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      海洋細(xì)長結(jié)構(gòu)參數(shù)激勵不穩(wěn)定區(qū)的確定方法

      2011-02-13 11:55:10徐萬海吳應(yīng)湘鐘興福劉培林馮現(xiàn)洪
      振動與沖擊 2011年9期
      關(guān)鍵詞:穩(wěn)定區(qū)傅里葉張力

      徐萬海,吳應(yīng)湘,鐘興福,何 楊,劉培林,馮現(xiàn)洪

      (1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院,天津 300072;2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所,北京 100190;3.海洋工程股份有限公司,天津 300451)

      21世紀(jì)是海洋經(jīng)濟時代,隨著世界經(jīng)濟的快速發(fā)展,能源短缺問題日益突出,由于陸上及近海的石油資源日益枯竭,深海油氣開發(fā)已成為各國能源戰(zhàn)略的重點。根據(jù)不同的海洋環(huán)境及經(jīng)濟方面的考慮,會采取不同的平臺開采方案,如張力腿平臺(TLP),SPAR平臺,半潛平臺等。不論海洋油氣開發(fā)采用何種平臺方案,張緊式細(xì)長柔性結(jié)構(gòu)如立管、張力腿等都會在其中扮演重要的角色。立管是進(jìn)行深水油氣開采必不可少的設(shè)備,它連接海底礦藏與海面的作業(yè)平臺,進(jìn)行鉆探、導(dǎo)液和泥漿等工作。張力腿一般為圓柱形結(jié)構(gòu),是連接張力腿平臺與海底錨固基礎(chǔ)的關(guān)鍵部件,提供平臺本體必要的結(jié)構(gòu)剛度。立管與張力腿結(jié)構(gòu)形式有很大的相似之處,最大的不同就是立管的軸向預(yù)張力比張力腿小,同時立管內(nèi)部有流體流動[1],如果忽略內(nèi)流影響,兩種結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析方法是一致的。

      張力腿等細(xì)長的海洋工程結(jié)構(gòu),主要受到兩種外部激勵形式的作用,一種是平臺縱蕩而產(chǎn)生的受迫振動,第二種是平臺垂蕩引起的參數(shù)振動[2,3]。前人的研究工作主要集中在兩方面:一種是將張力腿簡化為線性Euler-Bernoulli梁模型,同時考慮平臺縱蕩和垂蕩激勵作用[2,3];另一種是把張力腿看成非線性梁結(jié)構(gòu),為了簡單起見,僅考慮平臺的垂蕩激勵[4,5]。上述的兩種簡化方法,最終得到張力腿參數(shù)振動的控制方程均為Mathieu方程。當(dāng)采用非線性梁模型,同時考慮平臺垂蕩與縱蕩共同作用,研究張力腿的非線性動力響應(yīng)還很少見。綜合地考慮軸向與流向的非線性因素及耦合效應(yīng)時,張力腿參數(shù)振動的控制方程不再是Mathieu方程,而變?yōu)楦话愕?Hill方程[6]。

      本文的主要目的是給出不同情況下,Hill方程不穩(wěn)定區(qū)的確定方法,同時比較不同方法之間的不同之處,并給出各自的適用范圍。

      1 控制方程

      張力腿被簡化為兩端簡支的梁結(jié)構(gòu),假設(shè)頂端平臺的運動是關(guān)于時間的簡諧函數(shù),采用Han和Benaroya[7]提出的非線性模型,忽略轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響,應(yīng)用Galerkin法和模態(tài)展開原則,得到描述張力腿等細(xì)長的海洋工程結(jié)構(gòu)參數(shù)激勵系統(tǒng)的無量綱Hill方程[6]:

      Ua,Va分別為平臺垂蕩和縱蕩的幅值,L為張力腿的長度。

      2 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域確定方法

      Hill方程的解會根據(jù)不同的δ,ε和M組合而變得穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。由于水動力阻尼的存在,張力腿等一般不會發(fā)生參數(shù)失穩(wěn)。但在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi),張力腿的動力響應(yīng)幅值明顯大于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的結(jié)果,所以確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域是十分必要的。關(guān)于不穩(wěn)定區(qū)的分析有很多種方法,其中攝動方法和傅里葉分析是比較常用的。

      2.1 變形參數(shù)法[8]

      令:

      將式(4)代入Hill方程式(1),根據(jù)ε的階次整理:

      方程(5)的解必須是周期為π或2π的周期函數(shù):

      因此:

      由于變形參數(shù)法確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)時,隨著n數(shù)值的增加計算量會變得相當(dāng)可觀。在此只討論n=0,1,2 的情況。

      (1)n=0時

      δ0=0,有v0=a,于是:

      v1必須是周期的,因此δ1=0,化簡求解式(10),并將v1代入式(7)中:

      其中NST為長期項,消去長期項,得到邊界曲線為:

      (2)n=1時

      當(dāng)n≠0時,方程(5)的通解為:

      把式(13)代入式(6):

      當(dāng)n=1時,消去式(14)中的長期項:

      消去式(17)中的長期項,邊界曲線為:

      消去式(19)的長期項,邊界曲線為:

      (3)n=2時

      當(dāng)n=2時,消去式(14)中的長期項:

      消去式(23)中的長期項,邊界曲線為:

      消去式(25)中的長期項,邊界曲線為:

