三階線性齊次微分方程的比較定理

周居政，秦宏立

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

三階線性齊次微分方程的比較定理

周居政，秦宏立

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

在二階線性微分方程 Sturm比較定理的基礎(chǔ)上，利用 Picone恒等式，給出一類三階線性齊次微分方程的 Sturm比較定理，所得結(jié)論推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果。

三階線性微分方程；Sturm比較定理；Picone恒等式；零點(diǎn)

0 引言

1836年瑞士數(shù)學(xué)家 Sturm首先提出了（p（t）x′（t））′＋q（t）x′（t）＝0的二階線性齊次微分方程解的零點(diǎn)分布的Sturm分離定理和比較定理。此后，鄧宗琦［1］研究了常微分方程邊值問題 Sturm比較理論；莊榮坤等［2］研究了二階非線性微分方程解的 Sturm比較定理；閻恩讓［3］等討論了二階微分方程的比較定理；文獻(xiàn)［4］中作者給出了三階線性齊次微分方程解的Sturm比較定理。到目前為止，Sturm比較定理的數(shù)學(xué)思想不僅在二階線性齊次微分方程和二階線性非齊次微分方程中得到了發(fā)展和應(yīng)用，甚至在高階線性方程和非線性方程以及偏微分方程中都得到了發(fā)展和應(yīng)用。本文考慮如下形式的三階線性齊次微分方程（p（t）x″（t））′＋q（t）x′（t）＝0的Sturm比較定理。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)如下形式的三階線性齊次微分方程

（此處 p1（t）≥p2（t）＞0，q1（t）≤q2（t），t∈［0，1］，p1（t），p2（t）∈C1（I），q1（t），q2（t）∈C（I），

I＝［0，1］）.

定義 1 設(shè)函數(shù)f（x）在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)a的值為零，則稱a為解析函數(shù) f（x）的一個(gè)零點(diǎn)。

定義2 設(shè)曲線 y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處有穿過曲線的切線，且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為曲線 y＝f（x）的拐點(diǎn)。

若對(duì)方程（1）式的兩端同乘以 y′（t），對(duì)方程（2）式的兩端同乘以 x′（t），便有

由于，（5）式的左端可以寫為

從而，上述（5）式便可改寫作

若對(duì)（6）式兩端從0到1積分便得到

由于上式右端的第二個(gè)積分中有x″（t）y″（t）的因子。于是，由二階 Picone恒等式的啟發(fā)，我們有下列引理。

引理 設(shè)x（t）與y（t）分別是方程（1）與（2）的非平凡解，且 α，β∈I是 x（t）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)，x′（t）與y′（t）分別是方程（1）與（2）的非平凡解的導(dǎo)函數(shù)，若y′（t）≠0，t∈（α，β），則在［α，β］上成立恒等式

證明

2 主要結(jié)果

定理 設(shè)方程（1）和（2）中的 p1（t），p2（t）∈C1（I），q1（t），q2（t）∈C（I），I＝［0，1］；又設(shè)方程（1）式的非平凡解x（t）的導(dǎo)函數(shù) x′（t）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)為 α，β∈I，且 α，β為x（t）的拐點(diǎn)；如果

（i）p1（t）≥p2（t）＞0；

（ii）q1（t）≤q2（t），t∈I.則方程（2）式的每個(gè)解 y（t）的導(dǎo)函數(shù) y′（t）在［α，β］上至少有一個(gè)零點(diǎn)。

證明 假設(shè)y′（t）在［α，β］上沒有零點(diǎn).可以令t∈（α，β）；x′（t）＞0，y′（t）＞0，

則對(duì)（7）式從α到β積分得到

即

由于α，β∈I是x′（t）的零點(diǎn)，即x′（α）＝x′（β）＝0；而p2（t）＞0，于是有

由此引出矛盾；除非p1（t）≡p2（t），q2（t）≡q1（t），此時(shí)就有

因此，x′（t）＝y(tǒng)′（t），即y′（α）＝y(tǒng)′（β）＝0，這又與假設(shè)相矛盾。

故定理得證。

［1］鄧宗琦.常微分方程邊值問題Sturm比較理論引論［M?.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1990.

［2］莊榮坤.二階非線性微分方程解的導(dǎo)函數(shù)的 Sturm比較定理［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001（1）：131－134.

［3］閻恩讓，王霞.二階微分方程的比較定理［J］.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998（4）：14－17.

［4］薛巧梅，秦宏立，張榮榮.三階線性齊次微分方程解的Sturm比較定理［J］.榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（4）：18－19.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Third Order Linear Homogeneous Differential Com parison Theorem

ZHOU Ju－zheng，QIN Hong－li
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

In the second order linear differential equation Sturm comparison theorem＇s foundation，by using the picone identical equation＇s，a kind of third order linear homogeneous differential equation was given the Sturm comparison theorem.Some resultswere generalized.

third order linear homogeneous differential equation；sturm comparison theorem；picone identical equation＇s inspiration；zero point

O175.11

A

1004-602X（2011）02-0018-02

2011 -03 -28

周居政（1985—），男，陜西渭南人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。