周期邊界條件下2×2 Sturm-Liouville算子特征值的秩

婁珍珍 ,李靈曉

(1.凱里學(xué)院數(shù)理系,貴州凱里 556000;2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng) 471003)

0 前言

對(duì)于常型常微分算子的特征值問(wèn)題的討論,已經(jīng)知道可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)整函數(shù)零點(diǎn)的討論[1-5]。本文研究了2×2 Sturm-Liouville周期邊界條件問(wèn)題,闡明了特征值的秩與其相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)重?cái)?shù)是相一致的,該結(jié)論的給出對(duì)于特征展開(kāi)定理和跡公式的計(jì)算有著重要的意義。

1 問(wèn)題的提出

記

考慮下面周期邊界條件下的特征值問(wèn)題:

設(shè)φi=(φ1,φ2)T,(i=1,2,3,4)是4個(gè)滿(mǎn)足式(1)中第1式的解,分別在x=0處滿(mǎn)足

顯然,Wronsky行列式W[ф1(x),ф2(x),ф3(x),ф4(x)]=1,4個(gè)解線(xiàn)性無(wú)關(guān),可以構(gòu)造一個(gè)基礎(chǔ)解系。設(shè)

是特征函數(shù),則y(x)一定滿(mǎn)足式(1)中第2式的邊界條件,即

此式可依次寫(xiě)成以下齊次線(xiàn)性組:

由方程組有非零解知,系數(shù)行列式為零。記

命題1 記

(i)λ0為問(wèn)題(1)的特征值的充分必要條件是ω(λ0)=0。

(ii)R(λ0)+R(Ω(λ0))=4。

命題2 設(shè)Ψi(x,λ)(i=1,2,3,4)是4個(gè)滿(mǎn)足方程(1)第1式的解,記為

記ai=(ai1,ai2,ai3,ai4)T,i=1,2,3,4,其中ai≠0,如果ω(λ0)=0,且ΩTai=0,則(i)Ψi(x,λ0)是問(wèn)題(1)的特征函數(shù),且滿(mǎn)足

其中,i=1,2,3,4;j=1,2。

(ii)式(5)中極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中的個(gè)數(shù)為R(A)。

由Lagrange恒等式及文獻(xiàn)[6]可得:

引理1 設(shè)Ψi(x,λ0)是式(5)所給的特征函數(shù)(i=1,2,3,4),λ0是特征值,簡(jiǎn)記Ψi(x,λ0)為Ψi;記一元函數(shù)Ψ(π,λ)在λ=λ0處的取值為:

其中,i=1,2,3,4;j=1,2;k=1,2。記兩矢量函數(shù)ψ,ф內(nèi)積為 ＜ψ,ф＞,其定義為:

可得到16個(gè)恒等式,矩陣形式如下:

2 問(wèn)題的解決

定理1 設(shè)λ0為問(wèn)題(1)的特征值,其秩記為R(λ0),則R(λ0)=r(r=1,2,3,4)的充分必要條件是ω(i)(λ0)=0(i=0,1,…,r-1),且ω(r)(λ0)≠0。其中“(i)”代表ω(λ)=0關(guān)于λ的i次導(dǎo)數(shù)。

證明 由命題2的結(jié)論(2),以下按r=4證明定理的結(jié)論。

(i)R(A)=4,λ0對(duì)應(yīng)4個(gè)特征函數(shù)Ψi(x,λ0),r=1,2,3,4。

(ii)R(A)=3,ω(λ0)=ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(3)(λ0)≠0。

R(A)=2,ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。 R(A)=1,ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。

類(lèi)似(i)的步驟可證明以上結(jié)論,因篇幅有限,本文不再贅述。

[1] 呂勝關(guān),閆照東.一個(gè)三點(diǎn)邊值的Sturm-Liouville問(wèn)題的跡公式[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,33(2):1-5.

[2] 李靈曉,蘇婷.一個(gè)帶三點(diǎn)邊條件的特征值問(wèn)題的跡公式[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,27(3):79-82.

[3] 楊瀟,王永剛.一個(gè)帶三點(diǎn)邊條件的非線(xiàn)性特征值問(wèn)題[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(4):489-492.

[4] 趙曉花,李靈曉.一個(gè)四階微分算子的非線(xiàn)性特征值問(wèn)題[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28(4):78-80.

[5] 李祖平,李靈曉.一個(gè)帶周期邊界條件的非線(xiàn)性特征值問(wèn)題[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,27(1):72-74.

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