功能梯度材料梁在后屈曲構(gòu)形附近的自由振動(dòng)

李清祿，李世榮

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050)

眾所周知，當(dāng)壓力超過(guò)臨界值后，梁將產(chǎn)生超出原直線平衡狀態(tài)的后屈曲［1，2］。從梁的振動(dòng)理論可知，軸向力的作用將會(huì)對(duì)梁橫向振動(dòng)的固有頻率產(chǎn)生影響，因此研究彈性直梁在屈曲前后的自由振動(dòng)具有現(xiàn)實(shí)的工程背景。文獻(xiàn)［3，4］已對(duì)軸向力作用下均質(zhì)彈性直梁在屈曲前的橫向自由振動(dòng)進(jìn)行了研究。功能梯度材料(functionally graded material，F(xiàn)GM)是一種非均質(zhì)復(fù)合材料［5］，在航空航天、汽車(chē)、生物及核工業(yè)等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。同時(shí)，由于該種材料在結(jié)構(gòu)中各組分呈連續(xù)變化，不存在明顯的界面與性能的突變，因此具有優(yōu)于一般層疊型功能材料的特性。近年來(lái)，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)已引起國(guó)際學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注［6-8］。由彈性穩(wěn)定性線性理論可知，結(jié)構(gòu)在面內(nèi)載荷作用下一階固有頻率為零時(shí)意味著結(jié)構(gòu)發(fā)生分岔失穩(wěn)。但結(jié)構(gòu)進(jìn)入后屈曲狀態(tài)后還會(huì)表現(xiàn)出繼續(xù)承受橫向載荷的能力，此時(shí)其自振頻率如何變化，特別是在后屈曲構(gòu)形附近各階頻率如何變化，目前還缺少定量的研究結(jié)果。對(duì)于均勻梁在后屈曲附近的自由振動(dòng)問(wèn)題以后一些研究結(jié)果，文獻(xiàn)［9］根據(jù)可伸長(zhǎng)梁的幾何非線性理論，建立了加熱彈性梁振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了梁在基本熱過(guò)屈曲構(gòu)形附近的各階小振幅振動(dòng)模態(tài)及其頻率響應(yīng)，并給出了頻率與升溫參數(shù)的關(guān)系曲線。文獻(xiàn)［10］建立了軸向載荷作用下彈性梁橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了梁在基本過(guò)屈曲構(gòu)形附近的各階小振幅振動(dòng)模態(tài)及其頻率響應(yīng)，給出頻率與軸向力參數(shù)的關(guān)系曲線。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)可伸長(zhǎng)梁的幾何非線性理論，建立FGM梁在軸向載荷作用下的幾何非線性動(dòng)力學(xué)控制方程，然后，在小振幅振動(dòng)假設(shè)下將控制方程進(jìn)行線性化處理，得到FGM彈性梁在后屈曲構(gòu)形附近微幅振動(dòng)的控制方程。采用打靶法數(shù)值求解所得強(qiáng)非線性邊值問(wèn)題，獲得一端可移簡(jiǎn)支一端固定的FGM Euler梁在后屈曲構(gòu)型附近的頻率響應(yīng)，給出頻率與軸向力參數(shù)的特征關(guān)系曲線。

1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

考慮由功能梯度材料制成的Euler梁，初始長(zhǎng)度為l，寬度為b，厚度為h。其一端可移簡(jiǎn)支、一端固定，受水平壓力p作用。上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，中間是由陶瓷到金屬的連續(xù)過(guò)渡。假設(shè)功能梯度梁的物性參數(shù)沿厚度按冪函數(shù)形式連續(xù)變化。

1.1 本構(gòu)方程

假設(shè)陶瓷材料的體積分?jǐn)?shù)為:

FGM的等效物性參數(shù)可表示為:

其中Xc及Xm分別表示陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)，n稱(chēng)為FGM的梯度指標(biāo)。

由Kirchhoff平截面假設(shè)，橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)變?yōu)?

其中R為軸線伸長(zhǎng)率。

應(yīng)力應(yīng)變表示為:

其中E(y)為FGM梁的彈性模量，由式(4)可得FGM梁的彈性模量為:

其中Ec和Em分別為陶瓷材料和金屬材料的彈性模量。

軸力N和彎矩M分別為:

1.2控制方程

將慣性力看作分布載荷，可得FGM梁在對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程:

其中:t為時(shí)間變量;x為水平坐標(biāo)，與梁未變形時(shí)的軸線重合;u(x，t)和w(x，t)分別為軸線上物質(zhì)點(diǎn)在水平和鉛直方向的位移;θ(x，y)為變形后軸線切線與軸的夾角;H(x，t)和V(x，t)分別為內(nèi)力合力在水平和鉛垂方向的分量;M為彎矩;I0，I1分別為梁軸線伸長(zhǎng)后單位長(zhǎng)度的質(zhì)量分布和單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩;R為軸線伸長(zhǎng)率。

其中:

引入無(wú)量綱變換:

可得無(wú)量綱控制方程:

方程(11)為軸向力作用下FGM Euler梁幾何非線性自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程精確數(shù)學(xué)模型。這是一個(gè)包含六個(gè)基本未知函數(shù)的強(qiáng)非線性偏微分方程的混合問(wèn)題，其中還考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力的影響。

2 過(guò)屈曲梁的小振幅自由振動(dòng)

為了討論梁在靜態(tài)過(guò)屈曲構(gòu)形附近的自由振動(dòng)，先將方程(11)的解表示為:

