方勢(shì)阱中的束縛態(tài)

張子珍，楊成全，康占成

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

1905年,A.Einstein用Plank的量子假設(shè)去解決光電效應(yīng)問題時(shí),提出了光量子的概念。De Broglie仔細(xì)分析了光的微粒說及波動(dòng)說發(fā)展的歷史,提出了物質(zhì)波的假說。1926年,Born把微觀粒子的波動(dòng)性與粒子性統(tǒng)一起來,提出的幾率波概念。1927年,Heisenberg提出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,將經(jīng)典粒子的概念對(duì)微觀世界的適用程度作了最集中和最形象的概括。微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律就是Schrodinger方程,Schrodinger方程是量子力學(xué)中最基本的方程,其地位與Newton方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)。在不同的勢(shì)場(chǎng)作用下,求出Schrodinger方程的解析解比較困難,對(duì)有些勢(shì)場(chǎng)(如wood-Sxaon勢(shì),一維模型勢(shì)等)要嚴(yán)格求出其解析解幾乎不可能。為此,本文借助計(jì)算機(jī)編程,以有限深方勢(shì)阱為例來求Schrodinger方程的數(shù)值解,并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較,為求解Schrodinger方程提供一種簡(jiǎn)捷的方法。

1 Schrodinger方程的引入

與具有一定能量E及動(dòng)量p→的粒子相聯(lián)系的波是平面單色波,其表達(dá)式是

將上式對(duì)時(shí)間及坐標(biāo)求導(dǎo),并利用自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系 E＝p2／2m,可得

如果粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),經(jīng)典粒子的能量動(dòng)量關(guān)系式是

作用于波函數(shù)上,即得

(5)式就是定態(tài)Schrodinger方程。

其中E是分離變量時(shí)引入的常數(shù)。方程(4)的解是

2 定態(tài)Schrodinger方程的解

2.1 有限深方勢(shì)阱中的解析解

有限深方勢(shì)阱[1]的表達(dá)式為:

在勢(shì)阱內(nèi),Schrodinger方程為

奇宇稱態(tài)

(10)和(11)是超越方程組,用圖解法近似計(jì)算。在計(jì)算中取V0=1 000 MeV,a=4.0 Fm,m取質(zhì)子的靜止質(zhì)量,mc2=938 MeV?？勺鞒雠c方程組(10)和(11)對(duì)應(yīng)的圖 1和圖2。在圖1中,實(shí)線代表虛線代表 ξtgξ＝η。在圖 2 中,實(shí)線代表,虛線代表－ξctgξ＝η。

從兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)可算出,當(dāng)V0=1 000 MeV,a=4.0 Fm時(shí),各束縛態(tài)能級(jí)分別是E1=10.99 MeV,E2=44.51 MeV,E3=99.96 MeV,E4=176.85 MeV,E5=276.73 MeV。

圖1 偶宇稱態(tài)

圖2 奇宇稱態(tài)

2.2 有限深方勢(shì)阱中的數(shù)值解

2.2.1 坐標(biāo)空間的實(shí)穩(wěn)定方法

實(shí)穩(wěn)定方法是通過基展開的方法進(jìn)行求解。它是基于這樣的事實(shí):在分立能區(qū),各本征態(tài) (束縛態(tài))的能量不會(huì)隨基空間的維數(shù)而改變;而在連續(xù)能區(qū),本征態(tài)的能量多數(shù)會(huì)隨著基空間維數(shù)的增加而逐漸降低,這些態(tài)對(duì)應(yīng)于散射態(tài);還有一些本征態(tài)能量隨基空間維數(shù)的增加會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平臺(tái),這些態(tài)對(duì)應(yīng)于共振態(tài)[2]。實(shí)穩(wěn)定方法也可以在坐標(biāo)空間(離散的空間格點(diǎn)上)求解。通過改變坐標(biāo)空間的大小,可以得到本征能量隨格點(diǎn)數(shù)的變化關(guān)系。與基展開的方法類似,能量不隨坐標(biāo)空間格點(diǎn)數(shù)而改變的態(tài)就對(duì)應(yīng)于束縛態(tài),能量隨坐標(biāo)空間格點(diǎn)數(shù)的增加而減小的態(tài)就對(duì)應(yīng)于散射態(tài);而隨坐標(biāo)空間格點(diǎn)數(shù)的增加能量出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的平臺(tái),再增加格點(diǎn)數(shù),能量會(huì)逐漸減小,這樣的態(tài)就對(duì)應(yīng)共振態(tài)[3]。

