狀態(tài)飽和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

張象林

(1.大慶師范學(xué)院 發(fā)展規(guī)劃處，黑龍江 大慶 163712；2.哈爾濱理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150080)

1 問題陳述

考慮的狀態(tài)飽和系統(tǒng)其定義如下：

(1)

這里x∈Dn={x=(x1,x2,x3…xn)T∈Rn:-1≤xi≤1,i∈[1,n]},A=[aij]∈Rn×n,且

對于每一個i∈[1,n]

這類系統(tǒng)在現(xiàn)實生活中運用的非常廣泛，廣泛運用于信號處理、周期性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。對于這類系統(tǒng)的研究也已經(jīng)非常深入。本文對已有的凸域法進行改進，獲得了保守性更小的系統(tǒng)在零點大范圍漸近穩(wěn)定的充分條件，系統(tǒng)在零點大范圍漸近穩(wěn)定的意思是初始狀態(tài)x0的取值區(qū)域為Dn而非Rn。在此基礎(chǔ)上給出了迭代線性矩陣不等式算法，另外此算法還可用于如下系統(tǒng)反饋控制器的設(shè)計。

(2)

這里x∈Rn,u∈Rm。

2 主要研究內(nèi)容

這部分給出系統(tǒng)(1)的一個新的穩(wěn)定性判據(jù)，首先介紹幾個引理和定義。

引理1[1]：考慮如下的非線性系統(tǒng)

x=f(x)，x∈Ω?Rn，f(0)=0

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)軌線都在Ω內(nèi)。如果存在函數(shù)V:Ω→R使得

Φ1(‖x‖)≤V(x)≤Φ2(‖x‖)， ?x∈Ω并且

V(x)≤-Φ3(‖x‖) ?x∈Ω，Φ1,Φ2,Φ3均為κ類函數(shù)，則系統(tǒng)在原點大范圍漸近穩(wěn)定。

定義1[2]：對于一系列的點u1,u2,u3,…uT∈Rm2由這些點構(gòu)成的凸包定義為

引理2[2]：令u,u1,u2,u3,…uT∈Rm1，v,v1,v2,v3,…vJ∈Rm2，如果

u∈co{ui:i∈[1,τ]}，v∈co{vi:i∈[1,J]}，則

定義2[2]：令Dn是由對角線元素是1或0的對角矩陣組成的集合，Dn包含2n個元素，Di是Dn中的一個元素，定義Di-=I-Di。

定義3：已知兩個矩陣A、B∈Rn×n，對于任意i∈[1,n]都有

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=1}?{x|Bix>0,x∈Dn,xi=1}成立，則稱矩陣B對變量x的負區(qū)域包含了矩陣A對x的正區(qū)域。

說明：由Dn的對稱性可知，對于任意i∈[1,n]當

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=1}?{x|Bix>0,x∈Dn,xi=1}成立時，一定有

{x|Aix>0,x∈Dn,xi=-1}?{x|Bix>0,x∈Dn,xi=-1}成立。

定理1：如果存在這樣一個矩陣B=[bij]∈Rn×n，其對變量x的負區(qū)域包含了矩陣A對x的正區(qū)域，那么必然有下式成立：

證明：當不考慮狀態(tài)約束時h(Aix)=Aix，很顯然h(Aix)∈co{Aix,Bix}。

當考慮狀態(tài)約束時，即考慮xi=1，Aix>0或xi=-1，Aix<0兩種情況時有

h(Aix)=0

因為矩陣B對變量x的負區(qū)域包含了矩陣A對x的正區(qū)域，所以

當xi=1，Aix>0時,有Bix<0，于是

h(Aix)=0∈co{Aix,Bix}

當xi=-1，Aix<0時，有Bix>0，于是

h(Aix)=0∈co{Aix,Bix}

根據(jù)引理2有

定理2：如果存在矩陣B=[bij]∈Rn×n，其對變量χ的負區(qū)域包含了系統(tǒng)(1)中矩陣A對χ的正區(qū)域以及一個對稱正定矩陣使得P∈Rn×n

則系統(tǒng)(1)在原點大范圍漸近穩(wěn)定。

下面給出算法步驟：

算法1：系統(tǒng)(1)大范圍漸近穩(wěn)定性。

第一步，判斷A是否為Hurwitz矩陣，若是則進行下一步,否則系統(tǒng)在原點不穩(wěn)定；

第二步，選擇一個Q>0，從下式中將對稱正定矩陣P解出

ATP+PA=-Q

置k=0，進行下一步；

如果ε<0或者k>0和ε>εk同時滿足時，進行第五步。否則k=k+1，ε=εk，進行下一步；

如果ε<0或者ε>εk，進行下一步，否則置k=k+1，ε=εk，返回第三步；

第五步，如果ε<0，則系統(tǒng)(1)大范圍漸近穩(wěn)定于原點，否則無法判斷其是否穩(wěn)定，可以通過改變矩陣Q,重新計算。

算法2：系統(tǒng)(2)的反饋控制器設(shè)計

第一步，選擇一個Q>0，從下式中解出對稱正定矩陣P

(A+CF)TP+P(A+CF)=-Q，其中F使得A+CF為Hurwitz矩陣，置k=0，進行下一步；

如果ε<0或者k>0和ε>εk同時滿足時，進行第四步。否則k=k+1，ε=εk，進行下一步；

如果ε<0或者ε>εk，進行下一步，否則置k=k+1，ε=εk，返回第二步；

第四步，如果ε<0，則系統(tǒng)(6)大范圍漸近穩(wěn)定于原點，此時得到的F可用于反饋控制器的設(shè)計，否則無法設(shè)計反饋控制器，可以通過改變矩陣Q,重新計算。

3 數(shù)值算例

1)通過數(shù)值算例驗證定理1的有效性?？紤]如下系統(tǒng)：

若使用文獻[1]中的凸域法則不能判斷其在原點是否大范圍漸近穩(wěn)定。利用本文定理1，結(jié)合相應(yīng)的算法可得

2)通過數(shù)值算例驗證反饋控制器設(shè)計方法的有效性?？紤]如下系統(tǒng)：

根據(jù)本文的反饋控制器的設(shè)計方法，可以得到

F=[-3.4375 -2.0674]

[參考文獻]

[1] Ling Hou. Asymptotic Stability of Systems with Saturation Constraints[C].In Proceedings of the 35th Conf on Decision and Control, Kobe Japan, 1996:2624-2629.

[2] HaiJun-Fang , Zongli-Lin. Stability Analysis for linear systems under state constraints[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004,49(6): 950-955.

[3] HaiJun-Fang , Zongli-Lin. Stability Analysis for Linear Systems under State on Constraints[C].In Proceedings of the 2004 American Control Conference, 2004:441-446.

[4] XiaoFu-Ji,Tai Hui-Liu, Min Wei-Ren. Stability Analysis for Continuous-Time Planar Linear Systems with State Saturation[C].Control and Decision Conf, 2008:4355-4359.