土質(zhì)邊坡空間臨界滑動(dòng)面搜索的優(yōu)化算法

李同錄，王劉華，張常亮，李 萍

（長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西西安710054）

0 引言

1915—1916年，Peterson在對(duì)瑞典Goetebborg采石場(chǎng)邊坡破壞形態(tài)研究的基礎(chǔ)上，首先提出了將均質(zhì)土坡滑動(dòng)面近似看作是一個(gè)圓弧的邊坡穩(wěn)定性分析方法，此后瑞典巖土工程學(xué)會(huì)對(duì)大量邊坡特別是鐵路工程邊坡的調(diào)查也進(jìn)一步證實(shí)了該觀點(diǎn)［1］。目前已經(jīng)有多種基于圓弧滑動(dòng)面的邊坡穩(wěn)定性分析方法被提出，并在工程中廣泛應(yīng)用［2］。

然而，對(duì)于一個(gè)特定邊坡，計(jì)算模型是在給定滑動(dòng)面的情況下建立的。穩(wěn)定性評(píng)價(jià)還需要從無(wú)數(shù)個(gè)給定的圓弧滑動(dòng)面中找出穩(wěn)定系數(shù)最小的一個(gè)作為臨界滑動(dòng)面，這是一項(xiàng)繁瑣而復(fù)雜的工作。早期由于運(yùn)算能力低，邊坡穩(wěn)定性分析主要采用圖解法。Fellenius首先提出了圓弧條分法，并利用圖解法繪制成圖表，以便實(shí)際應(yīng)用［3］；Taylor提出的摩擦圓法也是基于圖解法制成圖表，這些圖表在中國(guó)的土力學(xué)教材中都有介紹［4］。

隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，處理大量的滑弧滑動(dòng)面已經(jīng)不再是難題。當(dāng)圓心和半徑大概的范圍給定，就可以對(duì)圓心區(qū)域網(wǎng)格化，對(duì)半徑按步長(zhǎng)增加，計(jì)算每個(gè)圓心網(wǎng)格點(diǎn)和給定半徑的對(duì)應(yīng)圓弧滑動(dòng)面的穩(wěn)定系數(shù)。根據(jù)所有圓心網(wǎng)格點(diǎn)的穩(wěn)定系數(shù)便可繪制穩(wěn)定系數(shù)等值線，由此可得出穩(wěn)定系數(shù)的最小值及與之相對(duì)應(yīng)的滑弧參數(shù)。如果斜坡是均質(zhì)土坡，那么只有一個(gè)極值，但如果由不止一種土層組成，且各土層性質(zhì)存在明顯區(qū)別，那么可能存在幾個(gè)極值，其中最小的一個(gè)就是所期望的值，目前普遍使用的商業(yè)軟件Geoslope就是采用這種算法［5－6］。一個(gè)圓有3個(gè)自由度，一般是圓心的x、y坐標(biāo)和半徑R。在某些情況下，如粘聚力c趨于0時(shí)，半徑R可能趨于無(wú)窮大，x和y坐標(biāo)遠(yuǎn)離斜坡，因此不容易得到一個(gè)包括臨界圓中心的限制區(qū)域（圖1）。在這種情況下，以上方法是不嚴(yán)密的。針對(duì)該方法的不足，李同錄等提出了一種更為嚴(yán)格的二維搜索方法［7］，筆者將該方法進(jìn)一步推廣到三維滑動(dòng)面進(jìn)行搜索。

1 臨界滑動(dòng)面搜索的優(yōu)化算法

圖1 滑弧中心無(wú)窮遠(yuǎn)與半徑無(wú)窮大的特殊情況Fig.1 Special Case That the Center and Radius of Slip Circle Is Far from the Slope

三維臨界滑動(dòng)面的搜索以二維為基礎(chǔ)，因此先介紹二維方法。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，假定x軸的正方向指向坡內(nèi)，z軸垂直，設(shè)點(diǎn)O（xO，zO）是給定滑弧的圓心（其中xO和zO分別代表點(diǎn)O的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，其他點(diǎn)類推），點(diǎn)A（xA，zA）和B（xB，zB）分別是剪入點(diǎn)和剪出點(diǎn)，通過(guò)A點(diǎn)做圓弧的切線并與x軸相交于點(diǎn)T（xT，0），首先，將圓心坐標(biāo)xO，zO和半徑RO等3個(gè)參數(shù)用A、B和T等3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示。