2.2.2 數(shù)值求解過程

1)給定初始能量、兩端初始波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)值。

2)通過Runge-Kutta方法[4]向match點(diǎn)推近。

3)利用match點(diǎn)波函數(shù)是否光滑對(duì)接及節(jié)點(diǎn)數(shù)判斷初始能量是否合適。

4)若節(jié)點(diǎn)數(shù)符合,波函數(shù)光滑對(duì)接,歸一化波函數(shù)之后輸出計(jì)算結(jié)果。

5)若節(jié)點(diǎn)數(shù)不符,則改變能量初值,重新進(jìn)行計(jì)算,直到求得本征能量[5]。

2.2.3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

阱寬固定,阱深不斷加深,數(shù)值計(jì)算得出各束縛態(tài)的能級(jí)如表1。阱深為V0=1 000 MeV,阱寬為a=4.0 fm時(shí)數(shù)值計(jì)算得到的前3級(jí)波函數(shù)如圖3。

阱深固定,阱寬不斷增加,數(shù)值計(jì)算得到的各束縛態(tài)能級(jí)如表2。

從表2中可以看出,當(dāng)勢(shì)阱的深度與寬度比較接近時(shí),幾乎找不到束縛態(tài)。而固定阱寬,當(dāng)阱深加深時(shí)能級(jí)逐漸升高。當(dāng)阱深加深到V0=1.0×106MeV時(shí),它的各能級(jí)高度與無限深方勢(shì)阱的各能級(jí)高度就相當(dāng)接近了。可以推斷,阱寬不變,繼續(xù)加深阱深,各能級(jí)與無限深勢(shì)阱的極限值將會(huì)相當(dāng)吻合。

從表2中發(fā)現(xiàn),固定阱深,寬度越小,能級(jí)越高,寬度越大,能級(jí)越低。而且各能級(jí)的能量值與阱寬a2基本上符合反比規(guī)律。從表1和表2中均可發(fā)現(xiàn),當(dāng)阱寬和阱深固定時(shí),各能級(jí)的能量仍保持與量子數(shù)n2成正比的規(guī)律。

表1 阱寬,a=4.0 Fm,阱深由10～107MeV 變化時(shí)各束縛態(tài)能級(jí) 單位:MeV

圖3 阱深為V0=1000 MeV,阱寬為a=4.0 Fm時(shí)的前3級(jí)波函數(shù)圖

表2 阱深為V0=106MeV,阱寬由1.0～100.0 Fm變化時(shí)各束縛態(tài)能級(jí) 單位:MeV

3 兩種解的比較

為說明數(shù)值計(jì)算方法的有效性,下面將V0=1 000 MeV,a=4.0 Fm,得出的解析解與數(shù)值解進(jìn)行比較。表3中第2行為解析求解得到的能級(jí),第3行為數(shù)值計(jì)算得到的能級(jí)。從表3中的數(shù)據(jù)可以看出,數(shù)值解得到的能級(jí)與解析解得出的結(jié)果基本上是一致的。數(shù)值求解不僅計(jì)算準(zhǔn)確,更重要的是對(duì)于那些比較復(fù)雜的勢(shì) (如wood-Sxaon勢(shì),一維模型勢(shì)等),根本無法求出其解析解,但用數(shù)值求解時(shí),只要在程序中把勢(shì)的表達(dá)式換一下,方程就可迎刃而解。因此,數(shù)值計(jì)算為求解Schrodinger方程提供一種簡(jiǎn)捷而有效的方法。

表3 兩種解的比較 單位:MeV

[1]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷Ⅰ)[M].北京:科學(xué)出版社,1995:101-105.

[2]Hazi A U,Taylor H S.Stabilization Method of Calculating Resonance Energies:Model Problem[J].Phys Rev A,1970,1:1109.

[3]張力,周善貴,孟杰,等.單粒子共振態(tài)的實(shí)穩(wěn)定方法研究[J].物理學(xué)報(bào),2007,56(7):3839-3844.

[4]聶鐵軍.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:高等教育出版社,1990:247-256.

[5]譚浩強(qiáng),田淑清.FORTRAN語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,1986.