一類變分不等式問題解的存在性

向以華

（重慶三峽學院數(shù)學與計算機科學學院，重慶萬州 404100）

近年來，經(jīng)典的變分不等式和相撲問題被推廣于大量的來源于力學、物理學、非線性規(guī)劃、經(jīng)濟與運輸平衡、彈性接觸問題.[1-2]本文利用不動點理論找出這類變分不等式問題解的存在性.并給出了一個特殊的結(jié)果.

1 預備知識

設V是一個實的Hilbert空間，K?V是一個非空的閉凸集，假設 A: V → V 強單調(diào)和Lipschitz連續(xù)， j: K → R 凸下半連續(xù).考慮下述變分不等式，找u∈K使得

并且解u是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

定義1.1 設V是一個賦范空間.一個子集合K?V稱為是凸的，如果

集合K?V稱為是閉的，如果｛vn｝?K且vn→ v ，集合K稱為弱閉的，如果｛vn｝?K且vn→v可推出v∈K,

定義 1.3 設K?V是一個凸集.一個函數(shù)f: K→ R 稱為是凸的，如果

函數(shù) f稱為是嚴格凸的，如果上式對u≠v,λ∈（0,1）時嚴格不等號成立.

引理 1.1 設是一個賦范空間.假設是固有的，凸下半連續(xù)的則存在一個連續(xù)線性泛函lj∈V′和一個常數(shù)cj∈ R 滿足

2 主要結(jié)果

定理 2.1 設V是一個實的Hilbert空間，K? V是一個非空的閉凸集，假設 A:V → V強單調(diào)和Lipschitz連續(xù)， j: K → R凸下半連續(xù).則對任意f∈V,變分不等式

存在唯一解，并且解u是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

證明.先證解的唯一性.假設（2.1）有兩個解u1,u2∈ K.則成立

得 -（A（u1）-A（u2）,u1-u2）≥0.

由A的強單調(diào)性，我們推出 u1= u2.

再證解的存在性.

將問題轉(zhuǎn)化為等價的不動點問題.對任意的θ ＞0，問題（2.1）等價于

對任意的w∈K，考慮問題

這個變分不等式等價于極小值問題

其中

利用結(jié)論：泛函 j（ .）有一個有界的仿射泛函作為下界，即

其中l(wèi)j是V上的一個連續(xù)線性形，cj∈ R（見引理1.1），因此根據(jù)A,j,f上的假設條件，看到E嚴格凸，下半連續(xù)，且由性質(zhì)

應用定理知道問題（2 .4 ），從而問題（2 .3）存在唯一解 w=Pθ（u）.

顯然投影算子 Pθ.的一個不動點是問題（2.2）的一個解，可以看出對充分小的θ ＞0,Pθ是壓縮投影算子，由Banach不動點定理，投影算子Pθ存在一個不動點.

對任意 u1,u2∈K,記 w1=Pθ（u1）,w2=Pθ（u2）.

則

于是得到

因此

而

于是對 θ∈（0,2 c0M2）,投影算子Pθ是Hilbert空間V上的一個壓縮投影算子.

最后 f1,f2∈ V,記u1,u2為變分不等式（2.1）相應的解.則

兩個不等式相加，得

故

即解u依賴于f的Lipschitz連續(xù)性.

考慮定理（2.1）的一種特殊情況，f （v）≡ 0, v ∈ K,則（2.1）簡化為

作為定理2.1的一個推論有：

定理 2.2 設V是一個實的Hilbert空間，K? V是一個非空的閉凸集，假設 A:V → V強單調(diào)和Lipschitz連續(xù)，則對任意f∈V,變分不等式（2.5）存在唯一解u∈K,這個解是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

定理2.2是研究線性橢圓型邊值問題唯一可解性的 Lax- Milg ram 引理的一個推廣.

[1]張石生.變分不等式和相撲問題理論及其應用[M].上海：上?？萍嘉墨I出版社，1991.

[2]Noor M A.Optimization,1994,30:323-330.

[3]Banach空間中的廣義隨機混合似變分不等式問題[J].四川大學學報（自然科學版），1999（5）：829-833.