圖2 由A、B兩點(diǎn)和切線AT確定的圓弧滑動(dòng)面Fig.2 Illustration of Slip Surface Determined by Two Points A，Band Tangent Line AT

則圓弧滑面高程z的表達(dá)式為

滑坡坡面函數(shù)zs為

假定xA、xB給定，則zA、zB可以通過(guò)式（5）求得，且zT＝0。因此，滑弧實(shí)際是由xA、xB與xT3個(gè)參數(shù)控制的，且它們都可以控制在合理的有限域內(nèi)。從數(shù)學(xué)和幾何方面而言，xA和xB的定義域分別為xA∈（xE，＋∞）、xB∈（－∞，xF），然而此處不難給出一個(gè)合適的xA的右邊界值和xB的左邊界值。假定這兩個(gè)邊界值分別為xD、xG，則xA和xB的定義域分別為xA∈（xE，xD）、xB∈（xG，xF）。對(duì)于xT，由于滑弧不可能越過(guò)最右側(cè)的AI線，所以它的右邊界值應(yīng)該為xI＝xA，而它的左邊界值為xH。由于滑弧上的任何一點(diǎn)都不可能出現(xiàn)在邊坡坡面的上方，基于該限制條件，很容易確定xH的橫坐標(biāo)，并得到xT的定義域xT∈（xH，xA）。對(duì)于任何圓弧條分法，穩(wěn)定系數(shù)F都可以表示為通用函數(shù)式中：γ為土的重度；c為粘聚力；φ為內(nèi)摩擦角。 這3個(gè)參數(shù)反映土的屬性，可通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果或者經(jīng)驗(yàn)確定；坐標(biāo)xA、xB與xT為變量。接下來(lái)找到xA、xB與xT的一個(gè)確定值，使穩(wěn)定系數(shù)極小，該問(wèn)題用黃金分割法來(lái)求解。

如果邊坡土體是均勻的，F(xiàn)是凹函數(shù)，那么在整個(gè)循環(huán)過(guò)程中對(duì)應(yīng)每一個(gè)xA、xB與xT分別應(yīng)用黃金分割法，在循環(huán)運(yùn)行結(jié)束后，就可以得到使F達(dá)到極小值所對(duì)應(yīng)的xA、xB與xT的值，黃金分割法的整個(gè)過(guò)程如圖3。最后，由式（1）～（3）計(jì)算臨界滑弧的圓心和半徑。

圖3 用黃金分割法搜索土坡臨界滑動(dòng)面的流程Fig.3 Process for Searching the Critical Slip Surface by Golden Block Optimization Method

如果邊坡由不同土層組成，那么F可能會(huì)存在局部極值。在這種情況下，黃金分割法可能會(huì)找到某一個(gè)極值點(diǎn)，但是并不一定是F的最小值。因此，首先按一定步長(zhǎng)改變xA、xB與xT，找出所有局部極值域，然后在每一個(gè)極值域中運(yùn)用黃金分割法求極小值，所有極小值中的最小值就是最終的結(jié)果。

基于上述討論，對(duì)于給定的土質(zhì)邊坡，搜索其臨界滑動(dòng)面的具體步驟。

（1）確定xA、xB與xT的合理區(qū)間，即xA∈（xE，xD）、xB∈（xG，xF）、xT∈（xH，xA）。

（2）按xA、xB、xT的順序，采用黃金分割法由外向內(nèi)劃分黃金分割點(diǎn)，當(dāng)?shù)阶罾锶r(shí)就可以確定xA、xB與xT的一個(gè)設(shè)定。

（3）將xA、xB與xT代入式（1）～（4）計(jì)算xO、zO以及滑弧的半徑RO，并檢驗(yàn)滑弧方程式z。

（4）將式（1）～（3）及相關(guān)土性參數(shù)代入式（6），計(jì)算F。

（5）重復(fù)以上（2）到（4），每一次循環(huán)都可以得到3個(gè)F值，通過(guò)比較這些值縮減相應(yīng)變量的區(qū)間。

（6）最后，當(dāng)xA、xB與xT的所有區(qū)間長(zhǎng)度減小到給定誤差以內(nèi)時(shí)循環(huán)結(jié)束。此時(shí)得到F的最小值及相應(yīng)的xA、xB與xT值。

