隨機(jī)弱大數(shù)定律和弱大數(shù)定律的充要條件

王 瑤

（太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030008）

隨機(jī)弱大數(shù)定律和弱大數(shù)定律的充要條件

王 瑤

（太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030008）

討論了任意隨機(jī)變量序列的弱大數(shù)定律，得到了隨機(jī)變量序列分別服從隨機(jī)弱大數(shù)定律和弱大數(shù)定律的充要條件，以及獨(dú)立隨機(jī)變量序列服從弱大數(shù)定律的相關(guān)結(jié)果。

隨機(jī)變量序列；隨機(jī)弱大數(shù)定律；弱大數(shù)定律

1 引言和引理

引理1［2］設(shè)η是隨機(jī)變量，g（x）是定義在［0，∞）的有界的不減函數(shù)，在0的右領(lǐng)域取正值，g（+0）=g（0）=0，則對于每個(gè)正數(shù)ε，有P（｜η｜≥ε）≤［g（ε）］－1Eg（｜η｜）。

證明 由已知條件知，對于每個(gè)正數(shù)ε，g（ε）＞0，則

其中，F(xiàn)η（x）是η的分布函數(shù)，從而引理1得證。

引理1是文獻(xiàn)［2］第33頁命題1.2.2的推廣。

引理2設(shè)η與g（x）是同引理1，則對于每個(gè)正數(shù)ε，有

證明

其中Fη（x）是η的分布函數(shù)，引理2得證。

引理2是文獻(xiàn)［2］第33頁命題1.2.3的推廣。

2 定理及證明

定理1設(shè)｛Xk；k≥1｝是隨機(jī)變量序列，每個(gè)EXk都存在，｛Un；n≥1｝是取正整數(shù)值的隨機(jī)變量序列，則｛Xk；k≥1｝，依｛Un；n≥1｝的隨機(jī)弱大數(shù)定律成立的充要條件是：存在定義在［0，∞）上的有界不減函數(shù)g（x），在0的右領(lǐng)域取正值，g（+0）=g（0）=0，使

證明 對于每個(gè)正數(shù)ε及滿足定理1條件的g（x），由引理1和引理2得到

從而得到

由此定理1得證。

推論1在定理1中，令Un=n，n≥1，得到｛Xk；k≥1｝服從弱大數(shù)定律的充要條件是：存在定義于［0，∞）的有界不減函數(shù)g（x）在0的右領(lǐng)域取正值，g（+0）=g（0）=0，

使Eg（｜Yn｜）→0，（n→∞），

定義1稱隨機(jī)變量序列｛Yn；n≥1｝是弱穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)序列｛an；n≥1｝和｛bn；n≥1｝，0＜an↑∞，使得

定理2對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列｛Xn；n≥1｝，存在常數(shù)列｛an；n≥1｝，0＜an↑∞。使得

的充要條件是：

注：

證明

充分性由（3）式對于任意給的δ＞0，

因此

由（4）式得到

由（2）式得到

因此，

結(jié)合（5）式和（6）式，得證（1）式成立。

必要性由引理3，我們只需要證明Xnk=Xk/an滿足無窮小條件即可。

對于一切的k＜N，存在N′=N′（ε，δ），使得n＞N′時(shí)，

而當(dāng)n≥N時(shí)，對于任意的n≥k，

得到：

結(jié)合（7）和（8）式得證無窮小條件滿足，從而定理證畢。

推論2：如果｛Xn；n≥1｝是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，那么存在常數(shù)序列｛bn；n≥1｝使

成立的充要條件是

nP（｜X1｜≥n）→0。

此bn=E｛X1I（｜X1｜＜n）｝+ο（1），特別地，如果附加條件

E｛X1I（｜X1｜＜n）｝→0，

則（9）式中的bn可取作0。

［1］吳紹敏.非獨(dú)立變量的隨機(jī)大數(shù)定理［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1981（1）：1－5.

［2］Laha R G，Rohatgi V K.Probability Theory［M］.America：John Wiley＆Sons，1979.

［3］張尚志.關(guān)于弱大數(shù)定律的充要條件［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1993（3）：61－65.

［4］林正炎，陸傳榮，蘇中根.概率極限理論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1999.

〔編輯 高海〕

Necessary and Sufficient Conditions of Stochastic Weak Law of Large Numbers and Weak Law of Large Numbers

WANG Yao
（Department of Maths and Physics，Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan Shanxi，030008）

In this paper，the author discusses weak law of large numbers for the arbitrary sequences of random variable，obtains the necessary and sufficient conditions，which random variables follow stochastic weak law of large numbers and weak law of larger numbers respectively and also gets some relevant results of weak law of larger numbers for independent random variables.

random variable sequences；stochastic weak law of large numbers；weak law of larger numbers

O211.4

A

1674－0874（2011）04－0010－03

2011－03－20

山西省高?？蒲虚_發(fā)項(xiàng)目［2010131］

王瑤（1979－），女，山西長治人，碩士，講師，研究方向：最優(yōu)化原理與方法。