      2.2 改進(jìn)的變形參數(shù)法

      應(yīng)用變形參數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域的理論分析時,必須滿足ε?1,很多情況下,ε?1的假設(shè)并不滿足,所以傳統(tǒng)的變形參數(shù)法已經(jīng)不再適用。很多學(xué)者對該方法進(jìn)行了改進(jìn)[9,10],改進(jìn)的變形參數(shù)法可以用來確定參數(shù)激勵的幅值不是很小的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)。

      設(shè)δ是ε的多項式函數(shù),即:

      式中:δ0,ω1,ω'2,ω'3,…均為任意常數(shù)。由于 ε 可以不是小量,引入一個新的小參數(shù):

      于是式(27)可以寫成:

      式中:δ0,ω1,ω2,ω3,…均為任意常數(shù)。

      令:

      把ε,δ,v的表達(dá)式代入式(1)中,比較α的同次冪項系數(shù):

      運用變形參數(shù)法確定參數(shù)振動不穩(wěn)定區(qū)相同的公式推導(dǎo)方法,最終得到相應(yīng)的邊界曲線表達(dá)式:

      (1)n=0時

      邊界曲線為:

      (2)n=1時

      為消除方程中的長期項,需滿足如下關(guān)系式:

      邊界曲線為:

      邊界曲線為:

      (3)n=2時

      為消除方程中的長期項,需滿足如下關(guān)系式:

      邊界曲線為:

      邊界曲線為:

      2.3 傅里葉分析法

      當(dāng)δ和ε是小參數(shù)時,Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域根據(jù)攝動方法可以獲得,但是實際的海洋環(huán)境條件下,δ和ε不再是小參數(shù),變形參數(shù)方法不再適用,而改進(jìn)的變形參數(shù)方法僅僅能分析ε~1的情況,大參數(shù)情況下同樣不適用。所以需要采用傅里葉分析法來確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域。

      當(dāng)δ是方程(1)的可列特征值時,下面的周期解滿足式(1)[11]

      把方程(44)、(45)、(46)和(47)代入式(1),相應(yīng)的cos(2nτ),cos(2n+1)τ,sin(2nτ)和 sin(2n+1)τ 各項前面系數(shù)等于0,經(jīng)過整理,得到無窮項的行列式關(guān)系如下:

      可以根據(jù)實際工程設(shè)計需要,截取有限項n,應(yīng)用簡單的數(shù)值方法可以得到Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像。

      3 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像

      應(yīng)用MATLAB軟件畫出變形參數(shù)法以及改進(jìn)的變形參數(shù)法得到的Hill方程不穩(wěn)定區(qū),分別取M=0,M=0.25,M=0.5,圖1和圖2分別給出了用上述兩種攝動方法得到的Hill方程的前3階不穩(wěn)定區(qū)。

      然后給出傅里葉分析方法獲得的不穩(wěn)定區(qū)。為了簡化計算過程,同時保證最終結(jié)果的正確性和足夠的精度,截取式(48)~式(51)中的有限10項,分別取M=0,M=0.25,M=0.5,應(yīng)用 MATLAB 軟件編程,畫出大參數(shù)情況下方程(1)的不穩(wěn)定圖,δ和ε的取值范圍限定在0到20,圖3給出了Hill方程(1)的前3階不穩(wěn)定區(qū)。對比圖1、圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn),大參數(shù)情況下,Hill方程(1)的不穩(wěn)定區(qū)相比于小參數(shù)情形,具有明顯的不同。

      4 結(jié)論

      本文給出了三種不同的確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)方法、分別為變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法及傅里葉分析法,通過對三種方法優(yōu)缺點的對比,可以得到如下結(jié)論:

      (1)參數(shù)激勵系統(tǒng)的控制方程是小參數(shù)的Hill方程時,可以采用變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法分析其不穩(wěn)定特性,分析結(jié)果具有較高的精度。但計算量會隨著不穩(wěn)定區(qū)階數(shù)的提高,變得十分巨大。

      (2)參數(shù)激勵系統(tǒng)的控制方程不是小參數(shù)的Hill方程時,需要采用傅里葉分析法討論其解的不穩(wěn)定性,實際計算表明,傅里葉分析法可以根據(jù)需求得到高階不穩(wěn)定區(qū),并且其思路簡單,計算量不大,建議在張力腿、立管等細(xì)長海洋結(jié)構(gòu)的設(shè)計計算過程中采用。

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      [5]Chatjigeorgiou I K,Mavrakos S A.Nonlinear resonances of parametrically excited risers numerical and analytic investigation for Ω =2ω1[J].Computers and Structures,2005,83:560-573.

      [6]Xu W H,Zeng X H,Wu Y X.Hill instability analysis of TLP tether subjected to combined platform surge and heave motions[J].China Ocean Engineering,2008,22(4):533-546.

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      [8]Nayfeh A H.Introduction to Perturbation Technique[M].New York:Wiley,1981.

      [9]袁鎰吾,張 偉.參數(shù)激勵的幅值不是很小時Mathieu方程的一種解法[J].應(yīng)用力學(xué)報,2000,17(3),128-132.

      [10]張海燕,唐友剛,謝文會,用改進(jìn)的變形參數(shù)法求解強參數(shù)激勵Mathieu方程[J].天津大學(xué)學(xué)報,2006,39(11),1289-1292.

      [11] Patel M H,Park H I.Dynamics of tension leg platform tethers at low tension-part 1:Mathieu stability at large parameters[J].Marine Structures,1991,4:257-273.

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