（7）將xA、xB與xT代入式（1）～（3）計(jì)算xO、zO和RO，并畫出相應(yīng)的圓。

該算法與具體方法無(wú)關(guān)，對(duì)所有基于圓弧滑動(dòng)面的方法都適用（如簡(jiǎn)化Bishop法）。

2 三維臨界滑動(dòng)面搜索

二維極限平衡法適合側(cè)向延伸遠(yuǎn)且坡面形態(tài)簡(jiǎn)單的邊坡，該類邊坡屬于平面應(yīng)變問(wèn)題，取其中一個(gè)單位寬度的窄條來(lái)分析。二維方法沒(méi)有考慮邊坡的側(cè)向約束力，代表了最保守的情況。如果邊坡地形條件復(fù)雜，如發(fā)育在溝谷或凸出的山梁上，邊界效應(yīng)十分突出，采用二維方法可能低估了其穩(wěn)定性，此時(shí)應(yīng)該采用三維方法。

對(duì)于均質(zhì)土坡，三維臨界滑動(dòng)面一般假定為旋轉(zhuǎn)橢球體。這一方面是大量破壞面觀察近似反映出該種形態(tài)特征，另一方面該假定保持了與二維圓弧滑動(dòng)面的假定一致性，因?yàn)樾D(zhuǎn)橢球的任一縱斷面都是圓（圖4），旋轉(zhuǎn)橢球體的方程可用下式表示

令式（7）的y＝0，則簡(jiǎn)化為中軸面的圓弧方程。式（7）比圓弧方程多了一個(gè)橢球體的橫向半徑Rb，由此橢球滑動(dòng)面的方程為

圖4 三維邊坡破壞面形態(tài)Fig.4 Fracture Sufrace Pattern of Three－dimensional Earth Slope

對(duì)于任一三維穩(wěn)定性計(jì)算方法，其穩(wěn)定系數(shù)可表示為

由式（9）可見(jiàn)，三維滑動(dòng)面的搜索比二維多了一個(gè)自由度Rb，即旋轉(zhuǎn)橢球的橫向半徑。式（9）適合具有旋轉(zhuǎn)橢球滑動(dòng)面的任何三維極限平衡法。

以一種具體方法為例，說(shuō)明三維臨界滑動(dòng)面的搜索。目前的三維極限平衡法，基本上是基于二維極限平衡法的擴(kuò)展。張常亮等建立了三維通用極限平衡法［8］，給定特定的假定條件，可以簡(jiǎn)化為具體方法。為了和二維簡(jiǎn)化Bishop法比較，將通用法簡(jiǎn)化為三維Bishop法［9］其計(jì)算公式為

式中：dW為微條柱的體力；dAz為微條柱底滑面的面積；dNz為微條柱底部法向力；u為孔隙水壓力；FM為基于整體力矩平衡的穩(wěn)定系數(shù)；αx為xOz平面上滑動(dòng)面與x軸的夾角；αy為yOz平面上滑動(dòng)面與y軸的夾角；αx、αy分別用滑動(dòng)面方程求導(dǎo)來(lái)確定，即

Ry為橢球在垂直y軸、對(duì)應(yīng)y取值的截面圓的半徑，由式（7）求得，即

當(dāng)y＝0時(shí)

將以上參數(shù)代入式（10）就簡(jiǎn)化為二維簡(jiǎn)化Bishop法的公式，即

式中：mα＝cosαx＋tanφsinαx／FM。

式（10）的分子和分母項(xiàng)都可以用數(shù)值積分，如Gauss積分求解，xL、xH、yL、yH分別代表x和y方向的積分邊界。數(shù)值積分時(shí)，可不考慮潛在滑動(dòng)區(qū)的實(shí)際邊界，積分邊界取x和y方向邊界（即橢球和地面的交線）的最大、最小值，相當(dāng)于在一個(gè)矩形域求解。計(jì)算時(shí)對(duì)每一積分點(diǎn)做判斷，若地面高程小于橢球面，則不參與計(jì)算，其結(jié)果等效于按實(shí)際邊界積分。

二維圓弧滑動(dòng)面搜索時(shí)，F(xiàn)M隨著xA、xB、xT的變化總能找到極小值。通過(guò)文獻(xiàn)［10］的一個(gè)算例來(lái)分析FM隨Rb的變化規(guī)律。該坡體為一均質(zhì)土坡，土性和幾何參數(shù)如圖5，并假定橫向無(wú)限延伸。首先利用二維簡(jiǎn)化Bishop法找出二維臨界滑動(dòng)面，其圓心為（36.6，27.4），半徑RO為24.4m，穩(wěn)定系數(shù)為2.08。

