時(shí)間模上二階m-點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解

張 英 ，喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

1 預(yù)備知識(shí)

最近幾年，一些作者研究了兩-點(diǎn)、三-點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]和[2]，在2004年，郭顏平[1]運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理討論時(shí)間模上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程三-點(diǎn)邊值問(wèn)題

正解的存在性，馬如云[2]運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理討論時(shí)間模上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

正解的存在性。

本文運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理討論時(shí)間模上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程m-點(diǎn)邊值問(wèn)題

正解的存在性。其中，0 ＜ ξ1＜ ξ2＜ … ＜ξm－2＜ T，ξi∈(0，T)T，另外，我們還假設(shè)以下的條件成立：

(A2)f∈Crd([0，T]T×[0，∞)×(-∞，-∞)，[0，∞))。

2 正解的存在性

首先我們給出時(shí)間模上的一些基本知識(shí)[3]。

時(shí)間模是測(cè)度鏈的特殊情況，所謂時(shí)間模是指實(shí)數(shù)集R上的一非空閉子集，通常用T來(lái)表示一個(gè)時(shí)間模。稱 σ(t)＝inf｛s∈T ∶s＞t｝為前跳算子，ρ(t)＝sup｛s∈T ∶s＜t｝為后跳算子。如果 σ(t)＞t，稱 t為右分散點(diǎn)，而如果ρ(t)＜t，稱t為左分散點(diǎn)，如果σ(t)＝t，我們稱 t為右稠密點(diǎn)，而如果 ρ(t)＝t，稱為左稠密點(diǎn)。在時(shí)間模上，函數(shù)f∈Crd([T，R])的導(dǎo)數(shù)是這樣定義的：對(duì)函數(shù)f∶T→R，t∈Tk如果對(duì)任意給定的 ε＞0，存在 t的 δ＞0 鄰域 U=(t-δ，t+δ)，使得對(duì)所有的 s∈U，都 有那么稱fΔ(t)為f在t點(diǎn)的Δ－導(dǎo)數(shù)，

如果一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是存在的，則稱該函數(shù)是可微的。

如果FΔ＝f，稱F是f的一個(gè)原函數(shù)，并且定義積分當(dāng) T＝R 時(shí)，fΔ(t)＝f′(t)，當(dāng) T＝Z 時(shí)，fΔ(t)＝Δf(t)＝f(t＋1)－f(t)。

下面我們給出幾個(gè)引理。

引理 1[4]設(shè)y(t)∈Crd([0，T]T)，則邊值問(wèn)題(4)

有唯一的解

引理 2[4]設(shè)y(t)∈Crd([0，T]T)，則邊值問(wèn)題(4)的解 u(t)滿足 u(t)≥0。

引理 3[5]設(shè) y(t)∈Crd([0，T]T)，u(t)≥0，則邊值問(wèn)題(4)唯一的解u(t)滿足

引理 4[4]設(shè)則邊值問(wèn)題

的格林函數(shù)為

其中

是邊值問(wèn)題

的格林函數(shù)。

我們令E是一個(gè)巴拿赫空間，定義一個(gè)錐P?E假設(shè)α，β∶X→[0，∞)連續(xù)的凹函數(shù)且滿足

α(λu)＝｜λ｜α(u)，β(λu)＝｜λ｜β(u)，

其中 M＞0。

引理6[4]設(shè)r，L＞0是常數(shù)，且

Ω＝{u∈E ∶α(u)＜r，β(u)＜L}，

D＝{u∈E ∶α(u)＝r}，

X＝{u∈E ∶α(u)≤r，β(u)＝L}，

設(shè)A∶K→K是一個(gè)全連續(xù)算子，滿足

(C1)α(Au)＜r，u∈D∩K；

(C2)β(Au)＜L，u∈E∩K；

則 deg{I－A，Ω∩K，0}＝1。

引理7[4]在引理6的基礎(chǔ)上，設(shè)

