粘性層流流體速度分布的數(shù)值計算方法

肖潤梅

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同 037009)

粘性層流流體速度分布的數(shù)值計算方法

肖潤梅

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同 037009)

∶介紹了如何運用數(shù)值計算方法來求解粘性層流流體的速度分布，通過坐標系轉化理論、連續(xù)性方程、Navier-Stokes方程導出有關速度的非線性微分方程，運用數(shù)值計算方法分別對對稱性速度流體和非對稱性速度流體進行數(shù)值求解，其結果對深入了解粘性流體運動的基本規(guī)律有著重要的現(xiàn)實意義。

∶Navier-Stokes方程;粘性層流流體;數(shù)值計算方法

對牛頓流體運動的研究已經(jīng)歷了50多年的發(fā)展歷程，Navier-Stokes(納維葉-斯托克斯)方程[1]的運用成功地對粘性層流流體的運動進行了分析和描繪。但由于Navier-Stokes方程自身非線性的特點以及流體幾何的復雜性，準確的分析求解Navier-Stokes方程是一個重要的研究課題。到目前為止，只有極少數(shù)非常簡單的流動問題才能求得其精確解，大多數(shù)還是要通過離散方法求得數(shù)值解。所以對Navier-Stokes方程的數(shù)值解法的研究還是非常有現(xiàn)實意義的[1-5]。

本文主要通過數(shù)值計算方法對應運于二維層流流動的Navier-Stokes方程進行精確的數(shù)值求解。二維層流流動作為一種特殊的粘性流體，其速度并不呈現(xiàn)隨機波動的特性。因此，我們假設流體的流動是單一方向的，而在垂直方向上的速度分量僅僅隨橫向的變化而變化?，F(xiàn)運用直角坐標系的轉化理論[3]，將二維流體的速度矢量轉化為在曲線坐標系下的具有單一方向的速度矢量，運用連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程，分別對對稱性速度流體和非對稱性速度流體進行精確的求解。

1 對稱性速度流體分布計算

為了研究對稱性速度流體分布特性，現(xiàn)以凹型管道的速度分布為例。凹型管道的直角坐標系方程為

ξ1為直角曲線坐標系統(tǒng)下的向量表述，由此可以得到:

相應的度量系數(shù)為

克里斯托費爾符號

由在任意曲線坐標系下的連續(xù)方程[4]，可以得到:

對方程(6)求積分可得:

將連續(xù)方程代入Navier-Stokes方程，并且忽略重力項，可以得到流體在兩個方向上的Navier-Stokes方程。

在ξ1方向:

在ξ2方向:

消除壓力項，并除以最大值Fmax，就可以得到無量綱的速度方程:

雷諾數(shù)對曲線管道速度分布有著極大的影響，雷諾數(shù)定義為:

I是管道的長度.

所以

對方程(12)求積分可以得到:

對上述非線性微分方程的求解可以采用四階五級Runge-Kutta變步長算法[5]，在每一個計算步長內(nèi)對函數(shù)進行六次求值，以保證更高的精度和數(shù)值穩(wěn)定性，該算法又稱為四階五級FRK算法。下面我們以具體事例求解方程。

定義凹型管道半徑為0.8m，長度從10到15m，那么方程(13)的邊界條件和初始調(diào)節(jié)變?yōu)?/p>

邊界條件:ξ2=±0.8，φ=0;

初始條件:ξ2=0，φ=1。

無量綱的速度分布為:

由于最大的無量綱速度umax在ξ2=0處，即速度曲線對稱。所以我們只需要求解方程在ξ2∈(-0.8,0)處。圖1和圖2顯示了在ξ1=12、14處，在不同雷諾數(shù)下的速度分布。

圖1 在ξ1=12處，不同雷諾數(shù)的速度分布

圖2 在ξ1=14處，不同雷諾數(shù)的速度分布

將速度分布曲線放入坐標系中，我們就可以得到完整的層流流體通過凹形管道在不同雷諾數(shù)下的分布曲線，見圖3:

圖3 凹型管道流動在不同雷諾數(shù)下的速度分布

2 非對稱性速度流體分布計算

本文以對數(shù)裸線管道流體的流動為例，來研究非對稱性速度流體的分布計算。其對數(shù)裸線管道直角曲線坐標方程定義為:

通過對相應的度量系數(shù)以及克里斯托費爾符號的推導 (與對稱性速度流體一致)，可得到連續(xù)性方程為:

對方程(16)積分得:

將連續(xù)方程代入納維葉-斯托克斯方程，忽略重力項，得到:在 ξ1方向:

圖4 數(shù)值迭代方法示意圖

在 ξ2方向:

消掉壓力項可以得到:

我們定義螺線管道在a=-1，b=1處達到最大值Fmax。那么無量綱的速度方程為:

所以:

對方程(23)求積分得:

定義邊界條件為:ξ2=0.1、0.5，φ=0;

初始條件為:ξ2= ξ2max，φ =1。

則無量綱的速度為:

圖5 不同雷諾數(shù)下的速度分布

對方程(24)求解需要已知方程的初始條件，但是由于對數(shù)螺線管道自身并不對稱，因此速度曲線也不對稱，umax并不在管道中心處，所以為了求解方程(24)，我們需要運用數(shù)值迭代的方法。圖4顯示著用于求解這類問題的基本思路。

圖6 不同雷諾數(shù)下螺線管道的速度分布

3 結論

本文通過運用數(shù)值計算的方法，分別對對稱性速度分布層流以及非對稱性速度分布層流流體進行了研究計算，結果表明數(shù)值計算以及迭代計算方法對于研究粘性流體運動有著極其重要的科學運用。面對一些非線性特性的Navier-Stokes方程，運用數(shù)值計算方法可以保證有足夠高的計算精度以及較少的計算時間。同時也為讀者理解粘性流體運動的基本原理以及CFD技術提供了幫助。

[1]Jeffery G B.The two-dimensional steadymotion of a viscous fluid[J].PhilMag 6th Ser，1915，172：455-465.

[2]Anderson John D.Computational Fluid Dynamics:The BasicsWith Applications Science/Engineering/Math[M].McGraw：Hill Science,1995.

[3]Brand L.Vector and Tensor Analysis[M].New York：John Wiley and sons，1947.

[4]Spurk JH.Fluid Mechanics[M].New York：Springer Verlag Berlin Heidelbery,1997.

[5]Forsythe G E，Moler C B.Computermethods formathematical computations[M].Englewood Cliffs:Prentice-Hall,1977.

The Application o f NumericalMethod o n t he Viscous Lam inar Flow Velocity Distribution

XIAO Run-me i
(DepartmentofMathematics and Comput e Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

T he numericalmethod was developed for the research on the viscous laminar flow velocity distribution.By applying change of coordinate system theory， continuity equation， navier-stokes equation， the n on linear differential velocity equation can be obtained.The symmetrical velocity fluid and un-symmetrical velocity fluid problems were solved.The results were presented that are of fundamental significance for understanding themotion of viscous flows.

navier-stokes equation；viscous laminar flow；numericalmethod

∶O357.1

∶A

1674－0874（2011）06－0005－03

∶2011-10-11

∶肖潤梅(1963-)，女，山西懷仁人，碩士，副教授，研究方向:微分方程。

〔編輯 高?！?/p>