，董加禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論［M］.長(zhǎng)春：吉林教育出版社，1992.

［10］秦春蓉.強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào).2006，（23）：30－32.

［11］Yang X，Q，Chen G，Y.A Class ofnonconvex functions and prevariatinal inequa lities［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，（169）：359－373.

［責(zé)任編輯 賀小林］

B－strong Sem i－preinvex Functions and Its Properties

ZHANGWen－jing，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The definition and related concepts of B－strong semi－preinvex functionswas introduced on the basis of B－strong semi－preinvex functions and semi－preinvex functions，and some propertieswere concluded.

B－strong semi－preinvex functions；semi－preinvex funetions；poperties

O221.6

A

1004-602X（2011）02-0020-04

2011 -03 -28

陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金資助課題（06JK152）

張文靜（1985—），女，陜西延安人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。