其中:Us，Ws，θs，Hs，Vs，Ms為梁的靜態(tài)后屈曲問(wèn)題解

2.1 靜態(tài)部分控制方程

靜態(tài)軸線伸長(zhǎng)率Rs為:

2.2 動(dòng)態(tài)部分的控制方程

Ud，Wd，θd，Hd，Vd，Md為梁的振動(dòng)問(wèn)題解。這里只研究后屈曲梁的線性振動(dòng)問(wèn)題，為此，在振動(dòng)方程中令sinθd= θd，cosθd=1，并只保留動(dòng)態(tài)響應(yīng)函數(shù)的線性項(xiàng)。并假設(shè)線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)模式為:

則得FGM屈曲后梁小振幅振動(dòng)的控制方程:

如果令Hs=0，Us=Ws=θs=Vs=Ms=0，則上述方程退化為屈曲前梁的線性振動(dòng)問(wèn)題。

2.3 邊界條件

靜態(tài)后屈曲問(wèn)題及其振動(dòng)問(wèn)題的邊界條件為:

3 數(shù)值方法及結(jié)果

采用打靶法［7］求上述邊值問(wèn)題的數(shù)值解。將方程(12)和(14)聯(lián)立求解，同時(shí)獲得后屈曲狀態(tài)解和振動(dòng)解，需要求解的基本未知量總共有12個(gè)，其中包含頻率參數(shù)ω。

在具體數(shù)值計(jì)算時(shí)，取梁的長(zhǎng)細(xì)比λ=150。圖1給出了一端可移簡(jiǎn)支、一端固定的Euler FGM梁在后屈曲構(gòu)形附近小振幅振動(dòng)的前三階無(wú)量綱頻率ω與軸向力P之間的特征關(guān)系曲線，其中虛線表示屈曲前的情況，實(shí)線表示屈曲后的情況。

結(jié)果表明，在屈曲前FGM梁的前三階頻率均隨無(wú)量綱載荷單調(diào)遞減，這是由于軸向壓力的存在使梁的撓度增加，相當(dāng)于減少了梁的剛度，使固有頻率降低。在無(wú)量綱軸向壓力達(dá)到臨界載荷時(shí)，一階振動(dòng)頻率接近于為零，但二階以上頻率在梁的臨界失穩(wěn)狀態(tài)不為零。因?yàn)橹挥休S向載荷達(dá)到與振動(dòng)模態(tài)相同的屈曲模態(tài)所對(duì)應(yīng)的載荷特征值時(shí)，相應(yīng)的高階頻率才為零。在相同的載荷下純陶瓷梁(n=0)的固有頻率最大，純金屬(n→∞)梁的固有頻率最小，功能梯度材料梁的固有頻率介于兩者之間，且呈現(xiàn)相同的變化趨勢(shì)。

圖1 前三階無(wú)量綱頻率與載荷之間的關(guān)系Fig.1 Characteristic relationship between frequency ω and load P

另外，由圖1可見(jiàn)，各階頻率與載荷的特征曲線都在P=Pcr處出現(xiàn)轉(zhuǎn)折。這是由于結(jié)構(gòu)的靜態(tài)平衡構(gòu)形在此處發(fā)生了分岔。而分岔點(diǎn)正是結(jié)構(gòu)從原始直線平衡狀態(tài)進(jìn)入曲線平衡狀態(tài)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。從曲線的變化趨勢(shì)來(lái)看，載荷對(duì)一階頻率的影響最為明顯。結(jié)果表明FGM梁在屈曲前后自由振動(dòng)頻率受軸向力的影響較大。從變化速率來(lái)看，屈曲前二階和三階頻率呈現(xiàn)為近似的線性關(guān)系。屈曲后一階頻率先增大然后有降低趨勢(shì)，二階頻率先增大然后急劇減小，而三階頻率先減小后增加然后又減小。圖1中在將功能梯度梁退化為均勻各向同性梁的情況下(n=0)可以看出，P=0處各階無(wú)量綱頻率分別為 ω1=15.411、ω2=49.923、ω1=104.027，與文獻(xiàn)［11］中結(jié)果比較，可以看出兩者十分接近。

4 結(jié)論

基于軸線可伸長(zhǎng)理論，建立了FGM Euler梁在屈曲構(gòu)形附近自由振動(dòng)的幾何非線性精確模型。在小振幅振動(dòng)的假設(shè)下，由一般模型退化得到后屈曲FGM梁線性振動(dòng)的控制方程。采用打靶法分別獲得了一端可移簡(jiǎn)支一端固定FGM梁在屈曲前和屈曲后的前三階無(wú)量綱固有頻率隨無(wú)量綱載荷變化的特征關(guān)系曲線。結(jié)果表明:

(1)梁在未屈曲時(shí)，各階頻率都隨載荷而單調(diào)下降;當(dāng)載荷達(dá)到臨界值時(shí)，一階振動(dòng)頻率為幾乎接近于零;但是，二階以上頻率在臨界載荷處大于零。

(2)屈曲后，一階振動(dòng)的固有頻率先增大然后有降低趨勢(shì)，二階頻率先增大然后急劇減小，而三階頻率先減小后增加然后又減小。

(3)隨著梯度指數(shù)的增大，梁的固有頻率降低。上述結(jié)果從理論上證明，可以通過(guò)控制載荷及其梯度指數(shù)的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率的調(diào)節(jié)。

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