有限冪零群的兩個(gè)充分條件＊

唐躍躍,郭繼東

(伊犁師范學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

有限冪零群的兩個(gè)充分條件＊

唐躍躍,郭繼東

(伊犁師范學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

群的半直積是對(duì)直積的一種削弱,本文對(duì)半直積推廣到n個(gè)群的形式,并利用半直積給出了冪零群的一個(gè)充分條件。對(duì)正規(guī)子群加強(qiáng)條件,定理3給出了冪零群的一個(gè)類似可解群的判定條件。

半直積;冪零群;有限群

在有限群中,冪零群是介于交換群和可解群的一類群,對(duì)有限群的構(gòu)造起著非常重要的作用,冪零群可以分解成Sylow子群的直積。半直積是直積的一種削弱形式,本文對(duì)文獻(xiàn)[1]定義的半直積對(duì)半直積進(jìn)行了推廣,并利用定理1推廣到n個(gè)群的半直積得到了冪零群的一個(gè)充要條件。

另一方面,在有限群論中,人們常常利用G的正規(guī)子群N是可解的,且商群G/N也是可解來(lái)判定有限群G可解性。盡管冪零群一定是可解群,但是這一類似證明方法卻不能用在冪零群中,即 N?G,N是冪零的,且G/N也是冪零的,在一般情況下卻推不出G是冪零的,例如文獻(xiàn)[2]提到群G=S3,則G的真子群都是循環(huán)的,從而是群G的正規(guī)子群也是循環(huán)的,并且商群也都是循環(huán)的,但是群 G并不是冪零的。于是本文對(duì)正規(guī)子群N加強(qiáng)條件,得到了兩個(gè)類似可解群判定的判定定理。

本文所涉及的群均為有限群,H＜G表示 H是G的真子群,N?G表示N是G的正規(guī)子群,Sy lp(G)表示G的所有的Sylow p-子群所成的集合,其它未提及的術(shù)語(yǔ)及定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

1 主要定義和引理

定義1[1]設(shè) H,K為兩個(gè)抽象群,a:k→A ut(H)是同態(tài)映射,則 H和 K關(guān)于a的G=H＞＜K規(guī)定為 G=H＞＜K={(x,a)|x∈H,a∈K}。

運(yùn)算為:(x,a)(y,b)=(xy,ayb)。

設(shè) K到A ut(H)的一個(gè)同態(tài)σ:h→σn,則σn是H的一個(gè)自同構(gòu),σn:k1→kh。由于σ是同態(tài),所以σh1σh2=σh1h2。因此(kh1)h2=kh1h2。

注:由定義1中定義的G是一個(gè)群,稱為 H和 K的半直積,記為G=H＞＜K證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

引理1[4](Frattini論斷)設(shè) N?G,P∈Sy lp(N),則 G=NG(P)N。

引理2[4]設(shè) H是有限群,則下述事項(xiàng)等價(jià)

(1)G是冪零的

(2)若 H＜G,則 H＜NG(H)

(4)G的每個(gè)Sylow子群都是正規(guī)的,從而G是它的Sylow子群的直積。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè) Hi分別是群,令 G={(x1,x2,…xn)|xi∈Hi}

對(duì)?(x1,x2,…xn),(y1,y2,…yn)∈G,

則 G為一個(gè)群,稱為 H1,H2,…Hn的半直積,記為 G=H1＞＜H2＞＜…＞＜Hn

證明 根據(jù)定義顯然滿足乘法封閉。

從而 [(x1,x2,…xn),(y1,y2,…yn)](z1,z2,…,zn)=(x1,x2,…xn)[(y1,y2,…yn),(z1,z2,…zn)]滿足結(jié)合律。

所以 (1,1,…,1)為G的單位元。

推論2 設(shè)群 G=G1＞＜G2＞＜…＞＜Gn,其中 Gi(i=1,2,…,n)是冪零的,則 G是冪零的。

定理2 群G是冪零的充要條件,是G可以寫成冪零子群和冪零的正規(guī)子群半直積的形式。

證明 由推論2知充分性成立。

反之,若G是冪零的,從而 G可寫成sylow子群的直積形式,直積顯然是半直積,又由于每個(gè)Sylow子群都是 p-群,從而Sylow子群都是冪零的,則G可寫成冪零子群和冪零正規(guī)子群的半直積形式。

定理3 若 Z(G)是極小正規(guī)子群,且 G/Z(G)是冪零群,則G是冪零群

[1]陳重穆.有限群論基礎(chǔ)[M].重慶:重慶出版社,1983:33-35.

[2]張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[3]王萼芳.有限群論基礎(chǔ)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1985:148-163.

[4]徐明曜.有限群導(dǎo)引:上冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[5]劉仕田,黃喻.半直積與有限群的冪零[J].貴州科學(xué),2006,12(4):18-19.

[6]李方方,曾洪平.子群的性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào),2008,8(8):5-8.

[7]Hall M.Theo ry of groups[M].New York:Macmillan,1959.

(責(zé)任編輯:劉乃生)

2009-12-10

新疆高等學(xué)?？蒲杏?jì)劃項(xiàng)目(XJEDU 2005E06)。

唐躍躍(1985-),男,山東淄博人,伊犁師范學(xué)院碩士研究生。研究方向:有限群。

O152.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1671-4288(2010)04-0079-02