圖5 用于三維計(jì)算的一個(gè)算例Fig.5 Worked Case for Three－dimentional Calculation

分別取Rb為RO的0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、4.0、6.0倍，計(jì)算三維穩(wěn)定系數(shù)。給定Rb后，式（9）的自由變量與式（6）相同，除計(jì)算公式采用式（10）外，與二維算法相同（圖6）。

圖6 算例和案例中橢球長(zhǎng)短軸之比與穩(wěn)定系數(shù)的關(guān)系Fig.6 Correlation Between the Ratios of Major and Minor Axises and the Factors of Safety for Worked and Real Cases

由圖6可見(jiàn)，邊坡的三維穩(wěn)定系數(shù)隨著滑動(dòng)面橫向?qū)挾鹊脑龃蠖鴾p小，當(dāng)長(zhǎng)軸與短軸之比Rb／RO小于3時(shí)，三維效應(yīng)十分明顯，三維穩(wěn)定系數(shù)隨著Rb／RO的增大而急劇減??；Rb／RO大于3時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)的變化趨于平穩(wěn)；當(dāng)Rb→∞時(shí)，三維FM趨近于二維FM。李同錄等利用三維Sarma法也得出了類似的結(jié)果［11］。

以上結(jié)果表明，三維穩(wěn)定系數(shù)隨著滑動(dòng)面寬度增大而單調(diào)減小，不存在極小值，但存在極限值，當(dāng)寬度無(wú)限大時(shí)，極限值逼近二維穩(wěn)定系數(shù)，二維穩(wěn)定系數(shù)是三維的下限。但三維穩(wěn)定系數(shù)隨滑動(dòng)面寬度變化具有明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，若用橢球滑動(dòng)面的橫縱半徑之比大于3時(shí)，邊坡穩(wěn)定性分析可簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題；小于3時(shí)，應(yīng)當(dāng)按三維分析。前者如道路工程中開(kāi)挖的長(zhǎng)邊坡、河流侵蝕形成的直線岸坡等；后者如發(fā)育在溝槽或梁峁處的自然邊坡或者基坑的拐角處等。

橫向無(wú)限延伸的邊坡實(shí)際屬于二維問(wèn)題，所以三維結(jié)果逼近二維。具有三維屬性的邊坡，邊坡破壞范圍可結(jié)合邊坡實(shí)際邊界條件加以界定，再利用橢球滑動(dòng)面擬合，以便計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)。給定約束條件后，也可能存在極值。

3 工程實(shí)例

現(xiàn)以西安咸陽(yáng)國(guó)際機(jī)場(chǎng)污水排放口黃土高邊坡為例說(shuō)明空間滑動(dòng)面搜索方法的具體應(yīng)用。該邊坡位于涇陽(yáng)縣高莊鎮(zhèn)傅家村黃土塬的北緣，咸陽(yáng)機(jī)場(chǎng)的污水經(jīng)過(guò)凈化處理后，用暗管引到此處塬頂，然后從塬頂引到坡腳，再經(jīng)明渠流入涇河。該邊坡高85m，坡度40°～50°，最陡處可達(dá)65°。斜坡北側(cè)為黃土塬，南側(cè)坡腳為涇河一級(jí)階地；東側(cè)為人工開(kāi)挖的弧形高邊坡，坡腳建有泵站，用于汲取涇河水，坡頂為廢棄的磚瓦廠；西側(cè)為天然沖溝，寬30余米，深22～50m，溝頭周圍為墓地（圖7）。

圖7 西安咸陽(yáng)國(guó)際機(jī)場(chǎng)排污口邊坡的衛(wèi)星影像Fig.7 Satellite Image of the Slope near the Outlet of the Sewage of Xi’an Xianyang International Airport