(C3)α(Au)＞r，u∈D∩K；

(C4)β(Au)＜L，u∈K；

且存在一個(gè) p∈(Ω∩K){0}，α(p)≠0，α(u＋λp)≥α(u)，u∈K，λ≥0。則 deg{I－A，Ω∩K，0}＝0。

引理 8 設(shè) r2＞r1＞0，L＞0 是常數(shù)，且

Ωi＝{u∈E ∶α(u)＜ri，β(u)＜L}，i＝1，2，

Di＝{u∈E ∶α(u)＝ri}，

X＝{u∈E ∶α(u)≤r，β(u)＝L}

設(shè)A∶K→K是一個(gè)全連續(xù)算子，滿足

(C5)α(Au)＜r1，u∈D1∩K；

α(Au)＞r2，u∈D2∩K；

(C6)β(Au)＜L，u∈K；

且存在一個(gè) p∈(Ω∩K){0}，α(p)≠0，α(u＋λp)≥α(u)，u∈K，λ≥0。 則A在 (Ω2＼Ω1)∩K至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

令E＝Crd([0，T])是一個(gè)巴拿赫空間，其上泛數(shù)為定義一個(gè)錐K?E，且 K＝{u∈E ∶u(t)≥0，u 是凸的 t∈［0，T］T}。定義一個(gè)函數(shù)則max{α (u)，β (u)}，α (λu)＝｜λ ｜α (u)，β(λu)＝｜λ ｜β (u)，u∈E，λ ∈R，｜u｜≤{α(u)，β(u)}，α(u)≤β(u)，x，y∈K，x≤y。

下面假設(shè)存在 L＞b＞γb＞c＞0，使得 f(t，u，ν)滿足下列條件：

其中

令

f∈Crd([0，T]T×[0，∞)×(-∞，-∞)，[0，∞))。

定義

定理 設(shè)(H1)－(H5)成立，則邊值問(wèn)題(3)至少有一個(gè)正解 u(t)滿足 c＜α(u)＜b，｜uΔ(t)｜＜L。

證明令

Ω1＝{u∈E ∶｜u(t)｜＜c，｜uΔ(t)｜＜L}，

Ω2＝{u∈E ∶｜u(t)｜＜b，｜uΔ(t)｜＜L}是E中兩個(gè)開(kāi)子集，

D1＝{u∈E ∶α(u)＝c}，D2＝{u∈E ∶α(u)＝b}，則存在一個(gè) p∈(Ω2∩K){0}滿足 α(p)≠0 和 α(u＋λp)≥α(u)對(duì)所有的 u∈K，λ＞0。 對(duì)于 u∈D1∩K，α(u)∈c，從(H3)得到

對(duì)于 u∈D2∩k，α(U)＝b，由引理 3 得到 u(t)≥γα(u)＝γb，t∈[ξm-2，T]，由(H4)，可得

對(duì)于u∈K。從(H5)，有

由引理8，則A在(Ω2＼Ω1)∩K至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u滿足u＝Au，所以邊值問(wèn)題(3)唯一的解u(t)滿足

c＜α(u)＜b，｜uΔ(s)｜＜L。

[1]Yanping Guo，Weigao Ge.Positive Solutions For Three-point Boundary Value Problems with Dependence on The First Order Derivative[J].Math Anal Appl，2004，290：291-301.

[2]Ruyun Ma，Hua Luo.Existence of Solutions of a two-point Boundary Value Problems[J].J Appl Math Comput，2004，150：139-147.

[3]張炳根.測(cè)度鏈上微分方程的進(jìn)展[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，34(5)：907-912.

[4]Zhimin He.Existence of two Solutions of m-point Boundary Value Problems for Second order Dynamic Equations on Ttime Scales.[J].J Math Anal Appl，2004，296(1)：97-109.

[5]Ruyun Ma.Existence of Solutions of Nonlinear m-point Boundary Value Problems[J].Math Anal Appl，2001，256(2)：556-567.