咸陽(yáng)國(guó)際機(jī)場(chǎng)污水渠于2003年開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，此前未做詳細(xì)勘查。2006年3月春灌時(shí)，有流水加泥從排放口西約60m處坡腳的裂縫中流出，淹沒(méi)塬下部分麥田，在斜坡上也形成沖溝。隨后到塬頂查看，發(fā)現(xiàn)大量灌溉水流入一張開(kāi)的裂縫，裂縫總長(zhǎng)近100m，局部寬度達(dá)120cm，平行邊坡近東西向展布，距坡頂邊緣43m。調(diào)查當(dāng)?shù)卮迕竦弥摿芽p在2001年3月春灌時(shí)就已出現(xiàn)，呈鋸齒狀延伸，出露長(zhǎng)度約100m，寬10～60cm，停止?jié)驳睾罅芽p未繼續(xù)發(fā)展，并因農(nóng)耕被掩埋。其后，該裂縫在每年灌溉時(shí)，仍時(shí)斷時(shí)續(xù)出現(xiàn)。為了防止灌溉水的進(jìn)一步灌入，2006年春灌后，當(dāng)?shù)卮迕裱亓芽p開(kāi)挖溝槽，用隔水土工布和灰土夯填進(jìn)行處理。但2008年春灌后，發(fā)現(xiàn)該裂縫再次張開(kāi)，說(shuō)明該斜坡處于不斷蠕變中。該斜坡滑動(dòng)可能直接造成污水排放設(shè)施的損毀，因此引起了機(jī)場(chǎng)管理部門的高度重視，要求對(duì)其做穩(wěn)定性評(píng)價(jià)。

構(gòu)成該邊坡的地層主要為第四系風(fēng)積黃土夾古土壤層。黃土呈棕黃色，結(jié)構(gòu)均勻，具大孔隙，垂直節(jié)理發(fā)育；古土壤呈褐紅色，具有粒狀結(jié)構(gòu)。自坡頂?shù)狡碌卓梢?jiàn)L1—S9層黃土－古土壤序列，下伏河流沖積相的致密黏土。坡面一般覆蓋10cm至數(shù)米的坡積黃土狀土，邊坡地層剖面如圖8。

圖8 西安咸陽(yáng)國(guó)際機(jī)場(chǎng)排污口邊坡地質(zhì)斷面Fig.8 Geological Profile of the Slope near the Outlet of the Sewage of Xi’an Xianyang International Airport

該邊坡的變形主要由灌溉水下滲引起。黃土下部的致密黏土是相對(duì)隔水帶，灌溉水沿坡頂裂縫集中下滲，到該層頂面被阻滯，使地下水位大幅度上升，圖8斜坡上鉆孔揭露的地下水位高程位于坡腳高程以上，灌溉時(shí)水位可能會(huì)更高。因此該邊坡剪出口應(yīng)位于潛水面附近的軟弱帶。

根據(jù)鉆孔試樣的物理力學(xué)性質(zhì)測(cè)試結(jié)果，土的重度和有效強(qiáng)度參數(shù)取值為：γ＝18.7kN／m3；γsat＝19.8kN／m3；c′＝45kPa；φ′＝30°。

為了分析灌溉水對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，分地下水位低和高兩種情況計(jì)算。前者是指地下水位在致密黏土中，即剪出口以下；后者指地下水位在坡腳以上的黃土中，按實(shí)測(cè)水位計(jì)算，地下水的影響范圍為灌溉區(qū)域，兩側(cè)的磚瓦廠和墓地沒(méi)有地表水補(bǔ)給，可認(rèn)為地下水位深。

首先根據(jù)地形和地表裂縫展布確定中軸面，再給定不同的橢球長(zhǎng)軸和短軸的比例計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)（圖5）。根據(jù)滑坡兩側(cè)地形條件的限制和后緣裂縫的展布范圍，當(dāng)RO為138.8m、Rb為267.5m時(shí)，滑動(dòng)面橢球和地面的交線與后緣裂縫和側(cè)緣邊界最為吻合，因此應(yīng)取Rb／RO為2.5對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)為實(shí)際穩(wěn)定系數(shù)值。由圖6可見(jiàn)，不考慮灌溉的情況下，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為1.12，處于基本穩(wěn)定狀態(tài)；考慮灌溉導(dǎo)致地下水位升高的情況下，邊坡的穩(wěn)定系數(shù)為1.04，由于鉆孔所測(cè)水位不在灌溉期，灌溉期水位可能更高，邊坡穩(wěn)定系數(shù)在灌溉期更低，此時(shí)邊坡接近臨界狀態(tài)。由此可見(jiàn)，該邊坡的變形主要由農(nóng)田灌溉引起。

為了分析潛在破裂面寬度對(duì)穩(wěn)定性的影響，圖6給出了不同的Rb／RO對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)，可以看出，不考慮灌溉時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)的變化和圖5的算例規(guī)律相同，隨Rb／RO的增大，穩(wěn)定系數(shù)減小，Rb／RO大于2.5時(shí)，趨于一個(gè)穩(wěn)定值1.12?？紤]灌溉時(shí)，總體規(guī)律也一樣，但在Rb／RO為2.5時(shí)，達(dá)到極小值1.04，隨后緩慢增大，此時(shí)的滑動(dòng)面與實(shí)際邊界條件吻合最好，這說(shuō)明在考慮實(shí)際地下水和地形等邊界條件的情況下，三維穩(wěn)定性計(jì)算也存在極小值。與不考慮地下水的情況比較表明，該極小值和地下水位局部上升有關(guān)，灌溉引起的高地下水位分布在張裂縫帶所在的有限范圍，潛在滑動(dòng)面底部與地下水位面達(dá)到最大吻合時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)達(dá)到極小，潛在滑動(dòng)面再擴(kuò)大，兩側(cè)水位降低，滑動(dòng)面在水位線以上，則整體穩(wěn)定性提高，穩(wěn)定系數(shù)增大。由此可見(jiàn)，三維邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)確定邊界條件尤為重要。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）均質(zhì)土坡三維潛在滑動(dòng)面可按旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)近似擬合，這和實(shí)際觀測(cè)基本吻合，也和二維圓弧滑動(dòng)面的假定一致，由此可將二維滑動(dòng)面的搜索方法推廣到三維滑動(dòng)面。

（2）對(duì)三維旋轉(zhuǎn)橢球滑動(dòng)面邊坡穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果表明，側(cè)向無(wú)限長(zhǎng)邊坡，三維穩(wěn)定系數(shù)沒(méi)有極小值，但有極限值。因此，當(dāng)邊坡側(cè)向延伸遠(yuǎn)，使旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)短軸之比大于3時(shí)，邊坡穩(wěn)定性分析可簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題；當(dāng)側(cè)向受地形條件或巖土條件限制，邊坡局限于一定范圍時(shí)，應(yīng)按三維分析。

（3）按三維分析時(shí)，應(yīng)結(jié)合邊坡的實(shí)際邊界條件，包括地形條件、巖土性質(zhì)和地下水動(dòng)態(tài)等，以便使邊坡潛在破裂面與邊界條件吻合，此時(shí)可能存在穩(wěn)定系數(shù)的極小值。

［1］ Taylor D W.Stability of Earth Dams［J］.Journal of Boston Society of Civil Engineering，1937，24（3）：197－246.

［2］ Bishop A W.The Use of Slip Circle in the Stability Analysis of Slopes［J］.Geotechnique，1954，5（1）：7－17.

［3］ Fellenius W.Calculation of the Stability of Earth Dams［C］∥United States Government Printing Office.Transaction of the 2ndCongress for Large Dams.Washington DC：United States Government Printing Office，1936：445－462.

［4］ 陳希哲.土力學(xué)地基基礎(chǔ)［M］.第2版.北京：清華大學(xué)出版社，1989.

［5］ 鄭 濤，張玉燈，毛新生.基于Geoslope軟件的土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析［J］.水利與建筑工程學(xué)報(bào)，2008，6（1）：6－8.

［6］ 王 勝，李云華，蘇 謙.基于Geoslope的高陡路基穩(wěn)定性分析［J］.路基工程，2008，20（5）：138－140.

［7］ 李同錄，鄧宏科，李 萍，等.搜索簡(jiǎn)單土坡潛在滑動(dòng)面的一種新方法［J］.長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)報(bào)：地球科學(xué)版，2003，25（3）：56－59.

［8］ 張常亮，李同錄，李 萍.三維極限平衡法通用形式的建立及應(yīng)用［J］.地球科學(xué)與環(huán)境學(xué)報(bào)，2010，32（1）：98－105.

［9］ Hungr O.An Extension of Bishop's Simplified Method of Slope Stability Analysis to Three Dimensions［J］.Geotechnique，1987，37（1）：113－117.

［10］ Zhang X.Three－dimensional Stability Analysis of Concave Slopes in Plane View［J］.Journal of Geotechnical Engineering，1988，114（6）：658－671.

［11］ 李同錄，王艷霞，鄧宏科.一種改進(jìn)的三維邊坡穩(wěn)定性分析方法［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2003，25（5）：611－614.